Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________ MATHEMATIQUES Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ___________________ La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Exercice 1 Soitflendomorphisme de IR3dont la matrice dans la base canoniqueBde IR3est : A=2112408376. On noteIla matrice unité deM3(IR) et on poseu= (2,1,2). 1) a) Montrer que Kerf= vect(u).  b) La matriceAest-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteurvde IR3, dont la 2èmecoordonnée dansBvaut 1, et tel quef(v) = u.  b) Démontrer que le vecteurwde IR3, dont la 2èmecoordonnée dansBvaut 1, et qui vérifie f(w) =vestw= (0, 1, 1).  c) Montrer que (u,v,w) est une base de IR3 lon notera queB. On noteP matrice de la passage de la baseBà la baseB.3) a) Écrire la matriceNdefrelativement à la baseB. En déduire la seule valeur propre def. Lendomorphismefest-il diagonalisable ?  b) Donner la relation liant les matricesA,N,PetP1, puis en déduire que, pour tout entier ksupérieur ou égal à 3, on a :Ak= 0. 4) On noteCN(respectivementCA) lensemble des matrices deM3(IR) qui commutent avecN(respectivementA).  a) Montrer queCNest un sous-espace vectoriel deM3(IR) et queCN= vect(I,N,N2). On admet queCAest aussi un sous-espace vectoriel deM3(IR).  b) Établir que :MCAP1MPCN. En déduire queCA= vect(I,A,A2) . Quelle est la dimension deCA?
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Exercice 2 x2(11x)2[i[01,s2 On considère la foncti[ onfdéfinie par :f(x) =21x2six,[112 0 sinon. 1) Montrer quefpeut être considérée comme une densité de probabilité. Dans toute la suite, on considère une variable aléatoireX définie sur un certain espace probabilisé (,A,P) et admettant la fonctionfpour densité. 2) Déterminer la fonction de répartitionFdeX. 3) Montrer queX ia une espérance et que cell 1 e-c vaut . 2 4) a) DéterminerE((X1)2).  b) En déduire queXa une variance et queV(Xln)3=42. 5) On appelle variable indicatrice dun événementA, la variable de Bernoulli qui vaut 1 siAest réalisé et 0 sinon. On considère maintenant la variable aléatoireY, indicatrice de lévénement (X1te)2al variable aléatoireZ, indicatrice de lévénement (X.>12)  a) Préciser la relation liantYetZpuis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire deYetZ, notéρ(Y,Z), est égal à 1.  b) En déduire la valeur de la covariance deYetZ. Exercice 3 Soitfla fonction définie pour tout couple (x,y) de IR2par :f(x,y) = 2x2+2y2+ 2xyxy. 1) a) Calculer les dérivées partielles premières def.  b) En déduire que le seul point critique defestA.)=1(,661 2) a) Calculer les dérivées partielles secondes def.  b) Montrer quefprésente un minimum local enAet donner la valeurmde ce minimum. 3) a) Développer 2(x+y)412+23(y6)12. 2  b) En déduire quemest le minimum global defsur IR2. 4) On considère la fonctiongdéfiniepour tout couple (x,y) de IR2par : xy g(x,y) = 2e2x+ 2e2y+ 2ex+yee.  a) Utiliser la question 3) pour établir que :(x,y)IR2,g(x,y)16. b) En déduire queg possède un minimum global sur IR 2 et préciser en quel point ce minimum est atteint.Problème
