Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.
Publié le : samedi 17 mars 2007
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ESSEC MathématiquesIIOPTION ÉCONOMIQUECONCOURS2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document.L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. NotationsDans tout le problème,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteEn= {1 ; 2 ; ... ;n} =a1 ;nb et l’ensemble des permutations surEn. Pour tout ensemble fini Acard(, on noteA) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments. n! si 0 nkkn k!(nk)! On note, ouC, le nombre  n k   0 sinon On rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soitA un ensemble de cardinal fini, etA1;A2; ... ;Andes sous-ensembles deA. Alors nn    k1   card A=(1)card AA∩ ... ∩A   ∑ ∑1 2kii iii=1k=1 1i<i< ... <in 1 2k Partie I1°) Rappeler la valeur decard() . Pour touti,iEn , on poseAi={ω|ω∈Ω,ω(i) =i} 2°) Montrer que pour toutkEnpour tout eti1;i2; ... ;iktels que1i1<i2< ... <ikn  k    cardA=(nk)!ji   j=1       s=car... ∩∩ ∩ 1 2 En déduire, pour toutkEnla valeur de ,kdAiAiAik    1i<i< ... <in 1 2k 3°) On noteDn; 0={ω|ω∈Ω,iEn ,ω(i)i} i   nn  (1) a) Montrer qued= card (Dn; 0) =n!cardA=n!   i1i0ii  = =!   Pour toutkEn , on appelleDn;k l’ensemble formé desω tels qu’il existei1;i2; ... ;ik  toutj1 ;kωi=i, et pour toutl tels que 1i1<i2< ... <iknet tel que poura b , on aj j   En\{i1;i2; ... ;ik}, on aω(l) l. n  b) Montrer que pouD) =ard dr toutkEn ,dk = card (n;k cnk; 0  k   k+1 k+2nkn= −+ +... +c) Vérifier que pour toutkEd s s+ s+(1) s n kk k1k2n k kk     4°) On posed0=s0= 0 . a) Écrire la matrice du système d’équations qui donne(d0;d1; ... ;dn) en fonction de (s0;s1; ... ;sn). b) En se plaçant dans l’espace vectorielRn[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn , donner l’expression de l’endomorphisme représenté, dans la base canonique, par la transposée de cette matrice.
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c) En déduire que cet endomorphisme est inversible en exprimant son inverse. d) En déduire la relation qui lie (d0;d1; ... ;dn) à (s0;s1; ... ;sn). Partie IIAfin de lancer un nouveau produit sur le marché, le service marketing d’une entreprise propose au directeur général la campagne suivante : en vente au prix unitaire de mettrebeuros,nexemplaires du produit,  chaque exemplaire sera numéroté de façon apparente d’un nombre compris entre 1 etn,  à l’intérieur du produit, et de façon cachée, se trouve un second numéro, l’acheteur qui trouvera à l’intérieur de l’exemplaire un numéro identique à celui figurant à l’extérieur gagnera euros. On suppose que les numéros cachés sont tous différents, compris entre 1 etnet choisis « au hasard ». Avant de donner son accord, le directeur général souhaite étudier le coût d’une telle campagne. Afin de formaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du problème, on munit (;P()) card(A) de la probabilité uniforme discrèteP définie pour toutA parP(A.) = card() Enfin, on noteXn la variable aléatoire représentant le nombre de gagnants. 1°) a)En utilisant les résultats de la questionI.3, déterminer la loi deXn . i i n nk nni 1(1) (1)1 ∑ ∑∑ ∑ b) Établir les égalités suivantes := =1! !! ! k=0ki=0ii=0ik=0k (on justifiera de manière précise l’interversion des deux signes sommes) 1 siω∈A 2°) Pour toutAW, on note1A1variable aléatoire définie par laA(ω) =. Justifier 0 sinon l’égalité :Xn= 1+1+ ... +et en déduire l’espérance de la variable aléatoire1 ,Xn. A AA 1 2n n 2 ii j 3°) a) Montrerque :X=1+1. n AAA i=1 1ijn b) Endéduire la varianceV(Xnla variable aléatoire) deXn . 4°) a)Montrer que l’entrée aléatoire du capitalCndesd’argent dû à l’opération de commercialisationnexemplaires du produit, est donné par :Cn=n bB Xn.  En déduire sa valeur moyenneE(Cn) ,ainsi que le risque donné par l’écart typeσ(Cn) . b) Quelle sera d’après vous, la réponse du directeur général ? 5°) Montrerque le gain d’un acheteur ayant acquis un seul produit est donné par :Gn=B Yn b . Yn1/ est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètren . En déduire le gain moyen de l’acheteur. Partie III1°) Montrerque la suite des variables alXnen loi vers une loi de Poisson éatoires ()n`* convergede paramètreλ=1. i 1+ ∞ e1(1) 2°) Montrerque pour toutkEn ,P(X=k)− =n k!k!i=nk+1i! + ∞+ ∞ *1 21 1 ∑ ∑ 3°) SoitmN . Montrer que :≤ ≤k i!m!m! i=m k=0(m+1) k (on remarquera que pour toutk1 ,m(m+ 1) ... (m + k1 )m )
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− + n1n n2 e1 2 n4°) En déduire que :P(X=k)− ≤2. ! !− +! +! k=0kk=0k(n k1) (n1) 5°) On considère les instructions Pascal suivantes : eps := 0.00001; x := 2; k := 2; While x > eps/2 do  begin  x:= x*(2/k) ;  k:= k+1 ;  end; writeln(k) a) On entre dans la boucleWhileavecx= 2 . On suppose qu’on est passéjdans cette1 fois boucle. Quelle est la valeur dex à l’entrée de la boucle la fois suivante ? n+1 2 b) Montrer que la suite(un)n* définieparun= estdécroissante, et admet une limite ` (n+1)! que l’on calculera. c) En déduire que la boucleWhile ci-dessus se termine. d) La valeur affichée par la dernière ligne est11 .Que représente-t-elle ? Partie IVOn suppose dans cette partie qu’un acheteur a acquisl, (l1), exemplaires du produit. L’ensemble de ces exemplaires est notéL = {j1;j2; ... ;jl} . l On noteYla variable aléatoire égale au nombre d’exemplaires gagnants du produit parmi cesln exemplaires achetés. 1 siA 1°) Onrappelle que pour toutAW, 1A1la variable aléatoire définie par estA(ω) =. 0 sinon l Justifier l’égalité :Y=1+1+ ... +1n AA A j jj 1 2l ll En déduire l’espéranceEYde la variable aléatoireY. n n   l 2 l jjj 2°) a)Montrer que :Y=1+1n AA A i ik i=1 1ikl ll b) En déduire la varianceVYde la variable aléatoireY. n n   l 3°) a)Montrer que le gain de l’acheteur est égal àGn=BYn b l . b) Déterminer son gain moyen, ainsi que l’écart type de ce gain. c) Du point de vue de l’acheteur, est-il intéressant d’acquérir plusieurs exemplaires du produit ?
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