Mathématiques II 2007 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2007 sur Bankexam.fr.
Publié le : lundi 2 juillet 2007
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Essec maths 2 voie E 2007
Le sujet est un problème comportant quatre parties notées I, II, III et IV. La partie II est indépendante de la partie I. La partie III fait appel aux parties I et II seulement dans les deux dernières questions. La partie IV fait appel à la partie I uniquement dans la dernière question.
Notations :Tout au long du sujet(;F; P)désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées seront toutes dénies sur cet espace probabilisé. Sous réserve dexistence, lespérance mathématique dune variable aléatoire réelleXsera notéeE(X)et sa variance sera notéeV(X).
Rappel :SiZ1; Z2; :::; Znsontnvariables aléatoires mutuellement indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectivement1; 2; :::; nalors n X Z1+Z2+:::+Zn=Zi i=1 est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre n X 1+2+:::+n=i: i=1 Ce résultat pourra être utiliser dans ce sujet sans démonstration.
0.1 PartieI : Modélisation poissonienne On considère une société dassurance comptantNclients et garantissant à chacun dentre eux un capital dun montant deseuros en cas de décès. On suppose que le nombre de décès annuel suit une loi de Poisson de paramètre entierk. Le revenu annuel de la société fourni par la perception des primes dassurance desNclients est au total deks(1 +)euros, oùest un réel strictement positif représentant le taux de sécurité que la société saccorde an de faire face à un nombre de sinistres plus élevé que la moyenne. La société dispose également dun fond de réserveRdans lequel elle peut puiser exceptionnellement. Un bilan nancier de la société est e¤ectué tous les 5 ans. On noteYle nombre de décès enregistrés sur une période de 5 ans.
A. Résultats généraux : I.A.1. Donner en fonction deset deYla somme totale due par la société aux clients au moment du bilan nancier au bout de5ans. I.A.2. Dans quelles circonstances peut-on considérer queYsuit une loi de Poisson de para-mètre5k? On supposera dorénavant queYsuit une loi de Poisson de paramètre5k. I.A.3. Rappeler sans démonstrationE(Y)etV(Y). I.A.4. Justier lexistence dun nombre réel strictement positif uniquet0tel que Z t02 exp (x =2) pdx= 0;99. 12I.A.5. Justier le résultat limite suivant   p P Y5k > t05k!0;01lorsquektend vers+1.
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Pour la n de cette partie, on supposerakassez grand pour utiliser lapproximation   p P Y5k > t05k= 0;01:
B. Exemples dapplication :
(A)
Dans cette partie il sagit dexploiter lapproximation (A). I.B.1. Expliquer pourquoi la société dassurance peut faire face à toutes les indemnisations requises sur lexercice de 5 ans si et seulement si
5sk(1 +) +RsY.
I.B.2. Quelle réserveRfaut-il prévoir pour que la probabilité que la société puisse faire face à toutes les indemnisations requises sur lexercice de 5 ans soit voisine de99%? On exprimera Ren fonction des,k,ett0. k I.B.3. On notera dorénavant=le taux de mortalité dans lensemble des clients. Combien N de clientsNla société devrait-elle compter pour quelle puisse se dispenser dun fond de réserve pour un exercice de 5 ans tout en maintenant à plus de99%la probabilité de pouvoir faire face au paiement de toutes les indemnisations requises? On exprimeraNen fonction de,t0et.
Partie II : Médianes SoitXune variable aléatoire réelle. On dénit lensemble   1 M(X) =m2RnP(X < m) P(Xm). 2 Un élément deM(X)est appelémédianedeX. II.1. SoitXune variable aléatoire réelle, rappeler la dénition de la fonction de répartition Fassociée àX. 1 II.2. SoitX, calculerune variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètreP(X < m) 2 etP(Xm)dans les cas suivants :m <0,m= 0,m2]0;1[,m= 1etm >1. En déduire M(X)dans ce cas. II.3. SoitXune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre >0de fonction de répartition notéeFX. Justier que 1 m2 M(X)()m0etFX(m) =. 2 puis déterminerM(X)dans ce cas. On revient au cadre général oùXest une variable aléatoire réelle. II.4. Soienta2 M(X)etb2 M(X)avecab. Montrer que sic2[a; b], on ac2 M(X). On a ainsi démontré queM(X)est un intervalle. II.5. Supposons queXpossède une densitéfcontinue surRtelle quef(x)>0pour toutx réel. Montrer en utilisant avec soin le théorème de la bijection que dans ce casM(X)est réduit à un réel; puis déterminerM(X)dans le cas particulier oùXsuit une loi normale centrée réduite. II.6. En supposant queXadmette une espérance, est-il exact queE(X)2 M(X)?
