Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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ESSEC 2003, Math 1, option S.
Danstoutleprobl`eme,onde´signeparnun entier naturel et par : Rn[x´freeiruedrge´niaou´egal`]lecevseapldieorcttincfoesylop-snoedsemoˆnn. n n C(Reslcsaseedeellceveirotel)capsioctr´nsdeelonsfCsurR. 0 En particulier,C(Rtnoceunirussctonnsioeer´esllpseltse)sfdeelritoecevacR. 0 A toute fonctionfraetantna`appC(Ronnoitacee´tcisoasonlippael,)φfesureni´dRpar : Z x φf(x) =f(t) dt x1 0 Onde´nitainsiunendomorphismeφde l’espace vectorielC(R) dont on se propose dans la suite d´etudierquelquesproprie´t´esautraversdepartiesquisontlargementind´ependantes.
PartieI:G´ene´ralite´s.
1)´eetesdaDqettecsnuestion,on´etudiqeeuqleupsorrp´iφfen fonction de celles def. a)nocnoitcnofetuotenutiagille´vurePorpournte,uivat´esfmbnouttoeert´reelx: Z 1 φf(x) =f(x+u1) du 0 b)On suppose la fonctionfpaire (resp. impaire). Exprimerφf(x) en fonction deφf(x+ 1). c)On suppose la fonctionfrc-celecasdeorceassi)etntsE.ssoiteanes(rd´p.φf? d)On suppose la fonctionfconvexe (resp. concave). Est-ce le cas deφf? e)On suppose que la fonctionfa une limiteLen±∞. Est-ce le cas deφf? 2)´pehtiusdmieeilnsteinodno,moonrecttqeeuudtiaapDsrnφsurRn[x]. a)Montrer queRn[x] est stable parφ. On note alorsφnl’endomorphisme induit parφsur Rn[x]. b)rtcideeamalrenimrete´Dφndans la base canonique deRn[x]. c)evtcseterppouesreresd´Dreteenimesrllevaspurprroφn. 3)e´tiedjeurivctenestc´eastDlatseuqette´no,noiieldituvitiecnjφ. 0 1 a)Montrer, pour toute fonctionfdeC(R), queφfest de classeCire´dasresice´rpetr.Pouv´ee   k j quelles valeurs du nombre entierjl’espace vectorielφ C(R) est-ilinclus dansC(R) ? b)Montrer que Ker(φctonsfdep´1-nsioe)e´mroftsralet´egesurnulliduqreoidniseteode.´eriunep c)L’endomorphismeφest-il surjectif? injectif? 4)derospesprtecsnaDon,on´ettequestilee´emtndueiel´sφ. a)orrpuOenprenuerlavesnoce`diλ, de l’endomorphismeφdtnemertbmonnutileer´re,auλ 0 tel qu’il existe une fonction non nullefnanea`tappartC(Ranit)re´vφf=λf. Montrer que toute fonction propref´icossarperproaleuunevee`aλ6-ta`cse=,0teir-douet fonction continue non nulleftelle queφf=λfseasrimee,ts´ncealcedtneessCsurR. b)esnˆomcnitseofopylno-selQutlonsslefqui sont fonctions propres deφ? c)ntMor,reurpoottuonbmer´reelλ >0, qu’il existe une et une seule fonction exponentiellef ax d´enieparf(x() = eaR) telle queφf=λf. End´eduirequetoutnombrere´elλ >0 est valeur propre deφ. d)r´eeltuonbmer,ropruotertnoMλ >,quelaseee1bnoi´nrofelutcnofappartenant au sous-espacepropreassocie´`aλest la fonction nulle. Danslasuiteduproble`me,on´etudielesous-espacepropreE1(φ)associ´e`lavalaueprorrpe 1,cest-`a-direlensembledesfonctionscontinuesfnatreiv´φf(x) =f(x) pour tout nombre r´eelx, ou : Z x f(t) dt=f(x) x1
Partie II: Existence d’une fonction non constante dansE1(φ) 1)Onontiofcneraldie`ocsnf0niee[ed0d´,1] dansRparf0(0) =f0(1) = 0 et pour 0< x <1 par : 1 1 f0(x) = (x) exp() 2x(x1) a)errpruebtntae´eseivedrentMocolauerqf0apourdmettneceder´mysirteepelntoi(1/2,0). Z 1 1 b)Montrer quef0est de classeCsur [0,1] et quef0(t) dt= 0. 0 2)rolarapsce´rerrue`ncaraprdtieOnd´enitf0une suite de fonctions (fn)d´0[ressueni,1] par : Z x fn+1(x) =fn(1) exp(x)exp(x)fn(t) exp(t) dt 0 10 a)Montrer quefn+1est de classeCsur [0,te]1re´vie(fn+1) =fn+1fn:qeeuudridne´E. Z 1   fn+1(1)fn+1(0) =fn+1(t)fn(t) dt 0 b)Montrer quefn+1(0) =fn(.E1)dne´udriqeeu: Z 1 fn(1) =fn(t) dt 0 Z Z x1 c)Ebromtnouel´eernerilbattruop,nxde [0,1], quefn+1(x) =fn+1(t) dt+fn(t) dt. 0x d)On notefel[nietvrlaurchaqued´eniesacilnoitlppan, n1+`u[onNparf(x) =fn(xn). Ainsi, la fonctionfnoiiedtncee´sneuellr[rsaveriluas´enestdn, n+ 1[,et donc sur [0,+[. Z x Montrer quefest continue sur [0,+[te´vreief(x) =f(t) dttruontuorbmoe´reelp x1 x>1. 3)On prolonge la fonctionfd´e[0ssruseusicd-nei,+ctonefunen[[ruseine´dnoi1,+[. 0 A cet effet, on posef(x) =f(x+ 1)f(xpour+ 1)16x <0. Z x Montrer quefest continue sur [1,+erv´et[eif(x) =f(t) dtpour tout nombre x1 r´eelx>0. Enre´ite´rantcemˆemeproc´ede´sur[2,+[,[3,+[, etc, on obtient une fonctionf continue surRtnaire´vφf(x) =f(xl´reebmertuonurto)pox(on ne demande pas d’expliciter ce raisonnement). Partie III:Limite en+d’une fonction deE1(φ) Ond´esignetoujoursparfune application deE1(φ) et parnun nombre entier naturel. 1)seuqettecsnadeids(teuissleonti´etuOnMn) et (mn) des maxima et minima defsur [n, n+ 1]. a)Justifier l’existence du maximumMnde la fonctionfsur l’intervalle [n, npuis celle+ 1], dunnombrere´elxnnetr`tnaa[appan, ntel que+ 1]f(xn) =Mn. b)On supposen>1. Montrer que : 0 f(xn) = 0 sin < xn< n+ 1,et comparer alorsf(xna1`)f(xn). fest constante sur [n, nsi+ 1]xn=n+ 1. End´eduiredanstouslescasqueMn1>Mn. c)muOdne´nemmˆdeitiminemelmnde la fonctionfsur l’intervalle [n, n+ 1]. Etablir la monotonie de la suite (mn´edutend)eecnegrevnocaleris(teuissdeMn) et (mn). 2)e´utiddenOquestionanscettedecnenuxeletsintvelluemili´eteedefen +et on pose Z 1 L= 2tf(t) dt 0 2
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