Mathématiques I 2001 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Problème On étudie dans ce problème la suite(Sn)dénie pourn>1par: n X 1 11 1 S= 1 ++ +  +cest-à-direS= n n 2 2 4 9n p p=1 Dans lapartie I, on détermine la limiteSde la suite(Sn)les. Dansparties IIetIII, on explicite deux méthodes indépendantes permettant daccélérer la convergence de(Sn)versS.
Partie I On considère pour tout nombre entierp>0les deux intégrales suivantes:   Z2Z2 2p2 2p Ip= cos(t)dt Jp=tcos (t)dt: 0 0 Jp 1. Convergencede la suite( ). Ip   (a) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre réelttel que06t6:t6sin(t). 2 2 1/4
2 (b) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre entierp>0:06J6(II). p pp+1 4 (c) ExprimerIp+1en fonction deIpen intégrant par parties lintégraleIp+1. 02p+1 Indication:on pourra poseru(t) = cos(t)etv(t) = cos(t)dans lintégration par parties. Jp (d) Déduiredes résultats précédents quetend vers0quandptend vers+1. Ip
2. Convergenceet limite de la suite(Sn).
(a) ExprimerIen fonction deJetJen intégrant deux fois par parties lintégraleI(p>1). p pp1p (b) Endéduire la relation suivante pourp>1:
J J1 p1p =: 2 I I2p p1p
(c) CalculerJ0etI0, puis déterminer la limiteSde la suite(Sn).
Partie II On accélère ici la convergence de la suite(Sn)vers sa limiteSpar une méthode due à Stirling. On désigne par :
Elespace vectoriel des fonctions continues de]0;+1[dansRet de limite nulle en+1. fkla fonction deEdénie pour tout nombre entier naturelkpar: 1 1 f0(x) =etfk(x) =pourk>1: x x(x+ 1)(x+ 2)  (x+k)
lapplication associant à toute fonctionfdeEla fonctionfdénie pourx >0par
1. Sommationde séries télescopiques.
(f)(x) =f(x+ 1)f(x):
(a) Etablirqueest un endomorphisme de lespace vectorielE. P (b) Etablir pour toute fonctionfappartenant àEla convergence de la série(f)(p)avecp>1et calculer pour tout nombre entier naturelnles sommes suivantes:
+1 X (f)(p) p=1
+1 X (f)(p): p=n+1
(c) Exprimerfk1en fonction deket defkpourk>1. P (d) Etablirpour tout nombre entier naturelk>1la convergence de la sériefk(p)et vérier pour tout nombre entier naturelnque:
+1 X 1 1 fk(p) =: k(n+ 1)(n+ 2)  (n+k) p=n+1
2. Accélérationde la convergence de(Sn).
(a) Etablirla relation suivante pourp>1etq>1:
q X 1q! (k1)!fk(p) =fq(p): 2 p p k=1
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(b) Endéduire linégalité suivante pourn>1etq>1: +1q X X 1 (k1)! (q1)! 066: 2 2 p k(n+ 1)  (n+k) (n(+ 1)n+ 2)  (n+q) p=n+1k=1 0 (c) Endéduire, lentierq>1étant xé, une suite(S)de nombres rationnels telle que: n 2 (q1)! 0 06S6: n 2 6 (n+ 1)(n+ 2)  (n+q) 0 ExpliciterSet linégalité précédente lorsqueq= 2. n 0 (d) Ecrireen Pascal un algorithme calculant et a¢ chantSpourq= 2lorsquenest donné. n Partie III On accélère ici la convergence de la suite(Sn)vers sa limiteSen e¤ectuant un développement limité deSnsuivant 1 les puissances de. n n Pup n1. Démontrerquil existe une et une seule suite de nombres réels(un)telle queu0= 1et= 0pour p! p=1 tout nombre entiern>2. Etablir que lesunsont rationnels et donneru1,u2,u3,u4sous forme de fraction irréductible. 2. Etudedes polynômes de Bernoulli. (a) Onconsidère la suite de polynômes(Un)dénie par: n X p unpx U0(x) = 1etUn(x) =pour tout nombre entiern>1: p! p=0 PréciserU1,U2,U3,U4. 0 MoU= ntrer quenUn1pourn>1etUn(0) =Un(1)pourn>2. (b) Onconsidère une suite de polynômes(Vn)dénie par: 0 VtV(0) =V(1)pour V0= 1;n=Vn1pourn>1en nn>2 Etablir queVn(p)(0) =Vnp(0)pour06p6net en déduire la formule suivante: n X p Vnp(0)x V(x) =: n p! p=0 Etablir la formule suivante pour tout nombre entiern>2: n X Vnp(0) = 0: p! p=1 Etablir enn queVn=Unpour tout nombre entier natureln. n (c) Endéduire légalitéUn(x) = (1)Un(1x)pour tout nombre entier natureln. Montrer alors queu2p+1= 0sip>1. 3. Accélérationde la convergence de(Sn). (a) Etablirpourp>1la relation suivante, dabord en supposantq= 1, puisq>1: 1 1 ZqZ X dx11 11 1U2q+1(x)dx ) +( +(2k)!u2k(= (2q+ 2)! 2 22 2k+1 2k+1 2q+3 (x+p) 2p(p+ 1)p(p(+ 1)x+p) k=1 0 0
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(b) Endéduire linégalité suivante pourn>1etq>1: +1q X X 1 1 1(2k)!u2k(2q+ 1)!M2q+1 +6 2 22k+1 2q+2 p nn nn   p=n+1k=1 M2q+2désigne le maximum de la fonction continuex7! jU2q+1(x)jsur le segment[0;1]. 00 (c) Endéduire, lentierq>1étant xé, une suite(S)de nombres rationnels telle que: n 2 (2q+ 1)!M2q+1 00 S6 2q+2 n 6n 00 ExpliciterSet linégalité précédente lorsqueq= 2. n 00 (d) Ecrireen Pascal un algorithme calculant et a¢ chantSpourq= 2lorsquenest donné. n
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