Mathématiques I 2002 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 17 juin 2007
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BTS INFORMATIQUE DE GESTIONSESSION 2002  E2: MATHÉMATIQUES I Durée :3 heuresCoefficient :2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour  une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.  (4 points) EXERCICE N°1 Une usine fabrique 3 sortes d’articles : a1, a2, a3, à partir de 3 modules : m1, m2, m3.  Ondonne : articles modules a1 a2 a3 m1 m2 m33 9 5m1Poids unitaires 5 6 3 (kg) modules 4 0 9m2Coûts unitaires 180 250 150 (en euros) 4 8 6m3On lit par exemple : Pour fabriquer un article a2, il faut 9 modules m1et 8 modules m3. Un module m1pèse 5 kg et coûte 180 euros. On note :   3 9 5    5 63 A=94 0M=      180 2501504 86     1)le produit matriciela) CalculerM×A. b) Interpréterles lignes de ce produit. BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 – MATHÉMATIQUESPAGE 1/4
2)Une semaine donnée, l’usine doit fournir 8 articlesa1a, 12 articles2a, 13 articles3. Elle dispose en début de semaine d’un stock de 200 modules de chaque sorte.   8  On noteF la matrice :F12 . =     13   a)Calculer le produit matricielA×F? Que représentetil ? b)La demande [8articlesa1,12articlesa2,13articlesa3] peutelle être satisfaite ?  (8 points) EXERCICE N°2 Toutes les probabilités demandées dans cette exercice seront données sous leur 3 forme décimale arrondie à10près. La partie C peut être traitée indépendamment des deux autres. Une entreprise vend 2 types de meubles: M1, M2euros et 509respectivement 419euros l’unité. La demande mensuelle en meubles M1est : une variable aléatoireX qui suit la loi normalen(85 ; 15). La demande mensuelle en meubles M2est : une variable aléatoireY qui suit la loi normalen(52 ; 8). On suppose que X et Y sont indépendantes. Partie A Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande. Ainsi, l’entreprise vend mensuellement X meubles M1et Y meubles M2. Calculer les probabilités (un mois donné) d’avoir les évènements suivants : V: on vendra au plus 80 meubles M1.1 V2: on vendra au plus 70 meubles M2. Partie B Dans cette question, le stock n’est pas obligatoirement suffisant pour satisfaire la  demande. L’entreprise dispose en début de mois d’un stock de 80 meubles M1et70  meubles M2.  Quelles sont les probabilités des évènements suivants :  S1: il y aura rupture de stock en meubles M1. S2: il y aura rupture de stock en meubles M2. S: ily aura rupture de stock (en meubles M1ou M2). (La rupture de stock concerne la fin du mois, et signifie que la demande est supérieure au stock). BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 – MATHÉMATIQUESPAGE 2/4
Partie C Un mois donné est dit rentable si le chiffre d’affaires de ce mois dépasse 70 000 euros. 1) Exprimer (en euros) le chiffre d’affaires Z du mois en fonction de X et Y. 2)Calculer l’espérance mathématique de Z.3)On admet que Z suit la loi normalen(62083 ; 7400).Quelle est la probabilité qu’un mois donné soit rentable ? 4)On note Rle nombre de mois rentables d’un semestre, et on suppose l’indépendance entre les évènements « rentable ou non rentable » des mois successifs. Justifier le résultat suivant : R suit la loi binomialeb(6 ; 0,142). 5) Quelleest la probabilité que sur les 6 mois d’un semestre, on en ait au moins deux rentables ?  (8 points) EXERCICE N°3 Un calcul doit être effectué un grand nombre de fois avec des données différentes. Il peut être réalisé à l’aide d’une configuration comprenant plusieurs processeurs travaillant simultanément, et d’un logiciel adéquat pilotant ces processeurs. Matériellement, on peut installer jusqu’à 256 processeurs. Le temps d’exécutionTcalcul (en secondes) est donné en fonction du nombre entier d’unp de processeurs installés par: 1 1+ln (p) T (p)=+, ln désignant le logarithme népérien. 2 200p Le coût (matériel + logiciel) de la configuration est proportionnel au nombre de processeurs installés. On désire choisir p pour que le temps de calcul et le coût soient faibles, et pour cela, on définit l’indiceI égal au produit du nombre de processeurs par le temps de calcul : 1 1+ln (p) I(p)=p×T(p)=p(+).2 200p On cherchera donc à avoir une configuration pour laquelle I est minimal. Partie A  Étudedu temps de calcul. Soittla fonction de la variablex, définie sur l’intervalle[1 ; +[ par : 1 1+ln(x) t(x)= +. 2 200x 1) Calculerla dérivéet'(x). En déduire le sens de variation de la fonctiont. 2) Calculerla limite deten +. Interpréter ce résultat.
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6 3) Calculer,à10 près,t(72),t(73). Combien fautil installer de processeurs pour que le temps de calcul soit inférieur à 0,006 secondes ? Partie B Étude de l’indice. Soitfla fonction de la variablex, définie sur l’intervalle[1 ; 256] par : 1 1+ln(x) f(x)=x(+). 2 200x 256 1 On définit l’indice moyen defparm=f(x)dx. 2551 1)Vérifier que la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [1 ; 256] par 2 (1+ln(x)) G(x)=2 1+ln(x) est une primitive de la fonctiong,définie sur le même intervalle, par: g(x)=. x 2 2) En déduire une primitiveF def puis l’indice moyenm à10près. 3) En vous aidant du graphique cidessous (courbe représentative def), puis d’une calculatrice, et en remarquant queI(p)=f(p), déterminer précisément le nombrepde processeurs à installer pour que l’indice soit minimal.
