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Ondes de surface et tremblements de terre
Lobjectifduproble`meestdemettreen´evidencelexistencedondesdesurfacedansles milieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontlimportancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairement graˆcea`lapplicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre. Danslensembleduproble`me,onseplacedanslecadredelhypoth`esedespetites perturbations.Leetdelagravit´enestpasprisencompte.
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Pre´liminaires
Onsaitquedeuxtypesdondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastique lin´eaireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetque lechampdede´placementauseinduntelmilieupeutsede´composerendeuxcontributions:
u(X) =u(X) +u(X) (1) L T telles que rotuet div= 0 u(2)= 0 L T ou`divetrotde´signentrespectivementlesop´erateursdivergenceetrotationnel. Onrappellequelechampdede´placementduntelmilieuv´erieles´equationsdeNavier
(λ+µ)grad (divu) +µΔu=ρa
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enlabsencedeortsdevolumeetou`a(X)´dseeLsei.uilumndioaterl´´eccadpmahcelengi 1 constantesdeLam´edumilieusontλetµicne.lelepaal´eprntseeuatrerΔoL.re´p
1.1 Equations des ondes Montrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomog`ene´elastiqueline´aireetisotrope,lechamp u, dit onde longitudinale, et le champuarsnevsrla,e´vreient,s´epar´emel,tnsetednotid, L T e´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementaux´equationsdondes: 2 2 uu 2L2T cΔu=, cΔu= (4) L L T T 2 2 ∂t ∂t o`ucLetcTosede´tire´le´catlselenaditugionndestnenpser´dgisesenoedlse´ir´tdentlac´electiveme transversalesquelonexprimeraenfonctiondescaract´eristiquesdumilieu.
1.2Rapportdesc´el´erit´es Exprimerlerapportdesc´ele´rit´esdesondestransversalesetlongitudinalesenfonctiondu coecientdePoisson.End´eduireque,quelquesoitlemilieuhomog`ene´elastiqueline´aireet isotropeconside´re´,ona: 0< cT< cL(5)
1 Lelaplaciendunchampdevecteur,dansunsyst`emedecoordonne´escart´esiennes,estlevecteurayant pour composantes le laplacien de chaque composante correspondante.
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Fig.1 – Coupe par le plan (X1, X3.topsenadnud)sifsnmasinnemipee´eirtocrrareg
Ondes dans un massif semi–infini
Onconside`reunmassifsemiinnilimite´parleplanX3leonel,s=0roodedoce`emystsesnn´e cart´esiennesorthonorm´eesd´enisurlagure1.Loriginedurepe`reetlorientationdelaxe3 sontchoisiesdetellesortequelespointsmate´rielsdumassifsoientcaract´eris´esparX30. Dans cette partie, les conditions aux limites sur la surfaceX3ee´iL.seseroce´pntpasenc=0neso milieusemiinniestconstitu´edunmate´riauhomog`ene,aucomportemente´lastiquelin´earis´e et isotrope. Onsinte´resseauxondesplanessepropageantdansladirection1etinvariantesselonla direction 2. Elles s’expriment comme la superposition d’une onde longitudinale et d’une onde transversalequelonrepr´esentesouslaformeexponentiellecomplexesuivante:
L ik(X1ct) u(X) =f(X3)e, L
T ik(X1ct) ( uTX) =f(X3)e
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Le vecteur d’onde admetk >el,0meuniquecomposanonbmerdnoedc,moe,´retlleenonellun 2 dansladirection1.Lace´l´erite´delondeestr´eelleetvautc. En outre,i=1. Dans cette repre´sentation,leschampsrecherch´escorrespondentauxpartiesr´eellesdeschampspr´ece´dents. Les champsuetuhercrecltseine´vre´hseuqe´oitaedsnivaNetersclediononti(s)2. L T L T Les grandeursf(X3) etf(X3cxuedtnovedspmahs`urteecrmte´eadn,denirednnae´ept)s que de la variableX3s.eei´udets´deondesetidumalptnlrisact´ecaraet
2.1 L Donnerlesdeux´equationsdi´erentiellesvectoriellesr´egissantlesfonctionsf(X3) et T f(X3).
2.2 Ondes de surface Onsinte´ressedanslasuiteduproble`meauxondesdesurfacedontlamplitudede´croıˆt exponentiellement lorsqueX3→ −∞.
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Justierquedetellesondesdesurfacenepeuventexisterquesileurce´le´rit´eestplusfaible quelac´ele´rit´edesondestransversalesdanslevolume:
c < cT
Montrer que les amplitudes de telles ondes de surface se mettent sous la forme :
avec
L bLX3 f=Ae,
s 2 c bL=k1, 2 c L
T bTX3 f=Be
s 2 c bT=k12 c T
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2.3 Montrer que l’onde longitudinaleun’a pas de composante dans la direction 2 :A2= 0. L Etablir deux autres relations, l’une portant sur certaines composantes deAet l’autre sur certaines composantes deB.
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Ondes de Rayleigh
Onconsid`eremaintenantquelasurfaceX3tlesntdetodereibnniimee´ce´rpisamutsufisd eort.Danscecas,lesondesdesurfacessontappele´esondesdeRayleighquilesmiten´evidence demani`ereth´eoriqueen1887.Laformeobtenuepr´ec´edemmentestrappele´ecidessous:   bLX3bTX3 A1e +B1e   bTX3ik(X1ct) [u(X, t)] =B2(10)e e bLX3bTX3 A3e +B3e
3.1De´formations Calculerlegradientduchampdede´placements(10)etlechamp innit´esimalescorrespondantes. Indiquerlesconditionsassurantlerespectducontexteinnit´esimal.
des
de´formations
3.2 Contraintes Calculerlechampdescontraintesassocie´es,toujoursdanslecadredele´lasticit´ehomog`ene isotropelin´earise´e.
3.3 Polarisation des ondes de Rayleigh En utilisant la condition aux limites de surface libre enX3= 0, montrer queB2= 0. Cela signifie queu2Reyaelgishnoptlo=0etquelesondesd.)3,1(natseCes´eisarpllensda unecaract´eristiqueimportantedecetypedondesdesurface.
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