Physique 2009 Classe Prepa MP Concours Centrale-Supélec

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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Physique 2009. Retrouvez le corrigé Physique 2009 sur Bankexam.fr.
Publié le : mercredi 28 avril 2010
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PHYSIQUE
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Les calculettes sont autorisées.
Éléments de cosmologie
Filière MP
Ce problème se propose d’établir quelques propriétés simples de l’Univers, telle qu’on les comprend actuellement, mais au moyen de modèles physiques simpliÞés. À notre échelle, l’Univers est formé d’étoiles et de leurs planètes, regroupées en amas ou galaxies, ainsi que d’une certaine quantité de gaz interstellaire. Cependant, à plus vaste échelle, nous serons éventuellement amenés à traiter l’Univers comme un systèmeßuide homogène.
Données :
Célérité de la lumière dans le vide
Constante de Boltzmann
Constante de la gravitation universelle
Constante de Planck
Durée d’une année
Masse du Soleil
Rayon du Soleil
81 c=3,0010 m.s
231 k=1,3810 J.K B 11 G 312 =6,67.kg .s10 m
34 h=6,6310 J.s
7 365,25jours = 3,1610 s
30 M=1,9910 kg
8 R=6,9510 m
Les quatre parties et de nombreuses questions peuvent être abordées de manière très lar-gement indépendante.
Partie I - Déviation de la lumière par les étoiles Cette partie étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d’une particule par une étoileE, considérée comme une répartition de masse à symétrie sphé-rique, de rayonR, de masseMet de centreO. La particule étudiéeAest ponc-tuelle et de massem. On considère le système formé deAetEcomme isolé. Le référentiel d’étude (K) est galiléen.
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I.A - Étude du systèmeΣformé deAetE
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I.A.1)Þnir le référentiel barycentrique du mouvement du systèmeΣrelati-* vement à (K) ; on le notera (K). Quelle propriété importante du référentiel * (K) peut-on afÞrmer ?
I.A.2)On noteraOun pointÞxe de (K),Gle centre d’inertie r du systèmeΣ; on noterar=OG. On notera aussir=EAA G G (voirÞgure). Les dérivées temporelles successives, prises r G dans le référentiel (K), de ces vecteurs sont notées : E O dr dv GdrGdv (K) v=v=γ G-,-,G=-etγ=-. dt dt dt dt Exprimer la vitesse et l’accélération deArelativement à (K) en fonction dev, G v,γet des massesmetM. I.A.3)Exprimer le moment cinétiqueσenOdu systèmeΣrelativement à (K) 0 en fonction der,v,r,vdem=m+Met de la masse réduiteμÞnie par G G T 1Úμ=1Úm+1ÚM. Exprimer aussi l’énergie cinétiqueEdu systèmeΣrelativement à (K) en fonc-c tion dev,v,metμ. G T I.A.4)Expliciter l’équation différentielle du second ordre qui régit l’évolution de r. On noterar=ret on supposerar>R. * I.A.5)En déduire la conservation du moment cinétique barycentriqueσ du * système. L’énergie cinétique barycentrique du systèmeEse conserve-t-elle ? c I.B - Trajectoires hyperboliques de la particuleA * On se place dans toute la suite du problème dans le référentiel (K). On suppose queM»m. I.B.1)Montrer dans ce cas queGAret que la vitesse deAdans le référentiel barycentrique est voisine dev. Relier de même les constantes du mouvement * * barycentriqueσetEau moment cinétique et à l’énergie cinétique deAdans c * le référentiel (K).
I.B.2)On supposerar>R. Quelle est l’équation du mouvement deA? Montrer que le mouvement deAest plan.
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On appelleraGxy le plan du mouvement ; on repère la position deA dans le planGxy par ses coordonnées polaires r=GA etθ=(er). x On noterae,e la base rθ locale polaire correspon-dante (voirÞgure ci-con-tre).