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Partie III : Médiane dune variable poissonienne A. Préliminaires danalyse : Il sagit dans ces préliminaires détudier la suite(un)dénie par n1 n n un= exp(n) n! pour toutn2N. III.A.1. Montrer que pour toutx2[0;1]: 2 x ln (1 +x)x. 4 III.A.2. Montrer que pour toutn2N,    un+11 = expn+ln 11. unn III.A.3. Déduire des deux questions précédentes la nature de la série de terme général ln (u)ln (u). n n+1 III.A.4. Conclure sur la limite de la suite(ln (un))puis sur la limite de la suite(un). n1n1
B. Probabilités : Pour toutn2N, on notePnla fonction dénie par   n X k1 2n    Pn() = exp() =exp (+ + +) 1:::+ k2!! 1!n! k=0 pour tout réel. 2 III.B.1. Pourn2N, montrer quePnest de classeCsurRet que pour tout réeln1 00 P() = exp() (n) n n! 00 Pest la dérivée seconde dePn. n III.B.2. Vérier que pour toutn2N, 0 P( +P nn1)n(n1) =Pn1(n1) 0 Pest le polynôme dérivé dePn. n 2 III.B.3. SoitQ:R!Rune application de classeCsurR. (i)Montrer que pour toutn2N, on a Z n 0 00 Q(n) =Q(n1) +Q(n1) +(nt)Q(t)dt. (E) n1 (ii)En appliquant(E)àQ=Pn, démontrer que la suite(Pn(n))est décroissante. n1 (iii)En appliquant(E)àQ=Pn1, démontrer que la suite(Pn1(n))est croissante. n1 III.B.4. Montrer que pour toutn2N, on a Pn(n)Pn1(n) =un
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(u)est dénie dans la partie III.A. En déduire que(P(n))et(P(n))sont adja-n nn1 n1n1 centes. On considère dorénavantZune variable aléatoire réelle de loi de Poisson de paramètre n2N. III.B.5. Montrer que   Zn Pn(n) =Pp 0. n 1 En déduire que(Pn(n))converge vers. n1 2 III.B.6. Montrer que(Pn1(n))converge et donner sa limite. n1 III.B.7. Montrer que pour toutn2N 1 Pn1(n) Pn(n). 2 III.B.8. En déduire quen2 M(Z)M(Z)est déni dans la partie II. III.B.9. On admettra nalement que M(Z) =fng. A la lumière de ce résultat, que pensez-vous de la stratégie "généreuse" qui consisterait à choisir = 0?dans la modélisation e¤ectuée dans la partie I
Partie IV : Inégalité maximale de Lévy SoitJun entier strictement supérieur à1. On considèreJvariables aléatoires mutuellement indépendantesX1; :::; XJ. On suppose que pour chaque entierjtel que1jJ, la variable aléatoireXjsuit une loi de Poisson de paramètre entier non nulket on dénitYj=Xjk. On pose enn pour tout entieritel que1iJ i X Si=Yj. j=1 IV.1. En utilisant le résultat de la question III.B.8, vérier que pour tout entieritel que 1iJ,0est une médiane deSJSi. Soitxun nombre réel positif. On considère   0= maxSjxet1=fS1> xg 1jJ puis pour tout entieritel que2iJ, on note    =maxSx\ fxS >g: i j i 1j<i
IV.2. Montrer que0;1; :::;Jconstitue un système complet dévénements. IV.3. Pour tout entieritel que1iJ, démontrer linclusion
fSJSi0g \i fSJ> xg \i.
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IV.4. Montrer que J X P(SJ> x)P(fSJSi0g \i). i=1 IV.5. Pour tout entieritel que1iJ, que peut-on dire des événementsfSJSi0g et? i IV.6. Déduire de IV.1., IV.4. et de IV.5 linégalité   PmaxSj> x2P(SJ> x). 1jJ
Reprenons la modélisation de la partie I et soulevons le problème suivant. La valeurk que nous avons supposée connue et constante doit être dans la réalité estimée par la compagnie dassurance à partir de son expérience passée. Elle est donc dans la réalité entachée dincertitude et susceptible daugmenter à mesure que le temps passe et que les clients vieillissent. Pour se prémunir contre ce phénomène, il est donc utile dobserver année après année le nombre de décès e¤ectifs et de se doter dun moyen de décider si on est face à une dérive "anormale" du nombre annuel de décès ou pas (an de pouvoir agir par exemple en augmentant le montant de la prime dassurance). NotonsXile nombre de décès observés durant laiième année dun exercice qui en compte5. On observe chaquej-ième année la valeur prise par la variable aléatoireSj. IV.7. On suppose quek= 10. Que penser si on constate après la quatrième année dexercice quemaxSjprend la valeur15? 1j4 On pourra utiliser queP(T >2)2;5%siTest une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
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