Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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Epreuve ESC 2005, option scientifique
EXERCICE 1   a c b   Pourtouttripletdere´els(a, b, c) on poseMa,b,c=c a+b c. b c a 1)(sdtree´leJrqetiusotruopeuelpirttua, b, c) la matriceMa,b,cest diagonalisable.   3 2)On poseE=Ma,b,c,(a, b, c)R. Montrer queEest unRisne.nounraasebtleeimadleirotcevecapse-nemieretd´onntdo 3 3)On poseC=M0,0,1ethl’endomorphisme deRde matriceCdans la base canonique de 3 R. 2 3 a)CalculerCetCrenuoDnnˆnmoopyldrueennae.taluC. b)elirvaesndEdu´eedserppacesprossous-esrpseteelelrupsorh. 3 c)Donner une base deRm´orfourresprppouesrevtceeedh´retehpo,neotromeproourludti 3 scalaire canonique deR. 3 4)On poseB=M0,1,0etgl’endomorphisme deRde matriceBdans la base canonique de 3 R. a)Montrer quegethcommutent. b)Montrer que tout vecteur propre dehest un vecteur propre deg. c)deiueruqenE´dgethseualsvlereopprrssnadmenuasilselbdoeternnmeˆesebatdiagonason deg. 5)a)ExprimerMa,b,cen fonction deI,B,Cselrse´teeda,betc. b)ee-pscaserppoerdspropresetlessousiudeelerlavssrued´EnMa,b,c 6)Soitcnue.x´leer´ 3 3 Onconside`relapplicationΦc:R×RRtelel´es(etplersduotrirtsuqeluopex, y, z) et 0 0 0 (zx ,y ,) :    0 x x   0 0 0t00 0    Φc(x, y, z),(zy ,x ,) =XM2,1,cX`ouX=yetX=y 0 z z √ √ On poseu1= (1,0,1), u2= (1,2,1), u3= (1,2,1). 3 a)Montrer que Φcteiruqdeermfonetues´myseriae´nilibeR. b)Calculer les 6 valeurs Φc(ui, uj) pour 16i6j63. h i   3 3 c)ΦEtablir :c(u2, u2)>0 et Φc(u3, u3)>0⇐⇒c∈ −;. 2 2 3 d)ssrdeel´eete´Dlerinrmlembseenctels que Φcessirpnudne´lairesuroduitscaR.
EXERCICE 2 3 Onconside`re,enadmettantpourlinstantsonexistence,lafonctionfrsuien´edRpar :   Z +2 4c4  a+ 2bt+t 2 3abct f(a, b, c) =e dt π −∞ Z +2 kt 1)a)eelaqlugnrt´eionMertrte dtconverge pour tout entier naturelk. On la noteIk. −∞ b)Montrer que pour tout entier naturelk,I2k+1= 0. 2 c)A l’aide du changement de variableu=tmontrer que pour tout entier naturelk:    1 1 I2k= Γkrueledsleriavse´edu.End+I2etI4.en fonction de Γ 2 2 1 2 d)Eunitilrnmsailte´edsunaenltoliandoeN(0, σ) avecσ=, calculerI0. 2 113End´eduireΓ,puisI2=πetI4=π. 2 24    abc e)peuoeruqdeiunE´dsel´esrourta,b,c,f(a, b, c) existeetf(a, b, c() =a+b+c)e . 2 3 2)a)Montrer quefest une fonction de classeCsurR. b)´erilesdsparv´eennreoDedselleitd1erdrof. c)rotnpaDllieidv´eersersl´neeed2edserdrof. 3)a)On suppose que (α, β, γ) est un point critique def. 1   1 1 11 3 Montrer queαβγ6End´.==euqtee0=eruqdeiuα=β=γ= αβ αγ βγ3 1 1 1    1 1 1 3 3 3 Re´ciproquement,v´erierquelepointA=, ,est bien un point critique 3 3 3 def. b)Donner la hessienne defau point critiqueA.   1 4 4 3   4)Soithl’endomorphisme deRde matriceHa`tnemevitaler441=noniquelabaseca 4 4 1 3 deR.   a)Montrer que la familleF= (1,1,1),(1,0,1),(1,2,essu´et´tesivan)la1poirserp • Frospurtedeesprmroftsecevedee´h. 3 • Fest orthogonale pour le produit scalaire canonique deR. 3 • Fest une base deR.   x 3 1 t 22 2   b)Montrer que siX=y, alorsXHX= 3(x+y+z)(zx)(x2y+z) . 2 2 z c)´endirduEtnieuqeopelAest un point col def.
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EXERCICE 3 Danstoutle´nonce´S´x.enlnounlnaerretuunnetien´dgise Une urne contient initialement 4Sboules indiscernables au toucher, dontSboules rouges,S boules vertes et 2Sboules bleues. On effectue des tirages successifs d’une boule, au hasard, avec le protocole suivant : Silabouletire´eestrougeonnelaremetpasdanslurne,maisonremetdanslurneuneboule bleue. Silabouletir´eeestverteonlaremetdanslurne. Silabouletire´eestbleueonnelaremetpasdanslurne,maisonremetdanslurneuneboule rouge. On note pour tout entier naturel non nuln,Xnlvaraailbaeeal´irtoege´eaalmonuderbuobesel rougespre´sentesdanslurneapr`eslenotetonnege,itare`emi-X0arialavintaeriotreceaelbae´l e´gale`aS. On rappelle que siAlunnone´teelprdentmeitilabobn´ev´ene´esigneudXerenuablevariatoial´e discr`ete,E(X/Aedees)etl´espncraXleelruoprpalbaboilit´econditionnPA: X E(X/A) =xPA(X=x) xX(Ω) 1)´eterminerlaloideDX1p´esaner.ceelactelucnosr 2)´eDnireetmrdiealolX2alcuetconeslersecnare´p. Onsupposede´sormaisquengelaa`2irueor´uiersup´eestunentS, de sorte que : Xn(Ω) ={0, . . . ,3S} 3)a)Soitka`antnraetrappntieune{1, . . . ,3S1}. Quelleestlacompositiondelurnelorsquele´ve´nement(Xn=kree´lasi?e)s End´eduirelaloideXn+1(cnoitidnonemellenev´alt`ntmene´eXn=k).   1 3 b)Montrer alors queE(Xn+1/Xn=k1) =k+ . 2S4 Cette formule est-elle encore vraie lorsquek= 0 ? lorsquek= 3S?   1 3 c)etotrancsp´eeleeulaqedu´endEdelumrofalraperiE(Xn+1) =1E(Xn.) + 2S4 4)On note pour tout entier naturelnouurieera2l`ga´e´pusS:un=E(Xn).   1 3 a)terminerler´eelDe´αtel queα= 1α+ . 2S4 b)Montrer que la suite (unα)n>2Siruq´mte´goeetse. c)ednoisserpxelreuiedd´Enunen fonction den,S, etu2S. 3S d)Montrer quelimE(Xn) =. 2 n+
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