I.B.3)On pose
v 0
b
G
y
Δ
z
e θ
r θ
A
e r
Φ
Δ'
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Δ
v 1
x
* σ ⋅e=mC. z ˙ ExpliciterCen fonction deretθ=dθÚdt, puis expliciter la dérivéedvÚdθ Gθ en fonction de ,MetC. En déduire que le vecteure=αveest, pour un choix que l’on précisera de la constanteα, une constante du mouvement. Expliquer pourquoi on ne perd pas de généralité dans l’étude du mouvement en posante=eeavece>0. y I.B.4)À partir du résultat de la question précédente, exprimerveen fonction θ deα,eetθ; en déduire l’équation de la trajectoire, qu’on écrira sous la forme G pÚr=1+ecosθ. Expliciterpen fonction deαetC, puis en fonction deC, etM. À quelle condition, portant sure, la trajectoire deAest-elle hyperbolique ?
I.C - Étude de la trajectoire On ne fait plus ici d’hypothèse particulière quant à la direction du vecteure dans le planGxydu mouvement.
I.C.1)Lorsque la particuleAest encore située à très grande distance de l’étoile E(x, voir laÞgure ci-dessus), sa vitessevest colinéaire àGx; elle a A0 pour normev. L’asymptoteΔà cette trajectoire incidente passe à la distance 0 bdeG. ExprimerCen fonction debetv; préciser en particulier le signe de 0 C.
I.C.2)Lorsque la particuleAs’est largement éloignée de l’étoileE, sa trajectoi-re est à nouveau une droiteΔ′parcourue à la vitesse constantev. Quelle est la 1 norme dev? 1 I.C.3)Exprimer, pourt puis pourt+, le vecteure projeté sur la basee,een fonction deα,vet de l’angle de déviationΦentre les droitesΔ x y0 etΔ'. 0G En déduire une expression detan(ΦÚ2)en fonction dev,C, etM.
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I.C.4)Lors de son mouvement, la particuleApasse à un certain instant à une distance minimaleddu centre de l’étoileE. À partir par exemple de deux lois de conservation, déterminer une équation du second degré dont1Údest solu-tion. En déduire que : 2 C d=. -2 2 2 2 G G0 M+M+C v I.C.5)Quel est le sens de variation, pourvÞxé, de la fonctionΦ(d)reliant l’an-0 gle de déviation et la distance minimale d’approche ? Commenter. I.C.6)Lorsque cette distance minimale correspond à une trajectoire rasante (d=R), quelle est la valeur de la déviationΦ? On montrera que : 0 0 M -G tan=-2 2 v R(R+ρ) 0 G0 où l’on exprimeraρ,en fonction de M, etv. I.C.7)Déterminer numériquementρ, appelé rayon de Schwarzschild, dans le cas du Soleil pour une particule de vitessevc. 0 I.D - Déviation de la lumière par le Soleil La lumière est ici traitée comme un faisceau de photons, particules dont la massem n’a pas besoin d’être précisée dans la suite (même si on sait aujourd’hui qu’elle est nulle), et qu’on traitera dans le cadre de la mécanique non relativiste (même si cette approximation n’est pas légitime). Ces photons seront considérés comme soumis, comme une particule matérielle ordinaire, à l’interaction gravitationnelle avec l’étoile. On admettra que, pour les photons passant à proximité du Soleil,ρ«R (voir I.C.6). I.D.1)Déterminer, en secondes d’arc, la déviationΦcorrespondant à un pho-0 ton rasant le Soleil. On prendrav=c. 0 I.D.2)Une expédition fut montée en mai 1919 pour observer cette déviation à l’occasion d’une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas très bonne, pas plus donc que la qualité des observations ; toutefois, des mesures ultérieures menées lors de diverses éclipses de 1922 à 1999 conÞrmèrent progressivement une valeur mesurée expérimentalementΦ=1,75′′. e Pourquoi la mesure doit-elle être menée lors d’une éclipse du Soleil ? Commen-ter la valeur deΦ. e
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I.E - Effets de lentille gravitationnelle La présence d’un astre massifEsur le trajet d’un faisceau de lumière parallèle provoque une déviation des rayons lumineux formant ce faisceau. L’angle de déviationΦdépend de la distancebentre le rayon étudié et l’astreE, sous la forme G M Φ ≈ κ ⋅-, où M est la masse de l’astreE. 2 c b
I.E.1)Par analyse dimensionnelle, préciser l’unité de la grandeur constanteκ. I.E.2)Montrer que la déviation gravitationnelle de la bΦ lumière par l’astreEse comporte, pour un rayon pas-sant à la distance b de l’astreE(cf.Þgure ci-contre), E comme unelentille convergenteon exprimera la dont G distance focalefen fonction deb,κ,c, etM. On considère un rayon lumineux rasant la surface du Soleil ;best donc voisin du rayonRdu Soleil. I.E.3)Déterminerfdans ces conditions ; on prendraκ=2 SIet on exprimera le résultat en années-lumière (une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année).
