Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

Publié par

Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
Lecture(s) : 41
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins

¾¼¼ Å Ø ÅÈ ½
ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ÈÇÆÌË Ì À ÍËË Ëº ÇÄ Ë Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Ë Ä³ ÊÇÆ ÍÌÁÉÍ Ì Ä³ ËÈ ¸ Ì ÀÆÁÉÍ Ë Î Æ Ë¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆ˸ Ë ÅÁÆ Ë È ÊÁ˸ Ë ÅÁÆ Ë Ë ÁÆ̹ ÌÁ ÆÆ ¸ Ë ÅÁÆ Ë Æ Æ ¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆË Ê Ì Æ º ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ´ Ð Ö ÌËÁµº ÇÆ ÇÍÊË ³ ÅÁËËÁÇÆ ¾¼¼

ijÙ×

ÈÊ ÍÎ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÊ ÅÁ Ê ÈÊ ÍÎ Ð Ö ÅÈ ÙÖ Ð³ ÔÖ ÙÚ ¿ ÙÖ × ³ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÙ Ð ÙÐ ØØ ×Ø ÒØ Ö Øº

ËÙ Ø Ñ × Ð ×ÔÓ× Ø ÓÒ × ÓÒ ÓÙÖ× Ý Ð ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð¸ ÆËÌÁŸ ÆË ´ËØ Ø ×Ø ÕÙ µ¸ ÁÆ̸ ÌÈ ¹ ÁÎȺ Ä× Ò Ø× ×ÓÒØ ÔÖ × Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ ×ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð ÓÔ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ½ ¹ Ð Ö ÅȺ Ø ÒÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ô × Ø ÜØ º

Ë ¸ Ù ÓÙÖ× Ð³ ÔÖ ÙÚ ¸ ÙÒ Ò Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÐÙ × Ñ Ð ØÖ ÙÒ ÖÖ ÙÖ ³ ÒÓÒ ¸ Ð Ð × Ò Ð ×ÙÖ × ÓÔ Ø ÔÓÙÖ×Ù Ø × ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð × Ö ×ÓÒ× × Ò Ø Ø Ú × ÕÙ³ Ð ×Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ö º

Ú ÖØ ×× Ñ ÒØ ÒØ Ö Ð × ÑÔÖÓÔÖ Ñ ÒØ Ð³ ÒØ Ö Ð Ø Ô × ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ

Ò× ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÔÔ Ö ×× ÒØ ÒÓÑ Ö Ù× × ×º ÇÒ ÔÖ Ò Ö ×Ó Ò Ù×Ø Ö ×Ý×Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ × ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÒ× Ö × Ñ Ñ ÐÓÖ×ÕÙ Ò³ ×Ø ÑÒ º
½

ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ù Ø Ö Ð× z = (zn , n ≥ 1)¸ ÓÒ ÒÓØ lim inf n zn ´Ö ×Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ lim supn zn µ¸ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÐÙ× Ö Ò µ × Ú Ð ÙÖ× zº ³ ÖÒ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ³ÙÒ ×Ù Ø ÓÒÚ Ö × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × ÐÐ Ò³ Ñ Ø ÕÙ³ÙÒ × ÙÐ Ú Ð ÙÖ ³ ÖÒ Ò º ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ù Ø ÓÒ Ø ÓÒ× Ú Ð ÙÖ× Ö ÐÐ × (fn (x), n ≥ 1)¸ ÓÒ ÒÓØ lim inf n fn Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ ØÓÙØ Ö Ð x ××Ó lim inf n fn (x)º
Áº Ð ÙÐ× ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ×

ÇÒ ÒÓØ H г Ò× Ñ Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× f ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú ×¸ ÓÒØ ÒÙ × ×ÙÖ IR¸ ÔÓÙÖ Ð ×ÕÙ ÐÐ × Ð Ü ×Ø ρ > 0 ´ Ô Ò ÒØ f µ Ø Ð ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ðx 1 1 0 < f (x) ≤ exp ( − ρ)x2 . ´ µ
ρ 2

ÇÒ ÒÓØ

H0 ¸

Ð ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð
+∞ −∞

H u=

× ÓÒ Ø ÓÒ× f Ø ÐÐ × ÕÙ
+∞ −∞

f (u)e−u

2 /2

e−u

2 /2

u

=



2π.

