Mathématiques Spécialité 2003 Scientifique Baccalauréat général

Publié par

Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2003 sur Bankexam.fr.
Publié le : jeudi 22 novembre 2007
Lecture(s) : 46
Nombre de pages : 5
Voir plus Voir moins
Baccalauréat série S Pondichéry mars 2003
EXERCICE1 On considère la suite numérique (un) définie surNpar :
u0=a, et,pour tout entiern,un+1=un(2un). aest un réel donné tel que 0<a<1.
4 points
1 1.On suppose dans cette question quea= 8 a.Calculeru1etu2. b.Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter valle [0; 2], la droite (d) d’équationy=xet la courbe (Γ) représentative de la fonction :f:xx(2x). c.Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1, A2, A3d’abscisses respectivesu1,u2,u3.
2.On suppose dans cette question queaest un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.
a.Montrer par récurrence que, pour tout entiern, 0<un<1. b.Montrer que la suite (un) est croissante. c.?Que peuton en déduire
1 3.On suppose à nouveau dans cette question quea=. On considère la suite 8 numérique (vn) définie surNpar :
vn=1un. a.Exprimer, pour tout entiern,vn+1en fonction devn. b.En déduire l’expression devnen fonction den. c.Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un).
EXERCICE25 points Enseignement obligatoire Première partie On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante : 3 2 (E)z+2z16=0. 1.Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme: 2 (z2)(a z+b z+c)=0, oùa,betcsont trois réels que l’on déterminera. 2.En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. Deuxième partie   Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,ı,. 1.Placer les points A, B et D d’affixes respectives
zA= −22i,zB=2 etzD= −2+2i.
Baccalauréat S mars 2003
2.Calculer l’affixezCdu point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C. π 3.Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angleet F l’image de C 2 π par la rotation de centre D et d’angle. 2 a.Calculer les affixes des points E et F, notéeszEetzF. b.Placer les points E et F.
zFzA 4. a.Vérifier que :=i. zEzA b.En déduire la nature du triangle AEF. 5.Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de π centre I et d’angle. 2
EXERCICE2 Enseignement de spécialité Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante
5 points
Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soitαun réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison nera. Cette figure sera jointe à la copie. d1est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angleα. d2est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angleα. d3est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angleα. A1est le point d’intersection de d1et d3, B1celui de d1et d2et C1celui de d2et d3.
1.On appelle H le point d’intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables. 2.En déduire que les triangles ABC et A1B1C1sont semblables.
Deuxième partie   Le plan complexe est muni du repère orthonormal directO,u,v.
A  Construction de la figure
1.Placer les points A(46i), B(14), C(4+6i), A1(37i), B1(9+5i) et C1(3i). 2.Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure. 3.Montrer que A1, I, B1sont alignés. On admettra queB1, J, C1d’une part etC1, K, A1d’autre part sont alignés.   −→4.IB , IBDéterminer une mesure en radians de l’angle1.    π π → −−→−→On admettra queKA , KA1=et queJC , JC1=. 4 4 π 5.?Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle 4
Pondichéry
2
Baccalauréat S mars 2003
B  Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1 On admet qu’il existe une similitude directestransformant les points A, B et C en A1, B1et C1.   1 1   1.Montrer que l’écriture complexe desestz= +iz+22i, oùzetzdési 2 2 gnent respectivement les affixes d’un point et de son image pars. 2. a.Déterminer le rapport et l’angle des. b.Déterminer l’affixe du centreΩdes. 3.Que représente le pointΩ?pour ABC
d2
A
Le candidat joindra cette figure à sa copie
C1
K
α
A1
d3
C
α J
I
α
PROBLÈME On considère la fonction numériquefdéfinie surRpar :
B1
B
11 points
2 x 2x1 f(x)=xe. 2 Le graphique cidessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’af fiche une calculatrice dans un repère orthonormal.
Pondichéry
3
d1
Baccalauréat S mars 2003
Conjectures À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensezvous pouvoir faire concernant a.le sens de variations defsur [3 ;2] ? b.la position de la courbe par rapport à l’axe (x x) ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.
Partie A : contrôle de la première conjecture
1.Calculerf(x) pour tout réelx, et l’exprimer à l’aide de l’expressiong(x) oùg x1 est la fonction définie surRparg(x)=(x+2)e1. 2.Étude du signe deg(x) pourxréel.
a.Calculer les limites deg(x) quansxtend vers+∞, puis quandxtend vers −∞. b.Calculerg(x) et étudier son signe suivant les valeurs dex. c.En déduire le sens de variations de la fonctiong, puis dresser son tableau de variations. d.Montrer que l’équationg(x)=0 possède une unique solution dansR. On noteαcette solution. Montrer que 0,20<α<0,21. e.Déterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex.
3.Sens de variations de la fonctionfsurR.
a.Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def(x). b.En déduire le sens de variations de la fonctionf. c.Que pensezvous de votre première conjoncture?
Partie B : contrôle de la deuxime conjoncture On noteCla courbe reprsentative de la fonctionfdans un repère orthonormal   O,ı,à l’axe. On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport (x x). 3 α 1.Montrer quef(α)=. 2(α+2) 3 x 2.On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] parh(x)=. 2(x+2) a.Calculerh(x) pourxélément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia tions dehsur [0 ; 1]. b.En déduire un encadrement def(α). 3. a.Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbeCavec l’axe (x x). b.Préciser alors la position de la courbeCpar rapport à l’axe des abscisses. c.Que pensezvous de votre deuxième conjecture?
Partie C : tracé de la courbe Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partieΓdeC   correspondant à l’intervalle [0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormalO,ı,avec les unités suivantes :
Pondichéry
4
– sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. – sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.
Baccalauréat S mars 2003
1.l’aide de la calculatrice enRecopier le tableau suivant et complèter celuici 4 indiquant les valeurs approchées sous la formen×10 (nentier relatif).
x0,20,150,10,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f(x)
2.Tracer alorsΓdans le repère choisi.
Partie D : calcul d’aire On désire maintenant calculer l’aire du domaineDdélimité par la courbeΓ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=1ln 2.
1.À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive surR de la fonction :
2x xxe . 2.En déduire une primitiveFsurRde la fonctionf. 3.Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaineDpuis en donner une valeur 2 approchée en cm.
Pondichéry
5
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.