I.E.4)L’observation des astres lointains et peu lumineux est parfois améliorée lorsque s’interpose, sur le trajet de la lumière entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait ?
Partie II - Thermodynamique des étoiles et galaxies
II.A - Stabilité des systèmes simples On étudie d’abord un système mécanique simple, à un seul degré de liberté, en-12 cJ tièrement caractérisé par son énergie cinétiqueE=-q˙est une gran-2 deur constante, positive. Toutes les actions mécaniques subies par ce système dérivent de son énergie potentielleEdu seul paramètre fonction q: p E=E(q). p p II.A.1)Étudier l’existence de positionsqd’équilibre du système et étudier la 0 stabilité d’un équilibre pour des petits mouvements autour de cet équilibre. Montrer que la condition d’équilibre stable s’exprime en fonction de deux déri-vées de la fonction énergie potentielleE(q). p
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II.A.2)Expliquer brièvement pourquoi les conclusions de la question II.A.1 sont inchangées, même si l’énergie cinétique du système se met sous la forme 12 E=-Jq˙, où 0est une fonction de . (q) (q) >q c 2
II.B - Instabilité des systèmes autogravitants
Nous admettrons ici qu’un système thermodynamique peut atteindre un équili-bre stable si sa capacité thermique est positive. Le systèmeΣétudié ici est un système autogravitant (étoile, galaxie ou Univers considéré comme isolé), c’est-à-dire un système constitué deN particules dont l’interaction est seulement gravitationnelle. On noteraE(t) son énergie cinétique etE(t) son énergie c p potentielle. On appelle viriel du systèmeΣla quantité déÞnie par N V=Firi, i=1 Fila force exercée sur la particule désigne i, placée au pointri. On note aussifmoyenne temporelle d’une grandeur variable au cours du temps la f(t), déÞnie comme la limite (si elle existe) : T 1 f=lim-f(t)dt. TT→ ∞t= 0 Sous certaines réserves qu’on supposera vériÞées, on peut montrer eton admet-cV traque l’énergie cinétique moyenne du système est donnée par2E= –. II.B.1)La force exercée sur la particuleidu système s’écrit Gi j m m Fi=FjiFji= –(rr). 3 -i j jirr i j L’énergie potentielle d’interaction entre deux particulesis’écrireet peut i,jGi j m m E= –. -p rr i j Parmi les deux expressions (1) et (2) ci-dessous, choisir celle qui exprime l’éner-gie potentielle d’interaction du système autogravitant tout entier ; justiÞer. N N m m i,j i j p pG∑ ∑ E=E= –-, ou bien : (1) rr i<jj i i=1j=i+1 N N m m i,jj i G∑ ∑ E=E= –-(2) p p rr i,jj i i=1j=1
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II.B.2)Par application du principe des actions réciproques (ou principe de l’ac-tion et de la réaction), regrouper, dans la somme qui déÞnit le viriel, les particu-les par paires. En déduire que l’énergie potentielleE(t) est liée très p Vsimplement au viriel(t). II.B.3)En déduire que l’énergie mécanique totale du systèmeU vaut U= –E. c II.B.4)On suppose que le centre d’inertie du systèmeΣest au repos dans le ré-férentiel galiléen d’étude. RelierEà la températureTdu systèmeΣ. En dé-c duire que la capacité thermique isochoreC d’un système autogravitant est v négative, et qu’il est thermodynamiquement instable. Commenter.
II.B.5)Dans le cas du Soleil ou des autres étoiles en activité, qu’est-ce qui em-pêche leur effondrement ?
Partie III - Effet Doppler et Loi de Hubble Compte tenu de l’instabilité des systèmes autogravitants, et donc de l’Univers lui-même, nous allons chercher à caractériser l’évolution de ce système au cours du temps, c’est-à-dire actuellement son expansion. La première évidence expérimentale acquise quant à cette expansion a été la loi de Hubble, dont la mise en évidence repose sur les propriétés de l’effet Doppler-Fizeau ou effet Doppler.