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CORRIGE DU SUJET :B BTSINFORMATIQUE DE GESTIONSESSION 2002 EPREUVE DE MATHEMATIQUESE2 Question CorrectionBarème proposé Exercice I 1)a) æ51 69 97ö On a :M A. 1 ´ 1 ç ÷ 2140 2820 4050 è ø Sur la première ligne: on lit le poids (en kg) de chaque article. Par exemple 69 est le poids en kg de l’articlea. 2 1)b) 1 Sur la deuxième ligne, on lit les coûts unitaires (en euros). Par exemple, 4050 est le coût unitaire de l’articlea3. 2)a) æ197ö ç ÷ On a:A F149 .Chaque élément de cette matrice-unicolonne représente le ´ 1 ç ÷ 206 è ø 1 nombre de modules correspondants nécessaires à la fabrication hebdomadaires de 8 a a articlesa1, de 12 articles2et de 13 articles3. Par exemple, 197 est le nombre de modules de typem1à fournir pour cette fabrication hebdomadaire. Le nombre maximum de modules d’un type donné pouvant être utilisé étant 200, l’usine 2)b) ne peut répondre à la demande puisque celle-ci nécessite 206 modules de typem31 . Exercice II AV La probabilité de l’événement1est égale à : 1 æX%85 80%85ö æ1ö æ1ö P X80 P1 0,371 (£!1% P1 P% 11 £ ç ÷ç ÷ç ÷ 15 153 3 è øè øè ø avec la précision demandée. æY 5270 52ö % % ême :V2988. On trouve de mP( !1P(Y£70!1P£ 1P(2, 25!10, ç ÷ è ø0,5 8 8 B1 %10,5 P(S1!1P(X > 80!11%P(X£80!1 P(V!0, 629. 1 0,5 V12. P(S2!1P(Y > 70!11%P(Y£70!11%P( !10, 0 2 P S1P SÈS1P X> 80 ou Y > 701P X£80ÇY£70 ( !( !( !( !( ! 1 2 ( ! P(S!11%P((X£80!Ç(Y£70!!. Comme les variables X et Y sont indépendantes : 1 P(Y 70X 80!0, 633.P SP X80 PY 70et on a finalement : (£!Ç(£!1(£!´(£! (!1 C)1) Z= 419 X + 509 Y.0,5 C)2) Onsait que : E(Z) = 419 E(X) + 509 E(Y) =419 85 509 5262083. 0,5 ´ #´ 1 C)3) Laprobabilité demandée est égale à P(Z > 70000). æZ-62083 70000%62083ö æ7917ö 1 P1 0,142. P(Z >70000) =ç ÷ç ÷ % £1 %P 1 1 7400 74007400 è øè ø C)4) Ily a répétition du même processus six fois, de manière indépendante avec seulement deux issues possibles : ·le mois est rentable avec une probabilitépégale à 0,142 1%p10,858 ·.le mois n’est pas rentable avec une probabilité égale à 1 R est une variable binomiale et suit la loi binomialeb(6 , 0,140). C)5) Oncalcule : P(R2 ). ³ 0 0 61 1 5 P(R³2!11%P(R=0!%P(R=1!11%C´0,142´0, 858%C´0,142´0,858 6 6 1,5 D’où : P(R2 ) = 0,205. ³
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Exercice III A)1) 12 ´x%(1#lnx!´2x %1%2 lnx1,5 x t'(x!1 1. 4 3 x x 1 1 % % 2 2 t'(x!³0Û %1%2 lnx³0Ûx£Or ee .01 donc sur [1,+¥[,t'(x!00. 0,5 La fonctiontest strictement décroissante sur l’intervalle [1,+[. ¥ A)2)æ1 lnxö lim 0 # 1 ç ÷, la fonction logarithme népérien étant dominée par la fonction 2 2 x¥| #è ø x x puissance en l’infini. 0,5 1 limt x ( !1 On a donc :. x | #¥ 200 1 Le temps de calcul ne peut pas descendre en dessous deseconde, quel que soit le 0,5 200 nombre de processeurs installés. A)3) t(72!10, 006 018 0,5 t(73!10, 005 993 Commetest strictement décroissante sur [1,+[, on a : ¥ x72 :t x0, 006 £( !2 . Il faut installer 73 processeurs pour obtenir un temps de calcul x73 :t x0, 006 ³( !0 0,5 inférieur à 6 millièmes de seconde. B)1) 11#lnx 1 ( ! G'xln2 1x. ( !1 ´´(#!´ 1 1 2x x 2 B)2) 2 12x1 lnx (#! Une primitiveFdefest donnée par :( !1 #( !1 # F xx Gx. 0,5 400 4002 L’indice moyen vaut donc : 256 2 2 é ù 1x1 lnx-2 (#! m0, 72près.à 10 1 ê# ú1 1 255ê400 2ú ë û 1 B)3) L’indiceest minimal lorsque la fonctionfest minimale. D’après la courbe représentative, ce minimum est obtenu pourxcompris entre 20 et 30. Il suffit de calculer f ppour 20p 30.On trouve en particulier : ( !£ £ f29408624 0, ( !» f(25!»0, 293755 1,5 f(26!»0, 293773 La fonctionfest encore décroissante sur [24 , 25] et commef(25) <f(26), le minimum de f xpour les valeurs entières,pla variable réelle, dex,est obtenu pourp= 25. ( ! L’indice est minimal pour 25 processeurs.
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