Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 Soient les matrices carrées : 0 1 10 1 0 0 0 11 0 0 4 1 11 1 1 @ A A= 11P= 42 0etD=B00C B2C@2A @ A1 11 1 0 0 0 0 0 4
On noteIla matrice-unité dordre3.
1. (a)Montrer à laide du pivot de Gauss quePest inversible et calculer son inverse. (b) Vérierla relation : 1 P AP=D (c) Montrerpar récurrence que pour tout entier naturelnnon nul : n n1 A=PP D (d) Vérier: 0 1 1 0 1 0 6 1 1 @ A P1 = BC @6A 0 0
Et en déduire que pour tout :
  0n1 1 11   6 62 0 1   0 n 2 11 n A@1A+= 3 32 0BnC @1 11A   6 62
On considère désormais deux urnes : Une urne bleue contenant initialement un jeton marqué0et un jeton marqué1. Une urne rouge contenant initialement un jeton marqué0et un jeton marqué1. On appelle «échange »laction consistant à extraire simultanément un jeton de chaque urne puis à le remettre dans lautre urne.On e¤ectue des échanges successifs indéniment. Pour tout entier naturel non nulnon désigne parZnla variable aléatoire réelle discrète égale à la somme des points marqués sur les jetons de lurne bleue après len-ième échange. On noteZ0la variable certaine égale à1, somme initiale des points dans lurne bleue. 2. Donnerlensemble des valeurs possibles deZ1et déterminer la loi deZ1. 3. (a)SoitnDéterminer les probabilités conditionnelles :un entier naturel non nul. p(Z= 0),p(Z= 0),p(Z (Zn=0)n+1 (Zn=1)n+1 (Zn=2)n+1= 0) On note dans la suite et pour tout entier natureln: p=p(Z= 0),q=p(Z= 1),r=p(Z= 2) n nn nn n (Ce qui entraînep0= 0,q0= 1,r0= 0).
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(b) Grâceà la questiona.et à une formule de probabilités totales, exprimerpn+1en fonction deqn. (c) Donnerles relations similaires fournissantqn+1en fonction depn,qn,rnetrn+1en fonction deqn.
4. Onnote pour tout entier natureln: 0 1 pn @ A U=q n n rn (a) Vérierque pour tout entier naturelnnon nul : Un+1=AUn Cette relation est-elle valable pourn= 0? (b) Montrerque pour tout entier naturelnnon nul : n Un=A U0 (c) Endéduire pourn>1,pn,qn,rnen fonction denainsi quelimpn,limqn,limrn. n!+1n!+1n!+1
5. Déterminerlespérance de la variable aléatoireZnainsi que sa limite lorsquentend vers+1.
EXERCICE 2 On considère la fonctionfdénie surRpar : 1 f(t) = tt e+ 2 +e
1. (a)Montrer quefest positive et continue surR. Vérier quefest paire. (b) Déterminerlimf(t). t!+1 0 (c) Pourtout réelt, calculerf(t)et étudier son signe. En déduire le tableau des variations def. (d) Tracerlallure de la courbe représentative(C)def. 2. (a)Vérier que pour tout réelt: t e f(t) = 2 t (e+ 1) (b) Onpose pour tous réelsaetbtels quea6blintégrale : b Z J(a; b) =f(t)dt a Montrer que : 1 1 J(a; b) =a b 1 +e1 +e (c) Endéduire la nature et la valeur des intégrales impropres suivantes : +10 +1 Z ZZ I=f(t)dt,J=f(t)dt,K=f(t)dt, 01 1
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3. Soitla fonctionFdénie surRpar, pour tout réelx: x Z F(x) =f(t)dt 1 (a) Alaide de la question2.b., montrer que : x e F(x) = x e+ 1 (b) Onconsidère une variable aléatoire à densitéXdont la fonction de répartition estF. Déterminerp(X6ln 2),p(ln 2< X6ln 2). erminer la probabilité conditionnel(X Dét lep(X>ln 2)X6ln 3). (c) Montrerque pour tout réelx: F(x) = 1F(x): 1 En déduire lunique réel positiftel quep( < X6) =. 2 EXERCICE 3 Soitnun entier naturel non nul etXune variable aléatoire réelle discrète dont lunivers imageX()est inclus dans lensemblef0;1; :::; ng. n X E(X) =kp(X=k)est lespérance mathématique deX. k=1 n X Lobjectif de cet exercice est de prouver et dutiliser légalitéE(X) =p(X>k), notée(R). k=1 3 1. Etudedun exemple.SoitXqui suit une loi binomiale de paramètres2et . 4 (a) Calculerp(X>1) +p(X>2). (b) Donnerla valeur de lespéranceE(X). Vérierlégalité(R). 2. Onrevient au cas général :Xest telle queX()est inclus dans lensemblef0;1; :::; ng.
(a) Justierpourk2 f1; :::; nglégalité :
p(X>k) =p(X=k) +p(X=k+ 1) +:::+p(X=n)
(b) Enécrivant puis en sommant les égalités précédentes dek= 1àn, en déduire légalité(R).
3. Applicationsur un exemple : Un jeu vidéo est constitué denniveaux successifs. Lorsque le joueur commence un niveau, ce qui suppose quil ait réussi tous les niveaux précédents, la 2 probabilité quil le réussisse est. Lejeu sarrête dès que le joueur échoue à un niveau. 3 On noteXla variable aléatoire égale au nombre de niveaux réussis par le joueur.
(a) DonnerX(). (b) OnnoteNjlévénement «Le joueur a réussi le niveauj» . Exprimer pour tout entier naturelkdef1; :::; nglévénement à laide des événementsN1,N2,...,Nk. En déduire :   k 2 p(X>k) = 3 (c) Enutilisant la formule(R), calculer lespéranceE(X).
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