Mathématiques II 1999 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 1999 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option scientifique
MATHEMATIQUES II
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdele´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamene´a`prendre.
Lobjectifdeceproble`meestle´tudedelamode´lisationdelaccroissementdunepopulation,tantparlesnaissances que par l’immigration. Cettee´tudeesteectu´eedanslapartieII,tandisque,danslapartieI,on´etablitunr´esultatprobabiliste pr´eliminaire. Danstoutleproble`meenn,onadmettraquelonapourtoutcoupledenombresre´els(α,x) tel queα >0 et 06x <1, la formule suivante, diteeˆeo:meg´enu´leerdaluibsi´nofmr 1α(α+ 1)α(α+ 1). . .(α+n1) 2n = 1 +αx+x+∙ ∙ ∙+x+. . . α (1x) 2!n! cest-`a-dire +X 1α(α+ 1). . .(α+n1) n =x α (1x)n! n=0 +P k1n Onexplicitera,a`laidedecetteformule,lasommedelas´erieC xpour 06x <1. n+k1 n=0 Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pourα= 1 et 2?
Partie 1 One´tudiedanscettepartieuneloideprobabilit´e,ditetavi.eaiel´ngeloibinomsevuerpe´detuiesunre`eidnsconO deBernoulliidentiques,inde´pendantesetmenantausucce`saveclaprobabilite´p(0< p <1). Pour tout nombre entierk>dno,1arpengise´Xkvalaalleabrium´etlenl´erodeioere´tauqnaniiduveo`preu intervient lekets(`euscce`emi-Xkonddenpre´pussruelavsedcu´egalesrieuresoa`k).
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a. Onsupposeke=1sice´rP.diolalreX1lapre´,ilitobabP(X1=n+ 1)pour tout nombre entier naturelnet lesp´eranceE(X1)edalav´eatoireriablealX1. b. Onsupposek >aprlnemieretD´1.otb´tdeibilorabenirkesenucc`1sn+kdne´iueseudri1´epes,preuv laprobabilite´P(Xk=n+k) pour tout nombre entier natureln. P c.Alaidedelaformuledubinˆomege´ne´ralise´edonne´eplushaut,v´erieralorsquelase´rieP(Xk=n+k) apoursomme1,puiscalculerlesp´eranceE(Xkelavaria)drioteaelbae´lXken fonction depetk. Commentpeut-oninterpre´tercedernierr´esultat? Onditalorsquelavariableal´eatoireXklen´egativedeparmae`rtsetiusolalnibiaimopetk.
Partie 2 One´tudiedanscettepartielacroissancedunepopulationaucoursdutemps.Aceteet,onintroduitpourtout nombrer´eelpositifteariableal´eatoliarvX(tonbmeredqiautnel)indantla`tsnialupnoitdeuspolandsiidivt, et l’on suppose que l’on aX(0) =k, autrement dit que la population comptekindividus (k>)`alinstantinitlai0 t= 0. 1. Croissancede la population par les naissances (k >0). Onsupposedanscettequestionquilexisteunnombrere´elstrictementpositifλtel que l’on ait pour tout couple (t,h) de nombres positifs avech >0 et pour tout nombre entier natureln: P(X(t+h)< n+k/X(t) =n+k0=)u`o(nolatitaonP(X(t+h)< n+k/X(t) =n+kd´esignela) probabilite´conditionnelledel´eve´nementX(t+h)< n+k” sachant ”X(t) =n+k”). 0 P(X(t+h) =n+k+ 1/X(t) =n+k) =λ(n+k)h+(h) n 00 P(X(t+h)> n+k+ 1/X(t) =n+k) =(h) n 0 00 o`uh7→ε(h) eth7→ε(hsnoialedfxuetcnognsitden´e)dbaelavirhntesendade´dpe(nit) tendant vers 0 n n lorsquehtend vers 0. Ceshypoth`esessignientquelapopulationnepeutpasdiminuer,quelaprobabilite´pourquunenaissance seproduisependantunecourtedure´ehporotsrpeace`teetontillne´rudeehet au nombren+kdes individus pre´sents`alinstanttptneadnenutnelpsuqreunsiaeirucessssanduiseprote,lnneuqbibaroapouept´li courtedur´eehlggiaelbdevenaltaprobabilit´eduenesluneiassnaec.es´etn Onpr´eciseradanscecontextelaprobabilit´econditionnelleP(X(t+h) =n+k/X(t) =n+k). (a)Etablira`laidedelaformuledesprobabilit´estotalesler´esultatsuivant: P(X(t+h) =k) = (1λkh)P(X(t) =k) +0(h) o`uh7→ε0(hertvanndteontinceuqsrol0senofnguee´isd)htend vers 0. + End´eduirequelafonctiond´enieparPk(t) =P(X(t) =k)estd´erivabltiorda`eruseRet que lexpressiondesade´riv´eea`droiteentest : 0 p(t) =λkp(t) k k Onadmettraquecetteformuleestenfaitvalablepourlade´riv´eedelafonctionpk. +λkt (b)De´riverlafonctionde´niesurRpart7→e pk(t) puis, en tenant compte de la valeur depk(0) = P(X(0) =kseisnoed,)uiedd´enprexlrepk(t) en fonction dek,λett. (c)Etablirlere´sultatsuivantpourn >1 : P(X(t+h) =n+k) = (1λ(n+k)h)P(X(t) =n+k) +λ(n+k1)hP(X(t) =n+k1) +n(h) ou`h7→εn(hueenofcnd)e´isngtvans0erontindtesroleuqhtend vers 0. + Ende´duirequelafonctiond´enieparpn+k(t) =P(X(t) =n+k)esrivatd´e`elbordasetiruRpour k>1euetqexliv´ee`adroiteenrpseisnoedas´dretest : 0 p(k1)p(t) n+kt) =λ(n+k)pn+k(t) +λ(n+n+k1 Onadmettraquecetteformuleestenfaitvalablepourlade´riv´eedelafonctionpn+k.
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