Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 0 10 10 1 1 0 00 0 01 0 0 @ A@ A@ A Soient les matrices carrées :A= 65 6; H= 33 3; I= 01 0 212 30 0 11 1
21 1. (a)Montrer queA= 3I2A. Endéduire queAest inversible et détailler la matriceA. (b) Montrerquil existe un réelatel queAH=aH. (c) Montrerquil existe un réelbtel queA=I+bH. On considère la suite(bn)n2Ndénie par : b0= 0 Pour tout entier natureln; bn+1=3bn+ 2:
n 2. (a)Sans calculerbn, montrer par récurrence que pour tout entier natureln,A=I+bnH. 0 1 01 1 1 n @ A @A (b) EndéduireA3 = 3bn+ 3 3bn+ 3 0 1 1 @ A (c) Calculerbnen fonction den;puis exprimer la matrice colonne3bn+ 3en fonction den. bn+ 3 On considère maintenant les suites(un)n2Net(vn)n2Ndénies par : u=v= 3 0 0 Pour tout entier natureln; un+1= 65un+ 6vnetvn+1= 22un+ 3vn: 0 1 1 @ A On note, pour tout entier natureln,Xn=un. vn 3. (a)Montrer que pour tout entier natureln; Xn+1=AXn. n (b) Endéduire que pour tout entier natureln; Xn=A X0. (c) Calculernalementunetvnen fonction den.
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EXERCICE 2 On considère une constante réelleAstrictement supérieure à 1. On note alorsfla fonction dénie surRpar: ( 1 si16t6A f(t) = tlnA 0sit <1out > A 1. (a) Justierque pour tout réelt,f(t)>0. 0 (b) Calculerf(t)dans les trois cas suivants :t <1;1< t < A;t > A. Quel est le sens de variation defsur lintervalle]1;A[? 1 (c) Danscette question uniquement on suppose queA= 2donne. On'1;4. ln 2 Tracer lallure de la courbe defdans un repère orthonormé dunité 5cm. x R On noteFla fonction dénie surRpar :F(x) =f(t)dt. 1 2. (a)CalculerF(x)dans le cas oùx <1. lnx (b) Montrerque si16x6A; F(x) =. DonnerF(A). lnA (c) Montrerque pour tout réelx > A; F(x) = 1. On dit quune variable aléatoireTsuit laloi de Benford de paramètreAlorsque cette variable aléatoireTest une variable à densité, de densitéfet de fonction de répartitionF. On suppose dans toute la suite queXsuit uneloi de Benford de paramètre 10et on remplace doncle réelApar 10 dans les expressions defet deF. 9 3. (a)Montrer que lespérance deXvautE(X) = ln 10 (b) Soienta; betctrois réels tels que :16a < b610,16ac6bc610: Calculer en fonction deaetbles probabilités :P(a < X6b)etP(ac < X6bc). Montrer quelles sont égales.(On dit que laloi de Benfordest invariante par changement déchelle). 2 4. OnnoteYla variable aléatoire dénie parY=X. (a) SoityJustier queun réel strictement inférieur à 1.P(Y6y) = 0: (b) Soityun réel strictement supérieur à100que. JustierP(Y6y) = 1. 3 ln 2 (c) MontrerqueP(Y664) =P(X68) =. ln 10 lny (d) Plusgénéralement, soityun réel appartenant à[1; 100]: MontrerqueP(Y6y) =. 2 ln 10 (e) Déterminerune densité deYet montrer queYsuit uneloi de Benfordde paramètre 100.
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EXERCICE 3
Les parties B et C sont indépendantes
On considère trois urnes :lurneU1contient deux boules rouges et trois boules bleues, lurneU2contient une boule rouge et aucune boule bleue et lurneU3contient une boule bleue et aucune boule rouge.On choisit dabord une de ces trois urnes au hasard avec équiprobabilité.Une fois cette urne choisie, on e¤ectue dans cette urne et sans jamais en changer une série illimitée de tirages dune boule, avec remise dans cette urne.Pouri= 1;2;3 on noteUilévénement :« lurnechoisie pour les tirages est lurneUitout entier naturel non nul» .Pourk, on noteRk:« lek-ième tirage a amené une boule rouge ».
Partie A 1. Justierque les événements (UU ;U ;) forment un système complet dévénements. 1 2 3 Soitk2N:Donner les probabilités conditionnellesP(R),P(R),P(R). U1k U2k U3k 7 En déduireP(Rk) =. 15 2. Soitnun entier naturel non nul.   n 2 (a) JustierqueP(R\R=. U11 2\    \Rn) 5 (R   \R)e 21\R2\nR2\    \R (b) Préciserles valeurs dePUtPU3(R1\n).   n 2 1 1 En déduire par formule des probabilités totales queP(R1\R2\    \Rn+) =. 3 5 3 3. Montrerque les événementsR1etR2ne sont pas indépendants.
Partie B 2 k 1 + () 5 1. Montrerque pour tout entierk>2,P k1Rk) =. R1\R2\\R( 2 k1 1 + () 5 2. OnnoteZla variable aléatoire égale au rang où une boule bleue apparait pour la première fois, et égale à 0 si aucune boule bleue napparait jamais. 8 (a) JustierqueP(Z= 1) =. 15 k) =P(R\R\    \R)P(. (b) Soitun entierk>2que. MontrerP(Z=1 2k1R1\R2\\Rk1Rk)   k1 1 2 En déduire grâce aux questions précédentes que pour tout entierk>2,P(Z=k) =. 5 5 +1 P (c) CalculerP(Z= 1) +P(Z=k)et en déduireP(Z= 0). k=2 Partie C Dans cette partie on sintéresse à la variable aléatoireXégale au nombre de tirages ayant amené une boule rougeau cours des 200 premiers tirages.
1. (a)DonnerX().     k200k   2 3 200 (b) Soitkun entier def0; :::;200gque. JustierPU1(X=k) =. k 5 5 1 (c) Montrerque pour tout entierktel que16k6199,P(X=k) =PU(X=k). 1 3
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  2 2. Onapprochera toute variableTde loi binomialeB200;par une variableNde loi normaleN(80;48): 5
5N80 5 (a) MontrerqueP(60< T6100)P(<6). 12 48 12 (b) Utilisercette approximation pour montrer queP(60< X6100)'0;11. 5 (On donne:( )'0;66;est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite) 12
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