Mathématiques pour l'informatique 2009 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2009 sur Bankexam.fr.
Publié le : mercredi 23 juin 2010
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Universit´eParisDiderot D´epartementdeSciencesExactes
MI3/MA3Ann´ee2009/10 L2 Info et Mass
Partiel du 30 octobre 2009 : (fonctions,se´riesnume´riquesets´eriesdefonctions)
Exercice 1On rappelle queehtemagirudolabesreleadist`,cegoleuqleterbmonigeslaned´e= 1. Soit la  n 1 suite (un)n>1´edienrpaun= 1+ . n 1. Montrerque limun=e.  n 1 2. Montrerque la suiteunde´dneteamaleriucrsteteanssoitionjora1+< e. [Indication : pour montrer n log(1+x) un+1>unon pourra commencer par montrer que la fonctionf(x)=urpoteanssiorce´dtsex >0] x
Exercice 2melusoabernvcontuosetnegrevidessu´eritessivannoevnoctet,sgrnedessllessqueerlemrnie´etD gentes.     2n 3n X XX X 1 cos(n) (1) n cos ;; ; n2 n3n nn n>1n>0n>1n>2
Exercice 3On pose dans cet exercice nX X 1 1 Sn:= etS:= 3 3 k k k=1k=1 Enappliquantunecomparaisoninte´grale/s´erie,montrerque 1 0< SSn6. 2 2n
Exercice 4D´ieersetcnegrevnre´ssedeerrlnemicodeonay ∞ ∞ 3 2n X X (n!)x n xet n (n+ 1)!(2n)! 3 n=0n=0
Exercice 5e´dntinfseltcnoionsde[0O,+) versR: x1 fn(x) =etg(t) =. 2 22 1 +n x1 +t P 1.Montrerquelase´riefn(x) converge simplement sur [0,+). n>0 P 2.Montrerquelas´eriefn(x) converge normalement sur [a,+) (pour touta >0). n>0 P 3.End´eduirequelafonctiond´enieparlase´rieS(x) :=fn(x) est continue sur ]0,+). n>0 4.Montrerlesine´galite´s Z+X X 1dt1 6 61 + 2 22 22 2 1 +n x1 +t x1 +n x 0 n=1n=1 5. Montrerque Z Z ++dt1π =g(t)dt=. 2 2 1 +t xx2x 0 0 Ende´duireque,lorsquexore´zsreano,endvt π limS(x) =, 2 x0 et en particulier queS(x) n’est pas continue en 0.
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