Mathématiques II 2000 Classe Prepa B/L HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansUn. Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneUn, les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)lespérance et la variance deXn(respectivementYn)
Partie 1. n P11 1 1. Onpose :hn1 ++= =  +. k2n k=1
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(a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6 k+ 1k lndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + ln(n): (c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P1 11 2. Onpose :kn+1 += =  +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à 2, linégalité :6. 2 k k1k (b) Endéduire la majoration :kn62: (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquandntend vers linni.
Partie 2 :Étude de la variable aléatoire Xn.
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn. 1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : 8j2N;8k2 f2;:::;ngP(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévénement(X2= 1)? Donnerla loi deX2son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX3son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1; 2;:::;ng. (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn=n). (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : n X 1 8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à 3 etjsupérieur ou égal à 2, calculer : nP(Xn=j)(nl)P(Xn1=j): En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à 2 : n1 1 8j>1P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j1): n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d :E(Xn) =E(Xn1) + n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 périeur ou égal à 2, calculerE(Xen 5. (a)Sinest sun)fonction deE((Xn1) )et deE(Xn1). (b) Endéduire :V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites en Partie 1).
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(c) Donnerun équivalent deV(Xn)quandntend vers linni. 6. Soit(Ti)i>1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,Ti n 1P suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose :Sn=Ti=T1+  +Tn i i=1 (a) VérierqueX1etT1ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 8j>1P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn1=j): n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xn)etV(Xn). n P k 7. Ondénit le polynômePnpar la relation :8x2R; Pn(x) =x P(Xn=k): k=0 (a) DéterminerP1etP2: n1 +x (b) Sinest supérieur ou égal à 2, à laide du 3.d., montrer :8x2R; Pn(x) =Pn1(x) n (c) EndéduirePn. (d) DéterminerP(Xn=n1) 0 (e) CalculerP(1)et retrouverE(X). n n
Partie 3 :Étude de la variable aléatoire Yn. 1. Donnerla loi deY1. 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2. 3. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Y=j=I=k) =P(Y=jk): n nk1 (b) Sinest supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à 1 : n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer :E(Yn) =E(Yn1) + 1.Que vautE(Yn)pour tout entiernnon nul ?
Partie 4. On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre 1 etn:À partir de lurneUn, on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; 2;:::;ng, on dénitZla variable aléatoire égale i à 1 si, au cours de lun quelconque des tirages.on a obtenu la boule numéroi;égale à 0 sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZn? Quedire de la variableZ1? 2. (a)Sinest supérieur ou égal à 2 etiun entier def1; 2;:::;ng, montrer la relation : n X (n)1(k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1) i i n k=i+1
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(n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; 2;:::;ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(Xn): i i=1 4. RetrouverE(Yn).
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Les commentaires (1)
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dewelemgwarda

que c'est bon!

vendredi 3 avril 2015 - 12:10