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Partie 1 : étude dune variable discrète sans mémoire.SoitXune variable aléatoire discrète, à valeurs dans INtelle que :mIN,P(Xm) > 0. On suppose également queXvérifie :(m,n)IN×IN,P(Xm)(Xn+m) =P(Xn). On poseP(X= 0) =pet on suppose quep> 0. 1) On poseq= 1p. Montrer queP(X1) =q. En déduire que 0 <q< 1. 2) Montrer que :(m,n)IN×IN,P(Xn+m) =P(Xm)P(Xn). 3) Pour toutnde IN, on poseun=P(Xn).  a) Utiliser la relation obtenue à la deuxième question pour montrer que la suite (un) est géométrique. b) Pour toutnde IN, exprimerP(Xn) en fonction denet deq.  c) Établir que :nIN,P(X=n) =P(Xn) P(Xn+ 1).  d) En déduire que, pour toutnde IN, on aP(X=n) =qnp. 4) a) Reconnaître la loi suivie par la variableX+ 1.  b) En déduireE(X) etV(X). Partie 2 : taux de panne dune variable discrète.Pour toute variable aléatoireYà valeurs dans INet telle que, pour toutnde IN,P(Yn) > 0, on définit le taux de panne deYà linstantn, notéλn, par :nIN,λn=P(Yn)(Y=n). 1) a) Montrer que :nIN,λn=PP((YY=nn)).P(Yn)  b) En déduire que :nIN, 1 λn=+.1 P(Yn)  c) Établir alors que :nIN, 0λn< 1. n1  d) Montrer par récurrence, que :nIN*,P(Yn) =(1− λk) . k=0 n1 2) a) Montrer que :nIN*,P(Y=k) = 1 P(Yn). k=0  b) En déduire que limP(Yn) = 0. n→+∞ n1  c) Montrer que limln(1− λk +) =. n→+∞k=0  d) Conclure quant à la nature de la série de terme généralλn. 3) a) Compléter la déclaration de fonction récursive suivante pour quelle renvoie la valeur den! lorsquon appellef(n).  Functionf(n: integer) : integer ;  Begin  If (n= 0) thenf: = ------ elsef: =---; ---- end ;  b) On considère la déclaration de fonction récursive suivante :
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 Functiong(a: real ;n: integer) : real ;  Begin  If (n= 0) theng: = 1  elseg: =a*g(a,n1) ;  end ; Dire quel est le résultat retourné à lappel deg(a,n).  c) Proposer un programme (sans écrire la partie déclarative) utilisant ces deux fonctions et n1k permettant dune part le calcul de la sommek=0ka!eapart, à laide du résultat deet dautre la question 1a), le calcul et laffichage du taux de panne à linstantndune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètrea > 0, lorsquen a sont entrés au clavier par et lutilisateur (on supposeran1).  d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour quelle renvoie la valeur de n1k aa eà lappel desigma(a,n). k=0k!  Functionsigma(a: real ;n: integer) : real ;  vark: integer ; p: real ;  Begin p: = 1 ;s: = 1 ;  Fork: = 1 ton1 do beginp: =p*a/k;s: =.......; end ; s:.......; = sigma: =s;  end ; Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle deX.1) Déterminer le taux de panne de la variableXdont la loi a été trouvée à la question 3d) de la partie 1. 2) On considère une variable aléatoireZ, à valeurs dans IN vérifiant :, etnIN,P(Zn) > 0. On suppose que le taux de panne deZest constant, cest-à-dire que lon a :nIN,λn=λ.  a) Montrer que 0 <λ< 1.  b) Pour toutnde IN, déterminerP(Zn) en fonction deλetn.  c) Conclure que les seules variables aléatoiresZà valeurs dans IN, dont le taux de panne est constant et telles que pour toutnde IN,P(Zn) > 0, sont les variables dont la loi est du type de celle deX.
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EDHEC 2006 : option ES Corrigé de lépreuve de mathématiques Exercice 1 1) a)On résoutAX 0 avec =X =xzy, oùX  estla colonne des coordonnées dun vecteur quelconque de Kerfdans la base canonique de IR3. 2xx+41y0y3+z7z0=0. Ce système sécrit : + + = 2x8y6z=0 Avec les transformationsL22L2L1etL3L3+L1, on obtient le système équivalent : 2x10y7z0 2+yz+=0=qui, en remplaçantzpar 2ydans la première équation, est équivalent à : 2y+z=0 2x4y=0 z= −2y, soit finalement :zx==22yy. 2y En conclusion,AX= 0X=yX=y122. 2yCeci montre que Kerf= vect((2, 1, 2)), ce qui sécrit aussi : Kerf= vect(u). b)Kerf est différent de {(0, 0, 0)} doncf pas injectif, a fortiori pas bijectif. On en nest conclut que : Anest pas inversible. Remarque : on pouvait aussi écrire que le systèmeAX= 0 a dautres solutions queX= 0, ce qui prouve queAnest pas inversible.
