Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2005
MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option scientique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Premier problème. On considère la suite(Tn)n2Nde polynômes deR[X]dénie par : T0= 1; T1= 2Xet, pour tout entiern>2; Tn= 2XTn1Tn2: On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.Ainsi, pour tout entiern>2et tout réelx, Tn(x) = 2xTn1(x)Tn2(x):
PARTIE I : Etude de la suite de polynômes(Tn)n2N 1. CalculerT2etT3. 2. (a)Démontrer que, pour tout entier natureln,Tnest un polynôme de degréndont on déterminera le coe¢ cient du terme de degrén. (b) Etablirque, sinimpair), alorsest un entier pair (resp.Tnimpair).est un polynôme pair (resp. 3. Calculer,pour tout entier natureln,Tn(1)en fonction den. sin(n+ 1)4. (a)Etablir, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [:Tn(cos) =. sin(b) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,Tnadmet n racines réelles, toutes situées dans ]1;1[, que lon explicitera.   n Qk n (c) Etablir,pour tout entier naturel non nuln:Tn= 2Xcos. n+ 1 k=1 n Qk (d) Endéduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur desinen fonction den. 2 (n+ 1) k=1 5. (a)Démontrer, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [: 200 02 sin T(cos)3 cos T(cos) + (n+ 2n)Tn(cos) = 0: n n Indication: Onpourra dériver deux fois la fonction (nulle):7!sin Tn(cos)sin(n+ 1): 200 02 (b) Endéduire, pour tout entier natureln:(X1)T+ 3XTn n(n+ 2n)Tn= 0. Dans la suite du problème,ndésigne un entier naturel xé tel quen>2, et on noteElespace vectoriel réel des polynômes deR[X]de degré inférieur ou égal àn. On noteLlapplication qui, à un polynômePdeE, associe le polynômeL(P)déni par : 200 0 L(P) = (X1)P+ 3XP :
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PARTIE II: Etude de lendomorphisme L 1. MontrerqueLest un endomorphisme de lespace vectorielE.
2. (a)CalculerL(Tk)pour toutkdef0;1; :::; ng. (b) Endéduire les valeurs propres deLet, pour chaque valeur propre deL, une base et la dimension du sous-espace propre associé.
PARTIE III: Etude dun produit scalaire Dans la suite du problème, on note!lapplication qui, à tout couple(P; Q)de polynômes deE, associe le réel 1 Z p 2 !(P; Q) =1x P(x)Q(x)dx: 1 1. Montrerque!est un produit scalaire surE. 2. Démontrer,pour tous polynômesP,QdeE:!(L(P); Q) =!(P; L(Q)). 1 R 2 3=20 0 Indication: Onpourra, à laide dune intégration par parties, montrer :!(L(P); Q) =(1x)P(x)Q(x)dx: 1 3. Etablirque(Tk)06k6nest une base orthogonale deE.
DEUXIEME PROBLEME PARTIE I: Calcul de la somme dune série convergente   2 R t1 1. Vérier,pour toutn2N:tcos(nt)dt=: 2 2 n 0 2. Etablir,pour toutm2Net touttde]0; ]: tm(m+ 1)t mt i(m+ 1)t m imtsinsin cos X 1e it22 2 e=e2;puiscos(nt) =: t t it 1e sinn=1sin 2 2 1 3. Soitu: [0; ]!Rune application de classeC. R Montrer, à laide dune intégration par parties:u(t) sin (t)dt!0. !+1 0 2 t t 24. Soitlapplicationf: [0; ]!Rdénie parf(t) =sit2]0; ]etf(0) =1. t 2 sin 2 1 Montrer quefest de classeCsur[0; ] 2 m  R P1(2m+ 1)t 5. (a)Montrer :m2N,= +f(t) sindt: 2 n6 2 n=1 0 2 +1 P1P1(b) Justierla convergence de la sérieet montrer:=. 2 2 n n6 n>1n=1
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PARTIE II: Etude dune fonction dénie par la somme dune série convergente. P1P1 2 1. (a)Montrer que, pour tout couple(x; y)2([0;+1[), la sérieet la série 2 (n+x)(n+y) (n+x) (n+y) n>1n>1 convergent.   P1 1 (b) Montrerque, pour toutxde[0;+1[, la sérieconverge. n n+x n>1   +1 P1 1 On noteSlapplication dénie, pour toutxde[0;+1[, parS(x) =. n n+x n=1 2. CalculerS(0)etS(1).
+1 P1 2 3. (a)Etablir :8(x; y)2([0;+1[); S(y)S(x) = (yx). (n+x)(n+y) n=1 2 2 (b) Endéduire:8(x; y)2([0;+1[);jS(y)S(x)j=jyxj: 6 (c) Montreralors que la fonctionSest continue sur[0;+1[.
2 4. (a)Montrer, pour tout couple(x; y)de([0;+1[)tel quex6=y:
+1+1 X X S(y)S(x1) 1 6jyxj: 2 3 yx(n+x)n n=1n=1
+1 P1 0 (b) Endéduire que la fonctionSest dérivable sur[0;+1[et que:8x2[0;+1[; S(x) =. 2 (n+x) n=1 0 0 (c) Préciserles valeurs deS(0)etS(1). +1 P2 00 5. Onadmet queSest deux fois dérivable sur[0;+1[et que:8x2[0;+1[; S(x) =. 3 (n+x) n=1 Montrer queSest concave. 6. Soitx2]0;+1[notexé. On!la fonction dénie sur[1;+1[par : 1 1 8t2[1;+1[; !(t) =: t t+x +1 R (a) Montrerque lintégrale'(t)dtconverge et calculer sa valeur. 1 n+1 +1+1 R RR (b) Montrer:8n2N; !(n+ 1)6'(t)dt6!(n), et en déduire:'(t)dt6S(x)61 +'(t)dt: n1 1 (c) ConclurequeS(x)équivaut àlnxen+1.
7. (a)Dresser le tableau de variation deS, en précisant la limite deSen+1. (b) Tracerlallure de la courbe représentative deS.
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