Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 0 10 10 1 58 41 41 0 0@ A@ A@ A On considère les matrices :A= 10 0; T= 02 1; P= 12 12R: 0 10 00 21 10 3!!!3 On noteflendomorphisme deRde matriceAdans la base canoniqueB= (e1; e2; e3)deR.
1. Etudieren discutant selonlinversibilité de la matriceP. (Onutilisera la méthode du pivot). 3 2 2. OnnoteQle polynôme déni surRparQ(x) =x+ 5x8x+ 4:
(a) Montrerpar une méthode du pivot que :est valeur propre deA()Q() = 0: (b) CalculerQ(1). Endéduire les valeurs propres deA. (c) Déterminerune base de chaque sous-espace propre deA. La matriceAest-elle diagonalisable ? !! 3. Ondénit les tripletsv1= (1;1;1)etv2= (4;2;1). !!!! (a) Justierquef(v1) =v1et quef(v2) = 2v2: !!!! Déterminer le réel0tel que le tripletv3= (0;1;0)vérief(v3) =v2+ 2v3: (b) Montrergrâce à la question1quePest inversible. 0 0!!!3 En déduire que la familleB= (v1; v2; v3)est une base deR. 0 10 1 9 1 @ A@ A (c) Vérierpar calcul queP8 =1(ce résultat servira en question 4.) 0 6 1 11 alculerP (d) Sansc, justier la relation:A=PT P 0 00 0 1 1 00 n nn1 @ A (e) Montrerque pour tout entier natureln,T= 02n2 n 0 02
4. Onconsidère la suite(un)ainsi dénie : n2N u0= 1;u1=1 ;u2= 1 Pour tout entier natureln; un+3= 5un+28un+1+ 4un 0 1 u n+2 @ A (a) Onpose, pour tout entier natureln,Yn=un+1que. MontrerYn+1=A Yn. u n n1 (b) Montrerpar récurrence que pour tout entier natureln; Y=PP T n 0Y0. 0 (c) Enutilisant la question 3., exprimerunen fonction denpour tout entier natureln.
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EXERCICE 2
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
x On considère la fonctiongdénie surRparg(x) =ex. Pour chaque entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on considère léquation notée(En):g(x) =n;dinconnue le réelx..
1. (a)Dresser le tableau des variations degen précisant les limites aux bornes. (b) Montrerque léquation(En)admet exactement deux solutions, lune strictement négative notéenet lautre strictement positive notée. n 2. Danscette question on note(uk)la suite ainsi dénie : k2N u0=1 u k Pour tout entier naturelk; uk+1=e2
(a) Onrappelle que2est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsquen= 2 Calculerg(1)etg(2)puis montrer que2661. 2 2 (b) Justierquee2 =2. En déduire par récurrence surkque pour tout entier naturel:26uk61: (c) Enutilisant linégalité des accroissements nis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels 1 b a aetbtels quea6b61;06ee6(ba): e u  k2 (d) Montrerque pour tout entier naturelk,u=ee k+1 2   k 1 En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturelk: 06uk26. e (e) Montrerque la suite(uk)est convergente et de limite2. k2N (f) Onconsidère le programme Turbo-Pascal suivant:( oùtruncdésigne la fonction partie entière) program ex2 ; var N, k :integer ; epsilon, u :real ; begin writeln (  Donnez un reel strictement positif); readln (epsilon ); N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ; for k := 1 to N do ...........................; end.   N 1 Montrer que lentier naturelNcalculé dans ce programme vérie :6epsilon e Compléter la partie pointillée de ce programme an que la variableucontienne après son exécution une valeur approchée de2à epsilon près.
3. Onrevient au cas général oùn>2.
(a) Montrerque16g(lnn)6n:En déduire(ln (2n))>n( on donneln 2'0;69). (b) Endéduire queln (n)66ln (2n), puis établirsln (n). n n n!+1
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EXERCICE 3 Dans cet exerciceRdésigne un réel xé strictement positif et on considère la fonctionfdénie surRpar : ( f(t) = 0sit =2[0 ;R] 2t f(t) =sit2[0 ;R] 2 R 1. (a)Etudier la continuité def. (b) Montrerquefest une densité de probabilité. On note dans toute la suiteXune variable aléatoire réelle de densitéf.FXdésigne sa fonction de répartition. 2. (a)Déterminer la valeurFX(x)lorsquex <0, puis lorsquex > R: 2 x (b) Montrerque pour tout réelxde[0;R],FX(x) =. 2 R 2R 3. (a)Montrer queXadmet une espérance et queE(X) =: 3 2 R (b) MontrerqueXadmet une variance et queV(X) =: 18 Dans toute la suitendésigne un entier naturel non nul etX1; X2; :::; Xndes variables aléatoires in-dépendantes et de même loi queXcherche à estimer le réel. OnRà laide deX1; X2; ::; Xn. n 3P 4. OnnoteTn=Xket on cherche à estimerRavecTn: 2n k=1 Montrer queTnest un estimateur sans biais deRet calculer son risque quadratique notér(Tn): 5. On noteMnla variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables X1; X2; ::; Xn, de sorte que pour tout réelx;(Mn6x) = (X16x)\(X26x)\    \(Xn6x): n (a) Montrerque pour tout réelx,P(Mn6x) = (FX(x)). Endéduire la fonction de répartition deMn, puis montrer queMnest une variable aléatoire à densité. (b) Montrerquune densité possible deMnest la fonctiongndénie surRpar : 8 2n1 <t gn(t) = 2nsit2[0;R] 2n R : gn(t) = 0sit2=[0;R] (c) MontrerqueMnadmet une espérance et une variance, et que: 2n n 2 E(Mn) =RetV(Mn) =R 2 2n+ 1 (n+ 1) (2n+ 1)
(d) Oncherche à estimerRavecMn: Calculer le biais deMn, notéb(Mn), et son risque quadratique notér(Mn).
6. (a)Déterminer un équivalent simple lorsquentend vers1deb(Mn)etr(Mn). (b) Quelssont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateursTnetMn?
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