Ò× ØÓÙØ Ð Ö ×Ø ½µ ËÓ Ø Ff Ò ÔÖ

г ÒÓÒ ¸ f ×Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ
x −∞

H0 º

Ff (x) =

f (u)e−u
x

2 /2

u.

Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö
F1 (x) =

e−u

2 /2

u. IR IR

−∞

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ

Ff

×Ø ÙÒ C 1 ¹

ÓÑÓÖÔ ×Ñ

×ÙÖ ]0,



2π [º

¾µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÓÒ ϕ ØÓÙØ Ö Ð x¸ ÓÒ Ø
ϕ(x) −∞

Ò× IR Ø ÐÐ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ
2 /2

f (u)e−u

2 /2

u=

x −∞

e−u

u.

¿µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ×ÙÖ IRº

ϕ

×Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÕÙ

ϕ

×Ø ÙÒ C 1 ¹

ÓÑÓÖÔ ×Ñ

IR

¾

µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x¸ Ð ÙÐ Ö Ø
1 ln(ϕ (x)) + ln(f (ϕ(x))) − ϕ(x)2 , 2 1 ln((ϕ−1 ) (x)) − ln(f (x)) − ϕ−1 (x)2 . 2 IR

µ ËÓ Ø h ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ IR Ò× ÓÒ Ø ÓÒ u → h(u)f (u) e−u2 /2 ×Ó Ø ÒØ Ö Ð ×ÙÖ IRº ÅÓÒØÖ Ö Ð³ ÒØ Ø ×Ù Ú ÒØ
+∞ −∞

Ø ÐÐ ÕÙ Ð

h(u)f (u)e−u

2 /2

u=

+∞ −∞

h(ϕ(u))e−u

2 /2

u.

µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð A > 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x ≥ A¸ ÓÒ Ø
x+1 x

ϕ2 (u)e−u

2 /2

u ≥ ϕ2 (x)e−(x+1)

2 /2

.

µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð B > 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð |u| ≥ B ¸ ÓÒ Ø
|ϕ(u)| ≤ e(|u|+1)
2 /4

.

µ

Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú

Ð ÓÒ Ø ÓÒ
2 /2

u → uϕ(u) − u2 − ϕ (u) + 1 e−u

.

µ

Ð ÙÐ Ö Ð³ ÒØ Ö Ð ×Ù Ú ÒØ
I=
+∞ −∞

uϕ(u) − u2 − ϕ (u) + 1 e−u

2 /2

u.

ÁÁº

ÍÒ

Ò

ÐØ

ÒØ Ö ×× ÒØ

ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ÒÓØ Ø ÓÒ× ×Ù Ú ÒØ ×
E(f ) = Φ(f ) =
+∞

1 2

−∞ +∞ −∞

f (u) ln(f (u))e−u

2 /2

u, u.

|u − ϕ(u)|2 e−u

2 /2

½¼µ ÂÙ×Ø Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò

× ÙÜ ÒØ Ö Ð ×º ¿

½½µ ÅÓÒØÖ Ö Ð³ ÒØ Ø
E(f ) =
+∞ −∞

ln(f (ϕ(u)))e−u

2 /2

u.

½¾µ ÅÓÒØÖ Ö Ð³

Ð Ø ×Ù Ú ÒØ
+∞ −∞

E(f ) − Φ(f ) =

ϕ (u) − 1 − ln(ϕ (u)) e−u Φ(f )

2 /2

u.

