Mathématiques III 2003 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques III 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : dimanche 18 mars 2007
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ESCP-EAP
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES III
Jeudi15mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : silabouletire´eestblanche,elleestremisedanslurne; silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edanslurneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : Bn´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; Xnredenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; unlepse´arcndeelavariableal´earioteXnir-d,eseca`-tun=E(Xn). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (xn)n>1enit:euli´seqeerrv´d nNx, sn+1= (s1)xn+b+n a) Soitαetβes(tduerxe´levn)n>1:rapien´eeditsulanN, vn=α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (vn)n>1appartienne a`A. b) Soit(xn)n>1at`anetiusenunetrappaA, (vn)n>1laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr (yn)n>1r:paneidee´ustialnN, yn=xnvn. Montrer que la suite (yn)n>1cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,ynpuisxnen fonction dex1, b, setn.
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2.Expressiondelaprobabilite´P(Bn+1)adi`laedeun a) Donner,en fonction debet dese´tilideesivctabobprlaavell,seseeprursP(B1) et du nombreu1. b+ 1u1 b)Calculerlaprobabilite´P(B2ge´tila:e´tv)eri´erleP(B2) =s c) Soitnrelvnatutierunen1tnaire´6n6a. Montrer que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], b+nk laprobabilite´conditionnelleP(Bn+1/[Xn=k])a`ealegt´ess b+nun Ende´duirel´egalit´e:P(Bn+1) =s d) Soitnuntnernieruta´vleiretnan > a. Sikest un entier de l’intervalle[0, naeleuq,]]1t[enemenv´´elstXn=k] ? b+nk Sikest un entier de l’intervalle[na, n,]]tsujligae:t´eri´elP(Bn+1/[Xn=k]) =s b+nun Montrerennquel´egalit´eP(Bn+1se.)=ri´eee´ncteevor s 3. Calculdes nombresunet P(Bn) ´ a) Soitnun entier naturel non nul. Etablir, pour tout entierkde l’intervalle[n+ 1a, ntila:e´]],l´eg an+k b+nk+ 1 P([Xn+1=k]) =P([Xn=k]) +P([Xn=k1]) s s V´eriercettee´galite´pourk=n+ 1, k=naet pour tout entierkde l’intervalle[1, na1]] . b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,un+1en fonction deunet denuired´ed.Enauqle suite (un)n>1ppaitra`tneelaemnseblAadsnaluqseitnotu´e´edi1. c) Donner,pour tout entier naturelnnon nul, les valeurs deunet deP(Bn+1) en fonction deb, s etn. d) Quellessont les limites des suites (un)n>1et (P(Bn))n>1? ` PROBLEME
Danstoutleprobl`eme,onde´signeparCl’espace vectoriel des applications continues deRdansR. ` A toute applicationfdeC, on associe l’applicationD(f) deRdansRniepar:´de xR, D(f)(x) =f(x+ 1)f(x) Les partiesA,BetCteanndpe´endtsion.s Questionpre´liminaire:Dest-il un endomorphisme deC?
Partie A : Image parDtitionder´eparcnofnoitdenu
1.SoitFune application deCptsodeiore´sdeR.lrelepparioppresquest´´eFee´rmmocpeetreourˆid´econs unefonctionder´epartition. 2.SoitFune application deCquiesutenofcnitnoed´repartitionetgl’applicationD(F). a) Montrerquegest positive. Z x+1 b)Prouver,pourtoutre´elxlbuodal,lage´nie:´eitF(x)6F(t) dt6F(x+ 1). x Z Z x+1x+1 Ende´duirequeleslimiteslimF(t) dtet limF(t) dtisteexrslrueicesrpe´tnte x→−∞x+x x valeurs. Z B c) SoitAetB´ivrsleeten´arxuedA <0< BetI(A, B)inlegt´lera:I(A, B) =g(t) dt. A Z Z B+1A+1 Justierl´egalite´:I(A, B) =F(t) dtF(t) dt. B A d) Prouveralors soigneusement queglibae´tiede´borpdeneitns.tues
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3. Unexemple On suppose, dans cette question, queFbleal´eaunevariaustiotriqeiuncfoontielastititdno´redrape la loi uniforme sur l’intervalle [0,1] et on pose :g=D(F). D´eterminerg(xo´prerueot)tulx, en distinguant les casx <1,16x <0, 06x <1 et 16x. Repre´sentergraphiquementlapplicationg.
Partie B : Recherche des valeurs propres deD
Siλqteunoideel,unr´estλest unevaleur propredeDs’il existe une applicationfdeC, distincte de lapplicationnulle,v´eriant:D(f) =λ f. ax 1.Soitaee´rnuetonnO.lgal’application deCein´d:peraxR, ga(x) =e. D´eterminerlapplicationD(ga). 2.deiueruqteuorte´eld´Enλ`aurieerp´strictementsu1 est une valeur propre deD. ax 3.Soita´eelunrtoeO.nnhal’application deC´edien:rapxR, ha(x) = sin(πx)e. D´eterminerlapplicationD(ha). 4.outr´eeluirequetnE´ddeλieer`aurtnem´fnirtsetci1 est une valeur propre deD. 5.lr´eeLe1 est-il une valeur propre deD?
Partie C : Image parDd’une application polynomiale Pour tout entier naturelpeop,are´dnngisEple sous-espace deCoitacilpsnssntme´eapestlonod´sletnel polynomialesdedegre´auplusp. k k On noteXl’applicationx7→xet, pour tout entier naturel non nulk, on noteXl’applicationx7→x. Soit (Hi)iNappitedlasucaliontiolspomynelaie´dsein:rap i1 Y 1 H0= 1etiN, Hi= (Xk) i! k=0 1.seci´ePrrH1, H2, H3et montrer queU3= (H0, H1, H2, H3) est une base deE3. 2 3 2.SoitB3= (1, X, X, X) la base canonique deE3. ´ 1 a) Ecrirela matrice de passagePde la baseB3a`alabseU3et calculer la matriceP. 2 3 b) Soita0, a1, a2, a3set´seredleQl’application polynomialea0+a1X+a2X+a3X. Quellessontlescoordonn´eesdeQdans la baseU3? 3 Enparticulier,v´erierl´egalite´:X=H1+ 6H2+ 6H3. 3.Application:momentdordre3dunevariableal´eatoiredePoisson Soita´rnuisiteftmetepontlseeictrZlolantvassoiePidarapednoerte`mnuveraaitoiresuibleal´eaa. n X 3k k a a) Pourtout entier naturelnouurga´ea3l`np,o:esoreeius´pSn= . k! k=0 3 TransformerSnonti:a`liaededaleralkN, k=H1(k) + 6H2(k) + 6H3(k). X 3n3n n an a End´eduirequelas´eriedetermege´ne´ralestconvergenteetpre´cisern!n! n=0 b)Ende´duirequelavariableale´atoireZ3eodnne´tndrordunetmemopar:dma 3 23 E(Z) =a+ 3a+a 4.Dans cette question,punlnlnouterreantienunstex´e. a) Montrerque, siQappartient`aEp,D(Qa)ppraitneusta`asiEp. On note alorsDpl’endomorphisme deEpttauoui,`qQdeEp, associeD(Q). b) Montrerque la familleUp= (H0, H1, . . . , Hp) est une base deEp. c)D´eterminerDp(H0),Dp(H1) et prouver, pour tout entieriv0ant´eri< i6p,l:e´tilage´ Dp(Hi) =Hi1.
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