Mathématiques pour l'informatique 2007 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2007 sur Bankexam.fr.
Publié le : mercredi 23 juin 2010
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Universit´eParis7 L2 MIAS
Examen du 12 janvier 2007 Dure´e:3heures Bar`emeindicatif:I=2;II=2;III=2;IV=6;V=7;VI=3 Lutilisationdecalculatrices,t´el´ephonesportablesetdocumentsestinterdite.
MI3 2006-2007
I Question de cours.SoitAerdrodee´rrcecaatriunemna`,olis.eSer´ttsenciecoSl’ensemble des n0 fonctionsX:RRntre´eielliesnedle´uqtaoidnquisontsolutioX=AX. 1)Montrer queSest un espace vectoriel. 2)Quelle est la dimension deSepnddeasneonmade(?se).al´rpenoujtsire II Soitα[0, πonlesrenimrete´D.]αaseleduratanl:eavtnseiue´ir   X 1 sinα+. 2 n n1
III Soit (an)nNebromunasuildse´etedeldsicamirrationnelπ(i.e.a0= 3,a1= 1,a2= 4, etc.). On P n consid`erelase´rieentie`reanz. n=0 1)rueire´pustseeir.a1l`ga´eounoevdncearoyeueles´ecettcedergene´Dtnomqrer 2)eulneesomtnerqr´eDmble{nN|an6= 0}est infini. 3).tseeire´1a`lage´geernvcoaselednc´Dnomeayerdeonertrelqu IV Pour toutnNet toutxR, on pose (n+1)x e fn(x) =. n(n+ 1) P 1)tcoisnquelas´eriedefon´Dnomerertfnest normalement convergente sur [0,+[. n1 P On poseraf(x) =fn(x), pour toutx[0,+[. n1 2)Montrer quefest continue sur [0,+[. P 0 3)v´eeried´eriLsae´fest-elle absolument convergente sur [0,+Ju[?istope´.esnovrerert n1n P 0 D´emontrerque,pourtoutb >´sre,0aliefest normalement convergente sur [b,+[. n1n 4)emontrerque´Dfbaviusel0]rd´er,+0[serue[stteecd´isrontsa,+[. 5)e´tiDe´rerlmontegalin´ x e x >0f(x). x 2(1e) End´eduirequelimx→∞f(x) = 0. 6)Calculerf(0).
V 3 SoitaR.Omeisphoromdnelere`disnocnϕadeRdont la matrice dans la base canonique (e1, e2, e3) est : ! 11 1 Ma=1a1. 3a2 3 1)alCeprllecuemoˆnyloe´tcaraciqueristdeϕae´D.mretorpsserpmbseleerinenl.Endrisee´udelruseav desre´elsapour lesquelsϕaest diagonalisable. 2)rete´Deeslse´redblemnserlnemiapour lesquelsϕaest trigonalisable. 3roe´sodetnuqanavesuppOna= 0. Trouver une matrice inversiblePet une matriceTde la forme :  ! λ10 0 T= 0λ21, 0 0λ2 1 telles queP M0P=T. ´ 4)EcrireTsous la formeT=D+Nu,o`Dest une matrice diagonale etNune matrice telle que 2k N= 0 etDN=N Dire.End´eduTpour toutkN. Expliquer comment vous feriez pour calculer k (M0) .
VI 2 1)eled`erorphndomsiemisnocnOϕdeRdont la matrice dans la base canonique (e1, e2) est :   0 1 A=. 9 6 Calculerlepolynˆomecaracte´ristiquedeϕrpsepsorelruseavesirdu´end.E. 2)lesyudre´esoRre´itnee`tsidemel 0 x(t) =y(t) 0, y(t) =9x(t6) +y(t) o`ulesinconnuesxetyavlbseednodse´iresfonctisontdRdansR. 00 0 3)erordocdndusetionequael´ituldsnoleriossendEdu´ef(t)6f(t) + 9f(t) = 0.
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