III.A - Effet Doppler Considérons une onde monochromatique d’amplitude complexea, se propa-geant dans la direction du vecteur unitaireu, décrite dans le référentiel(K). Dans ce référentiel on note(r,t)la position et l’instant du passage de l’onde avec la phaseϕ,a=aexp(iϕ)ϕ=ωtkraveck=ku. 0 III.A.1)Dans un référentiel(K)en translation par rapport à(K)à la vitesse V=V u, indiquer la positionret l’instanttdu même passage, dans le cadre x de la mécanique classique.
III.A.2)La phaseϕdoit avoir même valeur dans les deux référentiels ; en dé-duire les formules de l’effet Doppler classique, liant les caractéristiques(ω,k)et (ω′,k)de l’onde dans(K)et(K). III.A.3)Relier les vitesses de phase et de groupevetvde l’ondeadans les φg deux référentiels. Commenter. III.A.4)Expliquer pourquoi ces deux lois sont en fait incompatibles avec les lois de propagation des ondes électromagnétiques, déduites des équations de Maxwell.
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III.A.5)Nous admettrons que, dans le cadre de la mécanique relativiste, la loi de transformation de la pulsation d’une onde électromagnétique ou lumineuse 2 est :=(1uux)β=VÚcetγ=1Ú1β, où on notecla célérité de ω ′ γω β la lumière dans le vide. En déduire la relation liant les longueurs d’ondeλetλ′ de la lumière dans (K) et (K). Que deviennent ces expressions deω ′etλ′si la vitesseVchangement de référentiel est faible devant celle de la lumière ? de Comparer à l’effet Doppler-Fizeau classique étudié en III.A.2.
III.B - Loi de Hubble Lorsqu’une onde électromagnétique est émise à la longueur d’ondeλ, relative-ment au référentiel(K)de l’émetteur, cette même onde sera reçue par un récep-teurÞxe dans le référentiel(K), mais qui s’éloigne longitudinalement de(K)à la vitesseV, avec une longueur d’ondeλ′différente deλ. La relation qui lieλ etλ'est : V ⎛ ⎞ '1-. λ=λ+ ⎝ ⎠ c On rappelle que le spectre de rayonnement d’une étoile de température de sur-faceT, assimilé à une émission thermique, est donné par la loi de Planck qui donne la puissance rayonnée par unité de surface de l’étoiled Pentre les lon-u gueurs d’ondeλetλ+dλ: 2 2πhc1 d P=--dλ u 5 hc ⎛ ⎞ λ exp-1 ⎝ ⎠ λk T B hest la constante de Planck etkla constante de Boltzmann. On appelleλ B m la valeur deλpour laquelle la fonctiond PÚdλprésente un maximum. u III.B.1)Donner une expression approchée de la relation liantλ,T,h,cetk. m B On pourra supposer que, au voisinage de ce maximumλ,exp(hcÚkλT)»1, m m avant de vériÞer la validité de cette approximation.
III.B.2)Calculerλ pour une étoile de température de surfaceT=6000 Km quel domaine du spectre électromagnétique correspondλ? m III.B.3)Expliquer brièvement pourquoi, compte tenu de la forme de la distribu-tion de Planck au voisinage de son maximum, la mesure du déplacement deλ m par effet Doppler ne constitue pas une méthode précise de mesure de la vitesse Vde l’étoile émettrice par rapport au système solaire. III.B.4)En vous basant sur les propriétés de l’absorption de la lumière par les atomes, montrer que la présence d’une couche d’atomes froids entourant une étoile permet de proposer une méthode plus précise de mesure deV.
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L’astrophysicien américain Hubble a, le premier, appliqué cette méthode de façon systématique, montrant une relation linéaire entre la vitesse d’éloigne-ment des galaxies et leur distance au système solaire : c’est laloi de Hubble. D’après celle-ci, une galaxie (ou une étoile)Asituée à la distanceR(t)d’une ori-gine arbitraire s’éloigne de ce pointO avec une vitesse radiale V(A,t)=H(t)R(t), où la grandeurH(t), identique pour toutes les galaxies (ou o étoiles), porte le nom deconstante de Hubble. On peut aussi écrire vectorielle-ment la vitesse de la galaxie (ou étoile)Asous la formeV(A,t)=H(t)OA. o III.B.5)SoitOun point lié à une galaxie quelconque de l’Univers. Déterminer la vitesseV(A,t)de la galaxieApar rapport àO. En déduire que la loi de oHubble est vériÞée avec une origine quelconqueO, avec la même constante de HubbleH(t). Commenter. III.B.6)Une étoileEun rayon lumineux vers le point émet O, avec OE=R(t); en admettant queH(t)etR(t)restent quasiment constantes au cours du laps de temps qui sépare le voyage d’un rayon lumineux depuis son étoile d’émission jusqu’à son point de réception, calculer la variation relative ΔλÚλde longueur d’onde due à l’effet Doppler entre émission et réception, en fonction deH(t),R(t)etc. On dira qu’il y adilatation commune de toutes les longueursau cours de l’expan-sion, qu’il s’agisse de distances matérielles ou de longueurs caractéristiques, comme les longueurs d’onde.