´½µ

½¿µ ÉÙ ÐÐ ×Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÒØÖ ½µ
ÁÁÁº

Ø E(f )

Ø ÖÑ Ò Ö Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× Ø ÐÐ × ÕÙ
ÜØ Ò× ÓÒ

E(f ) = Φ(f )º

ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ× ÔÓ× Ø Ú ×

ÇÒ Ú ÙØ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ø Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ ½¿ ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ× ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ ×³ ÒÒÙÐ Öº ÇÒ ÓÒ× Ö ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ× Ø Ú g ÕÙ × Ø × Ø Ð × Ñ Ñ × ÝÔÓØ × × ÕÙ f ¸ Ð Ö Ò ÔÖ × ÕÙ g Ô ÙØ ×³ ÒÒÙÐ Öº ËÓ Ø ψ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ψ(x) = x ln(x)¸ ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÕÙ ψ ×Ø ÔÖÓÐÓÒ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò 0 Ô Ö ψ(0) = 0º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n > 0, ÓÒ ÔÓ×
fn (u) = 1 n−1 g(u) + . n n nØ

½ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ

(E(fn ), n ≥ 1)

ÓÒÚ Ö Ú Ö× E(g) ÕÙ Ò
ϕ

Ò Ú Ö× Ð³ Ò Ò º
f

½ µ ËÓ Ø ϕn Ð ÓÒ Ø ÓÒ ××Ó fn ¸ ÓÑÑ ÕÙ ×Ø ÓÒ ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x¸ ÓÒ ÒÓØ
ψ1 (x) = lim inf ϕn (x)
n

Ø Ø ××Ó

Ò× Ð

Ø ψ2 (x) = lim sup ϕn (x).
n x −∞

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x Ø ÔÓÙÖ j = 1 Ø j = 2
ψj (x) −∞

g(u)e−u

2 /2

u=

e−u

2 /2

u.

´¾µ

½ µ ÇÒ ÒÓØ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð³ Ò× Ñ Ð × x Ø Ð× ÕÙ

a Ø b Ð g(x) > 0

× ÓÖÒ × Ò Ö ÙÖ

Ø ×ÙÔ Ö ÙÖ

a = inf{x ∈ IR / g(x) > 0}

Ø b = sup{x ∈ IR / g(x) > 0}.

ÄÓÖ×ÕÙ g ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú Ù ÚÓ × Ò −∞ ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ +∞µ¸ ÓÒ Ó Ø ÒØ a = −∞ ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ b = +∞µ ×ÓÖØ ÕÙ
−∞ ≤ a < b ≤ +∞

Ø ÕÙ

g=0

×ÙÖ ] − ∞,a] ∪ [b, + ∞[.

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ j = 1 Ø j = 2¸ ψj ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ×× ÒØ Ø
x→−∞

lim ψj (x) = a

Ø

x→+∞

lim ψj (x) = b. ψ1 º

½ µ ÇÒ ÒÓØ D г Ò× Ñ Ð D ¸ ÓÒ ÒÓØ

× ÔÓ ÒØ×

× ÓÒØ ÒÙ Ø

ÈÓÙÖ x Ð Ñ ÒØ

ψ1 (x+ ) = y→x ψ1 (y) lim
y>x

Ø ψ1 (x− ) = y→x ψ1 (y). lim
y<x

ÈÓÙÖ ε > 0¸ ×Ó Ø
Dε = {x ∈ D / ψ1 (x+ ) − ψ1 (x− ) > ε}.

ÇÒ Ü

N ÒØ N (b − a)º

Ö ÒÓÒ ÒÙи ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð
D

Ö ÒÐ

D1/N

×Ø Ò Ö ÙÖ

½ µ ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö Ù Ö Ò Ð ¾¼µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ × ¾½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ × ¾¾µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ×
ψ1 (x) < ψ2 (x) g(ψ1 (x)) > 0 ψ1

ÐÓÖ× g ×Ø ÒÙÐÐ ×ÙÖ [ψ1 (x), ψ2 (x)]. ÐÓÖ× ψ1 ×Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x.

×Ø ÓÒØ ÒÙ Ò x ÐÓÖ× ψ1 (x) = ψ2 (x)º

ÓÒØ ÒÙ Ø ψ1 Ø K ÙÒ Ô ÖØ ¾¿µ ÆÓØÓÒ× C г Ò× Ñ Ð × ÔÓ ÒØ× ÓÑÔ Ø C º ËÓ Ø ε > 0 Ü º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø Ò× K × Ö Ð× x0 , · · · , x2q+1 Ø Ð× ÕÙ ´ µ K ⊂ ∪q [x2j , x2j+1 ]¸ j=0

´ µ ÔÓÙÖ j ∈ {0, · · · , q}¸ ×Ó ÒØ u Ø v Ø Ð× ÕÙ ¾µ

x2j < x2j+1 Ø ψ1 (v) − ψ1 (u) ≤ ε x2j ≤ u ≤ v ≤ x2j+1 .

