Mathématiques 2010 S.T.I (Génie des Matériaux) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2010 sur Bankexam.fr.
Publié le : mercredi 23 juin 2010
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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
SÉRIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES'

OPTIONS :*GÉNIE MÉCANIQUE B, C, D, E et GÉNIE DES :MATERIAUX

SESSION 2010

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée 4 heures - Coefficient 4

Le sujet comporte 3 pages.

2 feuilles de papier millimitré seront remises au candidat avec le sujet.

0
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n 99-186 du 16-11-1999)

Le formulaire officiel de lnathématiques est joint au sujet.

lOMAI2ME1 1/3 Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Le plan est muni d'un repère orthogonal (0; , J). On considère l'équation différentielle (E) sui­

vante : 4y" = -y où y désigne une fonction de la variable réelle .7.: définie et deux fois dérivable sur

R et où y" désigne sa dérivée seconde.

1. Soit 1 la fonction numérique définie sur R par : 1(x) 2 cos (~ +i).
Calculer l'(x) et 1"(x), puis vérifier que la fonction 1 est une solution de l'équation différentielle
(E).
2. a) Donner la fonne générale des solutions de l'équation différentielle (E).
b) Déterminer la solution particulière 9 de (E) dont la courbe représentative
passe par les points A(O; 1) et B(7r; -J3).
c) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : 9 (x) = 1(x).
EXERCICE 2 (6 points)
Le plan est muni d'un repère orthononnal (0; , ït).

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument 7r

. 2
L Résoudre da~s l'ensemble C des complexes l'équation: (z - 2)(Z2 - 2z 4) = O.
2. On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives:
ZA 2; ZB = 1 +iJ3; ze = ZB; ZD = 2e2i~ ; ZE = 2ie-i~.
a) Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes ZA et ZB.
b) le et un de Ze.
c) Donner sans calcul le module et un argument de ZD'
d) Détenniner la fonne algébrique de ZD et ZE.
3. a) Placer les points A, B, C, D, E dans le repère indiqué sur la feuille de papier millimétré fournie.
On prendra comme unité graphique 2 cm sur chacun des axes.
Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
b) Montrer que les points A, B, C, D, E sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre
et le rayon.
c) Tracer le cerc1e·dans le repère.
d) Quelle est la nature du triangle DBC?
1OMAI2:ME1 2/3
r------------------...... ~~..~ PROBLÈME (10 points)
Soit la fonction J, définie et dérivable sur R, d'expression J(x) = 6 - x ­
Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (0; , J).
L a) Étudier la limite de J en +00.
x X b) Montrer que J(x) peut se mettre sous la forme J(x) = e-x(6e xe - 1). On admet que
lim xex~ En déduire la limite de J en -00.
x-+-co ",
2. a) Démontrer que la droite fi d'équation y = -x + 6 est une asymptote à la courbe Cf en
b) Étudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite fi.
3. On note l' la fonction dérivée de J sur R.
X I-e
a) Calculer l'(x) et montrer que l'(x) peut se mettre sous la forme l'(x) = eX .

b) Résoudre dans R l'inéquation 1 - eX ) O.

c) En déduire le signe de 1'(x) sur R et dresser letableau de variation de J.

4. Soit fi' la parallèle à fi passant par l'origine.
Calculer les coordonnées du point d'intersection N de fi' et de Cf.
5. Déterminer une équation de la droite 'J tangente à Cf au point d'abscisse 1~(6).
6. En utilisant une fe~ille de papier millimétré, tracer dans le repère (Oi 1!, J) la courbe Cf et les
droites ~, fi' et 'J. On prendra comme unité graphique 1 cm sur chacun des axes.
2
X7. Soit la fonction F, définie et dérivable sur R, d'expression F(x) = 6x - ~ e- •
a) Montrer que est une primitive de J sur R.
b) Hachurer: sur le graphique le domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, la droite
d'équation x = In(6) et l'axe des ordonnées.
2 c) Calculer l'aire A en cm de la partie hachurée.
2On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie de A au dixième de cm .
lOMAI2MEl 3/3

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