Pa
rtie IV - Échelle de temps de l’expansion
IV.A - Refroidissement de l’Univers
IV.A.1)À tout instantt, l’Univers peut être considéré comme un émetteur ther-mique à la températureT(t). On montre (Partie III), qu’au cours de l’évolution de l’Univers, la longueur d’onde d’un photon quelconque varie proportionnelle-ment aux dimensions caractéristiques de l’Univers. En déduire qu’un Univers en expansion se refroidit. La loi de Wien pour un émetteur thermique donne la longueur d’onde du maxi-mum d’émissionλ en fonction de la températureTla forme sous m 3 λT3,010 mK. m IV.A.2)Quelle est la température actuelle de l’Univers si la longueur d’onde du maximum de l’émission est égale à1,1 mm? Dans quel domaine spectral se trouve ce maximum d’émission ?
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IV.B - Ère à dominante matérielle Actuellement, l’énergie mécanique de l’Univers est essentiellement présente sous forme matérielle, énergie mécanique de particules en interaction gravita-tionnelle. Nous décrirons l’Univers comme unßuide homogène de masse volu-miqueρ(t), ayant la symétrie de révolution autour d’une étoile centraleO arbitraire. L’expansion de l’Univers est décrite par la loi de Hubble (voir III.B.4). IV.B.1)Une étoileAde massemse situe, à l’instantt, à la distanceR(t)deO. Montrer que la masseMcontenue à l’intérieur de la sphère de centreOet de R rayonR(t)est constante au cours du temps. Donner l’expression du champ de gravitation exercé sur l’étoileA, assimilée à GR un point matériel, en fonction de ,MetR(t). En déduire l’énergie poten-pGRG tielleEdeAen fonction de ,m,MetR(t)puis en fonction de ,m,R(t) etρ(t). On choisiraE=0siR(t)=0. p IV.B.2)Déterminer l’énergie mécanique totaleEde la même étoile, en fonction G dem,R,ρ, et de la constante de HubbleH(t). IV.B.3)Montrer que le caractèreouvertouferméde l’Univers, c’est-à-dire la pos-sibilité pour les étoiles de s’éloigner indéÞniment les unes des autres, dépend seulement de la valeur deρ(t)relativement à une valeur critiqueρqu’on ex-c G primera en fonction deH(t)et . 1 IV.B.4)Hactuellement vaut 15 kmsmillion d’années-lumière (une an- par née-lumière est la distance parcourue par la lumière à la vitessecpendant une année). Calculer la valeur actuelle deρ. c IV.B.5)En exprimant la conservation de la masse, montrer queρ(t)varie pro-n portionnellement àR(t)et préciser l’entiern.
IV.C - Ère à dominante radiative Dans les premiers temps de l’Univers, l’essentiel de l’énergie de celui-ci était présent sous forme de rayonnement électromagnétique ; nous admettrons dans la suite que lors d’une telle période, on peut utiliser les résultats de la mécani-que classique à condition de remplacer la densité volumiqueρ(t)par le rapport 2 ρ(t)=u(t)Úc, oùu(t)est la densité volumique d’énergie électromagnétique à l’instantt; il s’agit simplement d’une extension de la relation classique d’équi-2 valence masse-énergieE=mc.
IV.C.1)Exprimer la puissanced Ppartant de l’unité de surface d’un émetteur u thermique à la températureTet dont la fréquence est située entre les valeurs νetν+dν, en fonction deh,c,k,T,ν,dνet de la fonctionfÞnie par B 3 x hv f(x)=où l’on a poséx= --exp(x)1k T B
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