Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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            ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD    Concours d'admission sur classes préparatoires  ____________________    MATHEMATIQUES Option scientifique  Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h  _____________     La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.  L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.   Exercice 1 Dans cet exercice,nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne parIla matrice unité deMn(IR). 1) On notetrlinéaire qui à toute matrice delapplication Mn(IR) associe sa trace, cest-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.  a) Montrer que Im tr= .RI   b) En déduire la dimension de Ker tr.  c) Établir queMn(IR) = Ker tr Vect(I). 2) Soitf lapplication qui, à toute matriceMdeMn(IR) associe f (M) =M+tr(M) I,  a) Montrer quefest un endomorphisme deMn(IR).  b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres def. En déduire quef est un automorphisme diagonalisable deMn(IR). 3) Soitg lapplication qui, à toute matriceM deMn(IR) associeg (M) =M +tr(M) J, oùJ désigne une matrice non nulle deMn(IR) dont la trace est nulle. On admet quegest un endomorphisme deMn(IR).  a) Établir que le polynômeX2– 2 X+ 1 est un polynôme annulateur deg.
 
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 b) Montrer que 1 est la seule valeur propre deg.  c)gest-il diagonalisable ?  Exercice 2 Pour tout réelx, on notex la partie entière dex et on rappelle quex est le seul entier vérifiant :x  x<x + 1. On considère une variable aléatoireXdéfinie sur un espace probabilisé (Ω, A,P) et qui suit la loi exponentielle de paramètreλ(avecλ> 0). On noteFsa fonction de répartition. On poseX1 =X,X2 =10(XX1) et lon admet queX1 etX2 des variables sont aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A,P). 1) a) DéterminerX1(Ω).  b) Pour toutkdeX1(Ω), exprimerP(X1=k) à laide deF.  c) En déduire queX1 + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.  d) DéterminerE(X1) en fonction deλ. 2) a) DéterminerX2(Ω) et dire ce que représenteX2. +∞  b) Justifier que, pour toutkélément de {0, 1, ..., 9},P(X2=k) =P(X1=iX2=k) , i=0 puis montrer que :k{0, 1, ..., 9},P(X2=k) =i=+0(F(i+k1+)10F(i+1k))0 . λ λk=101e10 En déduire quek{0, 1, ..., 9},P(X2=k)e1−λ. e 3) Montrer queX1etX2sont indépendantes.     Exercice 3 Dans cet exercice,nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction denvariables réelles, notéef, définie par : n n n (x1,x2, ...,xn)IR n,f (x1,x2, ...,xn) =xk2+ (xk)2xk k=1k=1k=1 1) a) Montrer quef est de classeC2sur IR n.  b) Calculer les dérivées premières et secondes def. 2) a) Déterminer le seul point critique (a1,a2, ...,an) def sur IR n.  b) Vérifier que la hessienne defen ce point est la matriceAn= 2(In+Jn), oùIndésigne la matrice unité deMnIR) (et Jnla matrice deMn(IR) dont tous les éléments sont égaux à 1. 3) a) Déterminer le rang deJn. En déduire que 0 est valeur propre deJn déterminer la et dimension du sous-espace propre associé.  b) Calculer le produitJn1111.
 
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 c) À laide des questions précédentes, donner les valeurs propres deJn , puis celles deAn.  h1 4) a) Montrer que, pour toutH=h2non nul, on a :tH A n H  > 0. hn  b) En déduire que f admet un minimum local en (a1,a2, ...,an) et vérifier que ce minimum n est égal à . 4(n+1)     Problème On considère deux jetonsJ1 etJ2, équilibrés (cest-à-dire tels que chaque face a une chance sur deux dapparaître au cours dun lancer). Le jetonJ1face numérotée 0 et une face numérotée 1.possède une Le jetonJ2possède deux faces numérotées 1. Un joueur choisit au hasard un jeton puis effectue une série de lancers avec ce jeton. On noteElévénement « le jetonJ1est choisi pour le jeu » et, pour tout entier naturelknon nul,Uklévénement « lekèmelancer fait apparaître une face numérotée 1 ».  Partie 1 : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve. 1) a) Déterminer la probabilité que le joueur obtiennen ( foisnIN*) une face portant le numéro 1 lors desnpremiers lancers.  b) Dans cette question, on suppose que le joueur a obtenunfois (nIN*) une face portant le numéro 1 lors desnprobabilité quil ait joué avec le jetonpremiers lancers. Quelle est la J1 ? Quelle est la limite de cette probabilité lorsquentend vers +? Interpréter ce résultat.  Dans la suite, on considère la variable aléatoireX égale au rang dapparition de la première face portant le numéro 0 et on poseX= 0 si la face portant le numéro 0 napparaît jamais. On considère également la variable aléatoireYégale au rang dapparition de la première face portant le numéro 1 et on poseY= 0 si la face portant le numéro 1 napparaît jamais. On suppose ces variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P). 2) a) Calculer, pour tout entier naturelnnon nul, la probabilitéP(X=n).  b) En déduire queP(Xilt-aiétt taulés ? elbisivérp  = 0) = 12. Ce r  c) Montrer queXa une espérance puis déterminerE(X).  d) Montrer queX (X  1) a une espérance, la déterminer puis vérifier queV(X) = 2. 3) a) Calculer, pour tout entier naturelnnon nul, la probabilitéP(Y=n).  b) En déduire queP(Y= 0) = 0.  c) Montrer queYa une espérance puis déterminerE(Y). 5  d) Montrer queY (Y  1) a une espérance, la déterminer puis vérifier queV(Y) =  . 4  4) On définit sur (Ω,A,P) la variable aléatoireSpar :Ωω,S(ω) = Max (X(ω),Y(ω)).    a) DéterminerS(Ω).
 
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 b) Montrer queP(S= 1) =P(X0  )= . = 12  c) Pour tout entiernsupérieur ou égal 2, comparer dune part (X=n) et (Y<n) et dautre part (Y=n) et (X<n), puis en déduire que : (S=n) = (X=n   Y=n).  d) Reconnaître alors la loi deSet préciser son espérance et sa variance. 5) On définit sur (Ω,A,P) la variable aléatoireIpar :ωΩ,I(ω) = Min (X(ω),Y(ω)).  a) Montrer queIest une variable de Bernoulli.  b) DéterminerP(I0) puis donner la loi de= I, ainsi que son espérance et sa variance.  Partie 2 : simulation des variablesXetY. On rappelle que random(2) renvoie au hasard un entier de {0, 1}. 1) On considère le programme suivant :   Program edhec2005 ;  Var jeton, lancer,X: integer ;  Begin  Randomize ;         X: = random(2) + 1 ;: = 0 ; jeton  if (jeton = 1) then begin  repeat                X: =X+ 1 ;  lancer : = random(2) ;  until (lancer = 0) ;  end ;  Writeln (X) ;  end.  a) Expliquer le fonctionnement de ce programme et déterminer quel est le contenu de la variable affichée à la fin.  b) Est-on certain que le nombre de passages dans la boucle « Repeat ... until » est fini ? 2) Écrire un programme Pascal qui donne la valeur de la variable aléatoireY.
 
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