Mathématiques I 2000 Classe Prepa B/L HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences-Humaines (B/L) MATHEMATIQUES I Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires.Il se compose de quatres parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àn: On tire une boule au hasard dansUn:On notekle numéro de cette boule. Sikest égal à1;on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à2;on enlève de lurneUnles boules numérotés dekàn(il reste donc les boules numérotés de1àk1);et on e¤ectue un nouveau tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1: On noteXnla variable aléatoire égale au nombre des tirages nécessaires pour lobtention de la boule1: On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn):
Partie 1 n P1 11 1. Onposehn+1 += =  +: k2n k=1
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(a) Montrer,que pour tout entier naturelknon nul, les inégalités: 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6; k+ 1k lndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités: ln(n+ 1)6hn61 + lnn: (c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P11 1 2. Onpose:kn1 ++= =  +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2;linégalité:6: 2 k k1k (b) Endéduire la majoration:kn62: (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquandntend vers linni.
Partie 2 :Etude de la variable aléatoireXn
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn: 1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer : 8j2N;8k2 f2; : : : ; ng; P(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévènement(X2= 1)la loi de? DonnerX2;son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX3;son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1;2; : : : ; ng: (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn=n): n1 1P (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer:8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1): n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2;calculer:nP(Xn=j)(n1)P(Xn1=j): En déduire, sinest un entire supérieur ou égal à2 : n1 1 8j>1; P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j1) n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, en utilisant 3.d):E(Xn) =E(Xn) +: n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2;calculerE(X)en fonction deE(X)et deE n n1(Xn1): (b) Endéduire:V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites enPartie 1) (c) Donnerun équivalent deV(Xn)quandntend vers linni. 6. Soit(Ti)i>1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,Ti n 1P suit la loi de Bernouilli de paramètre:On poseSn=Ti=T1+  +Tn: i i=1
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(a) VérierqueX1etT1ont la même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2;montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn=j) n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xi)etV(Xi): n P k 7. Ondénit le polynômePnpar la relation:8x2R; Pn(x) =x P(Xn=k): k=1 (a) DéterminerP1etP2: (n1 +x) (b) Sinest supérieur ou égal à2;à laide du 3.d), montrer, pour toutxdeR:Pn(x) =Pn1(x): n (c) EndéduirePn: (d) DéterminerP(Xn=n1): 0 (e) CalculerP(1)et r netrouverE(Xn):
Partie 3 :Etude de la variable aléatoireYn: 1. Donnerla loi deY1: 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2: 3. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Yn=j=In=k) =P(Yk1=jk): (b) Sinest supérieur ou égal à2;en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 : n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrerE(Yn) =E(Yn1) + 1:Que vautE(Yn)pour tout entiernnon nul ?
Partie 4 On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre1etn:A partir de lurneUn;on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; : : : ; ng;on dénitZla variable aléatoire égale i à1si, au cours de lun quelconque des tirages, on a obtenu la boule numéroi;égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZn? Quedire de la variableZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2etiun entier def1; : : : n1g;montrer la relation : n X (n)1 1(k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1): i i n n k=i+1 (n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; : : : ; ng; Zsuit la loi de Bernouilli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(Xn): i i=1 4. RetrouverE(Yn):
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