Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

Publié par

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
Lecture(s) : 142
Tags :
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option technologique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 4 pages
Année 2006
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
1/4
Tournez la page S.V.P
EXERCICE 1 On se propose de déterminer par deux méthodes,les suites de réels(un)n2Net(vn)n2Nvériant les relations de récurrence:8 2 1 > < u=u+v n+1n n 3 2 Pour tout entier naturel n :avecu0= 1etv0= 1 1 1 > : vn+1=un+vn 3 2 1. Montrerpar récurrence que ,pour tout entier naturel n :un+vn= 2 2. Ondénit la suite(xn)n2Npar: 4 8n2N; xn=vn5 (a) Utiliser la question qui précède pour montrer que la suite(xn)n2Nest une suite géométrique.En déterminer la raison. (b) ExprimerxnEn déduireen fonction de n.vnpuisunen fonction de n. (c) Montrerque les suites(un)n2Net(vn)n2Nsont convergentes vers des réels respectifsl1etl2à préciser. 3. Onconsidère les matrices à coe¢ cients réels B et C dénies par :    1 33 123 B=; C= 5 22 52 3 (a) Lesmatrices B et C sont elles inversibles ? (b) Montrerlexistence dune matrice carrée dordre 2,à coe¢ cients réels,notée A telle que pour tout entier naturel n :    un+1un =A v v n+1n (c) Vérierque lon a : ( B+C=I 1 B+C=A 6 Idésigne la matrice unité dordre 2. 2 2 (d) Calculerles produits matricielsB,C,BC,CB. (e) Montrerpar récurrence que pour tout entier naturel n :      n 1 unu0 =B+C vn6v0
(f) Retrouverainsi lexpression deunet devnen fonction de n . Vérier que lon a:    l u 1 0 =B l2v0
EXERCICE 2 On dénit la suite(un)n2Npar:
( 3 u= 0 2 8n2N; un+1=f(un)
fest la fonction dénie sur lintervalle[1;+1[par :
2x f(x) = (x+ 1)e
2/4
x On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes pourf(x)ete: x10;5 0;5 1 1;3 4 55 2 f(x0) 0;41 1;36 1;47 1;39 1;21 0;80 0;45 0;24 x e2;71 1;65 0;61 0;37 0;22 0;14 0;05 0;02 0;01
1. Etudedes variations def 0 1. Déterminerla fonction dérivéefdef.
2. Dresserle tableau de variation defsur[1;+1[.
3. Donnerla limite def(x)lorsquextend vers+1.
2. Convergencede la suite(u) n n2N 1. Prouver,parrécurrence que pour tout entier naturel n, 3 16un6 2 2. Démontrerque,pour tout réel x appartenant à [1,], 1 0   f(x)6 2   3 3. Onnotegla fonction dénie sur1;parg(x) =f(x)x 2   3 0 0 (a) Exprimerg(x)en fonction def(x)et montrer ainsi quegest décroissante sur1;. 2   3 (b) Prouver lexistence dun unique réelappartenant à1;que. telg() = 0. Exprimerf()en 2 fonction de. (c) Montrerque si6u,alorsu6que si. Montreru6alors6u. n n+1n n+1 4. Rappelerlénoncé du théorème de linégalité des accroissements nis et montrer que : 1 8n2N;jun+1j6junj 2 Puis que:   n+1 1 8n2N;junj6 2 En déduire la limite de la suite(un)n2Nquand tend n vers linni.
EXERCICE 3 On dispose dune urne qui contient des boules numérotées de 1 à N ,N étant un entier naturel non nul. On y e¤ectue une suite de tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée avant de procéder au tirage suivant. Ondésigne par X la variable aléatoire réelle égale au nombre de tirages nécessaires pour voir pour la première fois toutes les boules de lurne.
3/4
1. Calculde la somme dune série On considère un entiern>1et la fonction dénie sur lintervalle[0;1[par : n X k 8x2[0;1[; Sn(x) =x k=0 Donner lexpression deSn(x)et en déduire la valeur de la somme : +1 X k S(x) =x k=0 On rappelle que: +1 X 1 k1 kx= 2 (1x) k=0
2. Onsuppose que lurne contient 2 boules (N=2) 1. Montrer que la probabilité davoir e¤ectué n tirages pour voir pour la première fois les deux boules de   n1 1 lurne,est donnée par :pourn>2p[X=n] = 2 2. Vérierque la variable aléatoireY=X1Quel en est son paramètre ?Donnersuit une loi géométrique. la valeur de lespérance et de la variance deY. En déduire lespérance et la variance de X.
3. Onsuppose que lurne contient 3 boules (N=3). On noteAn(respectivementBn,Cn) lévénement:la boule A (respectivement la boule B,la boule C )na pas été obtenue au cours des n tirages,n2N 1. Déterminerles probabilités suivantes : p[An]; p[An\Bn]; p[An\Bn\Cn]
2. Exprimerlévénement[X > n]en fonction des événementsAn,Bn,Cn. 3. Enutilisant la formule ci-dessous : p[A[B[C] =p[A] +p[B] +p[C]p[A\B]p[B\C]p[A\C] +p[A\B\C] n n nn n n nn nn nn nn n Prouver que pour toutn>2:    n n1 2 1 p[X > n] = 33 3    n1n1 2 1 4. Endéduire que la loi deXpour toutest donnée par :n>3p[X=n] =2 3 3 5. Vérierque : +1 X p[X=n] = 1 n=3 6. MontrerqueXadmet une espérance et déterminer cette espérance.
4/4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.