Ondes de surface et tremblements de terre

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Ondes de surface et tremblements de terre L'objectif du probleme est de mettre en evidence l'existence d'ondes de surface dans les milieux elastiques isotropes, ondes dont l'importance physique et humaine apparaıtra clairement grace a l'application numerique consacree aux tremblements de terre. Dans l'ensemble du probleme, on se place dans le cadre de l'hypothese des petites perturbations. L'effet de la gravite n'est pas pris en compte. 1 Preliminaires On sait que deux types d'ondes peuvent se propager dans un milieu homogene elastique lineaire et isotrope, a savoir les ondes longitudinales et les ondes transversales. On admet que le champ de deplacement au sein d'un tel milieu peut se decomposer en deux contributions : u (X ) = u L(X ) + u T (X ) (1) telles que rotu L = 0 et divu T = 0 (2) ou div et rot designent respectivement les operateurs divergence et rotationnel. On rappelle que le champ de deplacement d'un tel milieu verifie les equations de Navier (? + µ)grad (divu ) + µ∆u = ?a (3) en l'absence d'efforts de volume et ou a (X ) designe le champ d'acceleration du milieu. Les constantes de Lame du milieu sont ? et µ. L'operateur ∆ represente le laplacien1. 1.1 Equations des ondes Montrer (ou admettre) que si, dans un corps homogene elastique lineaire et isotrope, le champ u L, dit onde longitudinale, et le champ u T , dit onde transversale, verifient, separement,