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2) a)On posev= (x,1,z). Léquationf(v) =uest équivalente au système :Ax1z=212. 2x+10+7z=2 Ce système sécrit :x+4+3z= Les deux1 . 2x86z= −itauqéserèinreduivatéqétanons2lise,eltn  it 3. reste2x+7z+8=os0,=z+32=3etenfni0z= 2 etx= x= −3z3x z
Le vecteurvcherché vérifiantf(v) =uestv= (3,1,2) b)Lénoncé semblant admettre que le vecteurwproposé, solution def(w) =v, existe et est unique, on se contente de vérifier par un simple calcul : 0  A1=1023417110=123. Ceci montre bien que : 1286
Le vecteurwcherché vérifiantf(w) =vestw= (0,1,1). b)montrer que la matrice de passageIl suffit de P de la base canoniqueBRIde 3 la à famille (u,v,w) est inversible. On cherche donc une réduite de Gauss de la matriceP=211301. 2 2 1− − − Avec les transformations élémentairesL22L2L1etL3L3+L1, on obtient : 203102 . 0 11 Avec la transformationL3L3+L2, on obtient : 200300121. Cette réduite dePest triangulaire sans élément diagonal nul, elle est donc inversible etPlest aussi. En conséquence : B (u,v,w) est une base de IR3. = 3) a)On a :f(u) = 0,f(v) =uetf(w) =vdonc la matriceNdefdans la baseBest : N=000000011.
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La matriceNest triangulaire donc ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux. On peut donc conclure que 0 est la seule valeur propre deN, donc la seule valeur propre def. De plus, le sous-espace propre defassocié à la valeur propre 0 est Kerf. Comme dimKerf= 1, on a dimKerf< dimIR3donc : fnest pas diagonalisable. b)La formule de changement de base sécrit :A=PNP1.   Un calcul simple montre que :N2=000010etN3= 0. 0 0 0
3 On en déduit queA= 0 Pour tout entierksupérieur ou égal à 3, on a alors :Ak=A3Ak3= 0  . . Conclusion : k3,Ak= 0. bcafdeune matrice quelconque deCN. 4) a)SoitM=  ig h0 1 0 La relationMN=NMéquivaut à :abcdefghi000100010=000100bcdeafghi, doù : MCN000ghdeab=d0eg0fih0, doù, en identifiant :abd===egf==ih=0.a b c On a donMCN. c :M= 0a b 0 0aM=N+cN2. En conclusion :MCNaI+b Ceci prouve que : CN= vect(I,N,N2)
 b)MCAAM=MA(PNP1)M=M(PNP1)PNP1M=MPNP1 . En multipliant les deux membres parP1à gauche et parPà droite, on obtient : MCANP1MP=P1MPNN(P1MP) = (P1MP)N. On a donc : MCAP1MPCN. Daprès le résultat de la question 4a), on peut écrire : MCA(a,b,c)IR3,P1MP=aI+bN+cN2. Ceci est équivalent (en multipliant les deux membres parPà gauche et parP1à droite) à : MCA(a,b,c)IR3,M=P(aI+bN+cN2)P1, doù, en développant : MCA(a,b,c)IR3,M=aPIP1+bPNP1+cPN2P1.
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CommePIP1=I,PNP1=AetPN2P1=A2, on trouve finalement : MCA(a,b,c)IR3,M=aI+bA+cA2. Conclusion : CA= vect(I,A,A2). La famille (I,A,A2) est génératrice deCA, on va vérifier que cest une famille libre. Soit donc trois réelsa,betctels queaI+bA+cA2= 0. En multipliant les deux membres parP 1à gauche et parP droite, on obtient (avec une à technique identique à celle utilisée plus haut) :aI+bN+cN2= 0. a b cCeci sécrit :0 0a=000000000et on conclut que :a=b=c= 0. 0a b La famille (I,A,A2) est génératrice deCAet libre, cest donc une base deCA. On a donc :
dimCA= 3. Exercice 2 1) Sur ],0[ et sur [1,+[,fcoïncide avec la fonction nulle donc elle est positive. Sur [0,21,[fest bien définie (1x0) et positive (car 2(1x)2> 0). Sur[21,1[,fest bien définie (x0) et positive (car 2x2> 0). fest positive sur IR.
 Sur ],0[ et sur [1,+[,fcoïncide avec la fonction nulle donc elle est continue. Sur [0,[21,fest un quotient de fonctions polynomiales à dénominateur non nul doncfest continue. Sur[12,1[,fest un quotient de fonctions polynomiales à dénominateur non nul doncfest continue. fen0,en12eten1.oncnutisueIRruasepfê-tuertste
f(t)dt 0=1+∞f(t)dt= 0 (aucun problème de convergence). 1/21 121t1/2= 1=12 0f(t)dt=()0.2/211f(t)dt=21t12/1= =1+212.1 Avec la relation de Chasles, on a bien :
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