Mathématiques 2007 Concours GEIPI

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 9 mars 2008
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Centre d’Examen :
NOM :
Epreuves de Mathématiques et de PhysiqueChimie Mercredi 9 mai 2007 9 h  12 h SUJET DE MATHEMATIQUES Nous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physiquechimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30. Il est noté sur 20 points.L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit.Quatre exercices indépendants sont proposés. Les démonstrations ne sont à rédiger que si elles sont explicitement demandées.
Ne rien inscrire cidessous
ISAT  ESIREM  POL YTECH’NiceSophia  POLYTECH’Orléans EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  T ELECOM Lille 1  ISEL
GROUPEMENT DÉCOLESDINGENIEURSPUBLIQUES ÀPARCOURSINTÉGRÉ
PRENOM :
N° Inscription :
1 2 3 4 TOTAL
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
Lesujetcomporte10pagesnume´rote´esde2`a11
EXERCICE I - (7 points) Donnerlesre´ponsesdelaPartieAdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage3
Onconsid`erelasuiteder´eels(un)nNr:de´neiap u0= 3 µ13 un+1=un+,pour tout nN 2un Le but de l’exercice est de montrer que la suite(un)nNconverge vers3.
Partie A
One´tudiedanscettepartielafonctionfe´dienrsuRpar : + µ13 f(x) =x+,pour tout x>0 2x SoitCflacdevetiatnese´rperebruoflapaenprrstlpaon`ad´ereunre`ptroeonohe´mr(O,~ı, ~).
I-A-1-
I-A-2-a-
I-A-2-b-
I-A-2-c-
I-A-3-a-
I-A-3-b-
I-A-4-a-
I-A-4-b-
I-A-5-
2/11
Donner les limites defbouxasodeesrneniamodnine´ded.tion
0 0 Calculerf(x)u`ofe´viedealtesre´df.
Compl´eterletableaudesvariationsdef.
Ende´duirequefadmet un minimummcesipn´rleouqera. µ1 Calculerlimf(x)x. 2 x+Ende´duirequeCfadmet, au voisinage de+, une asymptoteΔdont on donnera une´equation.
Donner l’expression de
Etudier le signe de
f(x)x
f(x)x
en fonction dex.
en fonction dexR. +
Tracer la droiteDnodqe´itauy=x, la droiteΔet la courbeCf.
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I-A-1-
I-A-2-a-
I-A-2-b-
I-A-2-c-
I-A-3-a-
I-A-3-b-
I-A-4-a-
I-A-4-b-
I-5-
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE I (Partie A)
limf(x) = + x0
0 f(x) =
x
0 f(x)
f(x)
m=
0
µ1 limf(x)x= x+2
Δ
:
f(x)x=
signe de
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x
(f(x)x)
~
O
ı~
0
limf(x) = x+
+
+
3/11
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EXERCICE I - (suite) Donnerlesr´eponsesa`laPartieBdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage5
Partie B
On rappelle que la suite(un)nNsedtr:eiape´nu0= 3 µ13 u=un+, n+1 2un
I-B-1-
I-B-2-
I-B-3-a-
I-B-3-b-
4/11
pour
tout
nN
En utilisant laPartie A, montrer que pour tout entiern, on a : un3
En utilisant laPartie Aet la questionI-B-1-, expliquer pourquoi la suite(un)nN estd´ecroissante.
Expliquer alors pourquoi la suite(un)nNotnn.Oleemilemnduatelee´retilcette limite.
Justifier que
l=3.
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I-B-1-
I-B-2-
I-B-3-a-
I-B-3-b-
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE I (Partie B)
Pour toutnN,
un3
(un)nNtsece´droissantecar
(un)nNa une limitelcar
l=3
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car
car
5/11
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EXERCICE II - (4 points) Donnerlesr´eponsesdecetexercicedanslecadrepre´vua`lapage7
Onseproposedanscetexercicedere´soudrel´equationsuivantedansR:
II-A-1-a-
II-A-1-b-
II-A-2-a-
II-A-2-b-
II-A-3-
II-A-4-
II-A-4-a-
II-A-4-b-
II-A-4-c-
II-A-5-
6/11
Mettre
(E)
2x e
:
2 2x2+2x x+ (1e)e xe= 0
enfacteurdanslemembredegauchedele´quation(E).