ÕÙ Ð× ÕÙ

Ù Ö × ÕÙ ×Ø ÓÒ× ¾¼ ¾¿ ÕÙ (ϕn , n ≥ 1) ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ×ÙÖ K ¸ Ú Ö× ψ1 º ¾ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø A Ø n ×× Þ Ö Ò × Ø Ð× ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ m ≥ n¸ ÓÒ Ø
u∈[−A, A]

sup

|ϕm (u)| ≤ |ψ1 (−A)| + |ψ2 (A)| + 1.

Ò

Ù Ö ÕÙ
sup{|u − ϕn (u)|2 / |u| ≤ A, n ≥ 1}

×Ø Ò º

ÇÒ ÒÓØ M ÒÓÑ Ö º ¾ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ A > 0¸
n→+∞ −A
ÁÒ

lim

A

|u − ϕn (u)|2 e−u

2 /2

u=

A −A

|u − ψ1 (u)|2 e−u

2 /2

u.

ÓÒØ ÒÙ Ø

Ø ÓÒ

ËÓ Ø ε > 0 Ü º ËÓ Ø (λn , n ≥ 1) Ð ×Ù Ø × ÔÓ ÒØ× ×¹ ψ1 Ò× [−A, A]º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö p ÒÓÒ ÒÙи ÒØÖÓ Ù ×ÓÒ×
ε ε , λp + 2−p [ M M

Jp =]λp − 2−p

Ø K = [−A, A]\ ∪p≥1 Jp .

ÇÒ Ñ ÓÖ Ö × Ô Ö Ñ ÒØ Ð × ÒØ Ö Ð × ×ÙÖ K Ø ×ÙÖ ∪p≥1 Jp º ¾ µ ÓÒ ÐÙÖ º ÁÆ Í ÈÊÇ Ä Å
Ä ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÅÓÒ ÓÒ× ×Ø ÓÔØ Ñ × Ö Ð Ó Ø ÐÓ Ð Ù ØÖ Ò×ÔÓÖØ ³ÙÒ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ñ ×× Ú Ö× ÙÒ ÙØÖ º Ò× Ð × ÙÒ ¹ ¹ Ñ Ò× ÓÒÒ Ð ÕÙ ÒÓÙ× Ú ÒÓÒ× ØÖ Ø Ö¸ ÓÒ × ÓÒÒ ÙÒ Ø × × Ð Ò ¹ Ò Ñ ÒØ Ò ÓÒØ Ð ÔÓ × ÒØÖ Ð × × ×× × u − du Ø u + du ×Ø ÓÒÒ Ô Ö 2 exp(−u2 /2)duº ÇÒ Ú ÙØ Ð ÔÐ Ö Ú Ö× ÙÒ Ø × × Ð Ò× Ø Ð Ò ÕÙ 2 /2)º f (u) exp(−u Ð ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ô Ö ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ s IR Ò× IR ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð u ÓÒÒ Ð³ × ×× ¸ s(u)¸ Ù Ö Ò × ØÙ Ò u ÔÖ × Ð ØÖ Ò×ÔÓÖغ ÇÒ ÑÓÒØÖ Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ϕ Ø ÖÑ Ò Ò ÕÙ ×Ø ÓÒ ¾ Ñ Ò Ñ × Ð Ó Ø Ù +∞ ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ò Ô Ö −∞ |u − s(u)|2 e−u2 /2 u, Ô ÖÑ ØÓÙØ × Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× s ÔÓ×× Ð ×º Ä³Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ñ ÓÖ Ö Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÕÙ Ò Ô Ò ÕÙ f Ø ÕÙ Ò Ò ×× Ø Ô × Ð Ð ÙÐ ϕ. Ä ÓÐØÞÑ ÒÒº ÒÓÑ Ö E(f ) ×Ø ÔÔ Ð Ð³ ÒØÖÓÔ

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.