  • massif semi–infini

  • onde de surface

  • condition aux limites de surface libre en x3

  • gradient du champ de deplacements

  • milieu homogene


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Ondes de surface et tremblements de terre
Lobjectifduproble`meestdemettreen´evidencelexistencedondesdesurfacedansles milieuxe´lastiquesisotropes,ondesdontlimportancephysiqueethumaineapparaıˆtraclairement graˆcea`lapplicationnume´riqueconsacre´eauxtremblementsdeterre. Danslensembleduproble`me,onseplacedanslecadredelhypoth`esedespetites perturbations.Leetdelagravit´enestpasprisencompte.
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Pre´liminaires
Onsaitquedeuxtypesdondespeuventsepropagerdansunmilieuhomoge`nee´lastique lin´eaireetisotrope,a`savoirlesondeslongitudinalesetlesondestransversales.Onadmetque lechampdede´placementauseinduntelmilieupeutsede´composerendeuxcontributions:
u(X) =u(X) +u(X) (1) L T telles que rotuet div= 0 u(2)= 0 L T ou`divetrotde´signentrespectivementlesop´erateursdivergenceetrotationnel. Onrappellequelechampdede´placementduntelmilieuv´erieles´equationsdeNavier
(λ+µ)grad (divu) +µΔu=ρa
(3)
enlabsencedeortsdevolumeetou`a(X)´dseeLsei.uilumndioaterl´´eccadpmahcelengi 1 constantesdeLam´edumilieusontλetµicne.lelepaal´eprntseeuatrerΔoL.re´p
1.1 Equations des ondes Montrer(ouadmettre)quesi,dansuncorpshomog`ene´elastiqueline´aireetisotrope,lechamp u, dit onde longitudinale, et le champuarsnevsrla,e´vreient,s´epar´emel,tnsetednotid, L T e´quationsdeNavier,alorsilssatisfonte´galementaux´equationsdondes: 2 2 uu 2L2T cΔu=, cΔu= (4) L L T T 2 2 ∂t ∂t o`ucLetcTosede´tire´le´catlselenaditugionndestnenpser´dgisesenoedlse´ir´tdentlac´electiveme transversalesquelonexprimeraenfonctiondescaract´eristiquesdumilieu.
1.2Rapportdesc´el´erit´es Exprimerlerapportdesc´ele´rit´esdesondestransversalesetlongitudinalesenfonctiondu coecientdePoisson.End´eduireque,quelquesoitlemilieuhomog`ene´elastiqueline´aireet isotropeconside´re´,ona: 0< cT< cL(5)
1 Lelaplaciendunchampdevecteur,dansunsyst`emedecoordonne´escart´esiennes,estlevecteurayant pour composantes le laplacien de chaque composante correspondante.
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Fig.1 – Coupe par le plan (X1, X3.topsenadnud)sifsnmasinnemipee´eirtocrrareg
Ondes dans un massif semi–infini
Onconside`reunmassifsemiinnilimite´parleplanX3leonel,s=0roodedoce`emystsesnn´e cart´esiennesorthonorm´eesd´enisurlagure1.Loriginedurepe`reetlorientationdelaxe3 sontchoisiesdetellesortequelespointsmate´rielsdumassifsoientcaract´eris´esparX30. Dans cette partie, les conditions aux limites sur la surfaceX3ee´iL.seseroce´pntpasenc=0neso milieusemiinniestconstitu´edunmate´riauhomog`ene,aucomportemente´lastiquelin´earis´e et isotrope. Onsinte´resseauxondesplanessepropageantdansladirection1etinvariantesselonla direction 2. Elles s’expriment comme la superposition d’une onde longitudinale et d’une onde transversalequelonrepr´esentesouslaformeexponentiellecomplexesuivante:
L ik(X1ct) u(X) =f(X3)e, L
T ik(X1ct) ( uTX) =f(X3)e
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Le vecteur d’onde admetk >el,0meuniquecomposanonbmerdnoedc,moe,´retlleenonellun 2 dansladirection1.Lace´l´erite´delondeestr´eelleetvautc. En outre,i=1. Dans cette repre´sentation,leschampsrecherch´escorrespondentauxpartiesr´eellesdeschampspr´ece´dents. Les champsuetuhercrecltseine´vre´hseuqe´oitaedsnivaNetersclediononti(s)2. L T L T Les grandeursf(X3) etf(X3cxuedtnovedspmahs`urteecrmte´eadn,denirednnae´ept)s que de la variableX3s.eei´udets´deondesetidumalptnlrisact´ecaraet
2.1 L Donnerlesdeux´equationsdi´erentiellesvectoriellesr´egissantlesfonctionsf(X3) et T f(X3).
2.2 Ondes de surface Onsinte´ressedanslasuiteduproble`meauxondesdesurfacedontlamplitudede´croıˆt exponentiellement lorsqueX3→ −∞.
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Justierquedetellesondesdesurfacenepeuventexisterquesileurce´le´rit´eestplusfaible quelac´ele´rit´edesondestransversalesdanslevolume:
c < cT
Montrer que les amplitudes de telles ondes de surface se mettent sous la forme :
avec
L bLX3 f=Ae,
s 2 c bL=k1, 2 c L
T bTX3 f=Be
s 2 c bT=k12 c T
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(8)
(9)
2.3 Montrer que l’onde longitudinaleun’a pas de composante dans la direction 2 :A2= 0. L Etablir deux autres relations, l’une portant sur certaines composantes deAet l’autre sur certaines composantes deB.
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Ondes de Rayleigh
Onconsid`eremaintenantquelasurfaceX3tlesntdetodereibnniimee´ce´rpisamutsufisd eort.Danscecas,lesondesdesurfacessontappele´esondesdeRayleighquilesmiten´evidence demani`ereth´eoriqueen1887.Laformeobtenuepr´ec´edemmentestrappele´ecidessous:   bLX3bTX3 A1e +B1e   bTX3ik(X1ct) [u(X, t)] =B2(10)e e bLX3bTX3 A3e +B3e
3.1De´formations Calculerlegradientduchampdede´placements(10)etlechamp innit´esimalescorrespondantes. Indiquerlesconditionsassurantlerespectducontexteinnit´esimal.
des
de´formations
3.2 Contraintes Calculerlechampdescontraintesassocie´es,toujoursdanslecadredele´lasticit´ehomog`ene isotropelin´earise´e.
3.3 Polarisation des ondes de Rayleigh En utilisant la condition aux limites de surface libre enX3= 0, montrer queB2= 0. Cela signifie queu2Reyaelgishnoptlo=0etquelesondesd.)3,1(natseCes´eisarpllensda unecaract´eristiqueimportantedecetypedondesdesurface.
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