Mathématiques commune 2005 Concours National DEUG

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques commune 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques commune 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : jeudi 8 mars 2007
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SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.+∞ sint Exercice 1Calcul de l’intégrale de Dirichlet=dt. t 0 1. Existencede sin On définit sur[0,+∞[la fonctionf parf(x)=pourx>0etf(0)=1. +∞ sint Justifier quefcontinue sur est[0,+∞[montrer que puis=dtest convergente.On t 0 A sint pourra intégrer par parties l’intégraledt(A>1). t 1 π ( 2n+1) 2 sint 2.Pour tout entier naturel non nuln, on définitetJ par:=dt et n nn t 0 π 2 sin(2n+1)t J=dt. n sint 0 π 2 sin(2n+1)t a.Montrer que=dt. n t 0   b.Soientx0; etkun entier naturel non nul.   2Ecrire sincos(2kxet en déduire une relation) àsinus »l’aide d’une différence de deux « n sin(2n+1)x entre etcos(2kx) . sinxk=1
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c.CalculerJ. n 3. Lemmede Lebesgue 1 Soitgune fonction de classeCsur un intervalle[a,baetbsont des réels aveca<b. b On pose, pour tout entier natureln,L=g(t) sin(nt) dt. Montrer en utilisant une intégration n a (Ltend vers 0 lorsquentend par parties que la suiten)vers+∞. π1 1π4.On définit la fonctionϕparsur 0,ϕ(x)= −pourx(0)0, et=0.    2sinx2a..Donner le développement limité à l’ordre 1 en 0 de πb.Montrer queϕ0; .est dérivable sur   21πOnadmet pourla fin de l’exercice queest en fait de classeC0; (celase démontre sur   2avec des calculs de développements limités). 5. Conclusion MontrelimIJ=0et en déduire la valeur de l’intégraleI. r que(n n) n→+∞ Exercice 2Quelques propriétésdes endomorphismes nilpotents.  nul.On not Soitneentier naturel non unMn\) le\- espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordren. n M deM) On dit qu’un endomorphismefde\ (respectivementune matricen(\) estnilpotentkk (respectivementnilpotente) s’il existe un entierktel quef=0 (respectivementM=0 ). 6. Etuded’un exemple 0 5 0  On considère la matriceA=0 0 0.     2 3 0   a.Montrer queAest nilpotente. b.Déterminer la dimension du noyau deA. c.Calculer le polynôme caractéristique deA.Aest-elle diagonalisable ? 7. Etuded’endomorphismes nilpotents particuliers Les deux questions suivantes sont indépendantes.
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3 2 a.Soitfun endomorphisme nilpotent de\tel quef=0 etf0 . Comparer Keret Im, puis calculer la dimension deKer . n nn1 b.Soitfun endomorphisme nilpotent de\tel quef=0 etf0 . n n1 Soit unvecteur de\tel quef(x)0 . 2n1n Montrer que la familleB=(,f(x),f(x),...,f(x))une base de est\écrire la puis matrice defdans cette base. 8. Diagonalisationdes matrices nilpotentes. Déterminer les matrices nilpote a.ntes deMn(\)qui sont diagonalisables. M b.Application : Déterminer les matrices symétriques den(\)qui sont nilpotentes. Exercice 3Résolution d’une équation « intégrale » 9. Questionspréliminaires a.Résoudre sur\, l’équation différentielley''(x)+y(x)=0 . b.Soitgfonction continue sur une\. Montrer avec soin que l’application x ϕ:6(xt)g(t) dtest dérivable sur\et calculer sa dérivée. 0 10. Application:Trouver toutes les fonctionsfcontinues sur\qui vérifient : x ∀ ∈\,f(x)+(xt)f(t) dt=1 (on pourra remarquer quef estdérivable et 0 déterminer (0)etf'(0) ). - Fin de l’énoncé -
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