D´eterminerlexpressiondeXen fonction dexpourquel´equoitan(E)a-ivtiosuqe´ 0 lentea`le´quation(E)suivante :
0 (E)
:
2 2 2 X+ (1e)Xe= 0
De´terminerler´eelbpour que l’on ait :
2 2 2 2 (1e4) + e+= (1 b)
0 D´etermineralorslesdeuxsolutionsr´eellesX1etX2le´dontiuaeq(E).
Ende´duirequexest une solution de(E)si et seulement sixve´irenudees´equa-tions : g(x)h(x) x=eoux=e o`ugethsnuqtcoidne´leoinertermstia.Juseon.laerepr´soonsfdent
x Onconside`redansunrep`ereorthonorme´(O;~,ı~), la courbeC1´ednoitauqy=e.
Parquelletransformationg´eom´etriquesimplelacourbeC2noitequad´ sede´duit-elledeC1?
Parquelletransformationg´eome´triquesimplelacourbeC3´dtuiaoenq sed´eduit-elledeC1?
Tracer l’allure des courbesC2,C3et la droiteDnde´uqtaoiy=x.
x y=e
2+x y=e
De´terminergraphiquement,a`laidedelaquestionII-A-4-c-, le nombre de solutions del´equation(E)itsulree´rasnope..J
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II-A-1-a-
II-A-1-b-
II-A-2-a-
II-A-2-b-
II-A-3-
II-A-4-a-
II-A-4-b-
II-A-4-c-
II-A-5-
(E)
X=
b=
:
X1=
g(x) = car
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE II
µ 2x e
C2etddeiues´dC1par
C3se´detiudedC1par
~
O
Nombre de solutions de(E):
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ı~
X2=
h(x) =
car
= 0
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EXERCICE III - (5 points)
Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepre´vu`alapage9 Dansleplancomplexerapporte´a`unrepe`reorthonorm´e(O;,uv~~)lereoispsnt,nodie`ocsnA, B,CetFd’affixe respective : zA= 4 + 4i , zB= 4, zC= 7, zF= 4 + 3i. Onde´signeparEle point d’intersection des droites(AC)et(OF).
Partie A
III-A-1-
III-A-2-a-III-A-2-b-
III-A-3-
III-A-3-a-III-A-3-b-III-A-4-
Partie B
Faireunegurecomple`te. zF Calculerrsifqourmg´eeable.sou zAzC Quepeut-onde´duiredelaquestionIII-A-2-a-, pour les droites(OF)et(AC). Justierlare´ponse. Onveutve´rierquelepointFs´eer´dnopstniopedemeyst`edusentrarycltbese ½ ¾ (0 ; 3),(A;α),(C; 25α),`ouαel.estunr´e −→ −→ −→ Exprimer le vecteurOFen fonction deα,OAetOC. De´terminerlavaleurdeα. Le pointEd’intersection des droites(AC)et(OF)ycentbarese`tmesusyrtde {(A;β),(C; 4)}D.ete´inrmlaerlevadeurβ.
Onconsid`erelescerclessuivants: - Le cercleC1, circonscrit au triangleBOF, de centreΩ1et de rayonr1. - Le cercleC2, circonscrit au triangleOEC, de centreΩ2et de rayonr2. - Le cercleC3, circonscrit au triangleABC, de centreΩ3et de rayonr3. - Le cercleC4, circonscrit au triangleAEF, de centreΩ4et de rayonr4.
III-B-1-
III-B-2-
III-B-3-
8/11
Donner les affixesz1,z2,z3etz4des pointsΩ1,Ω2,Ω3etΩ4. Calculerr1,r2r3etr4.
Calculerz3z4etz2z1ique´ebrealgformsuos. Quepeut-t-onend´eduirepourlequadrilate`reΩ1Ω2Ω3Ω4? z3z4 Calculerlaemrofsuqirbe´gseu.o z1z4 Quepeut-t-onend´eduirepourlequadrilat`ereΩ1Ω2Ω3Ω4?
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