Polytechnique X 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa mp

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2004PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Solutionspériodiquesd’équationsdifférentiellesOnsepropose,dansceproblème,d’étudierlessolutionsdecertaineséquationsdifférentielles,et,enparticulier,leurssolutionspériodiques.Ondésignepar Tunnombreréel > 0,parPl’espacevectorieldesfonctionsdéfiniessur R,réelles,continueset T-périodiques,etenfinpar aunélémentde P.Onpose T tÄ äA = a(t)dt , g(t)=exp a(u)du ;0 0onmunit Pdelanormedéfinieparx=sup|x(t)| .t∈RPremièrepartie1.Direpourquelle(s)valeur(s)de Al’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t) (E1)admetdessolutions T-périodiquesnonidentiquementnulles.Ondésignemaintenantpar bunélémentde P,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+b(t) . (E2)2.a)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)etpréciserleursintervallesdedéfi-nition.2.b)Décrirel’ensembledessolutionsmaximalesde(E2)quisont T-périodiques,ensupposantd’abord Anonnul,puis Anul.13.Onsupposeque T =2πetquelafonction aestuneconstante k.3.a)Supposant knonnul,exprimerlescoefficientsdeFourier xˆ(n),n∈ Z,d’unesolution xde(E2)appartenantà P,enfonctiondeketdescoefficientsdeFourierde b.PréciserlemodedeconvergencedelasériedeFourierde x.3.b)Quesepasse-t-illorsque k =0?Deuxièmepartie1 2Danscettepartieondésignepar Hunefonctionréelle,declasse C,définiesur R ,etons’intéresseàl’équationdifférentiellex (t)=a(t)x(t)+H(x(t),t) . (E3)4 ...
Publié le : lundi 11 juillet 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2004
MP FILIÈRE
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Solutions périodiques d’équations différentielles
On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques.
On désigne parTun nombre réel>0, parPl’espace vectoriel des fonctions définies surR, réelles, continues etT-périodiques, et enfin paraun élément deP. On pose   Ä ä T t A=a(t)gdt ,(t) = expa(u)du; 0 0 on munitPde la norme définie par
x= sup|x(t)|. tR
Première partie
1.Dire pour quelle(s) valeur(s) deAl’équation différentielle
x(t) =a(t)x(t)
(E1)
admet des solutionsT-périodiques non identiquement nulles. On désigne maintenant parbun élément deP, et on s’intéresse à l’équation différentielle x(t) =a(t)x(t) +b(t).(E2) 2.a)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de défi-nition. 2.b)Décrire l’ensemble des solutions maximales de (E2) qui sontT-périodiques, en supposant d’abordAnon nul, puisAnul.
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3.On suppose queT= 2πet que la fonctionaest une constantek.
3.a)Supposantknon nul, exprimer les coefficients de Fourierˆx(n), nZ,d’une solutionx de (E2) appartenant àP, en fonction deket des coefficients de Fourier deb. Préciser le mode de convergence de la série de Fourier dex.
3.b)Que se passe-t-il lorsquek= 0?
Deuxième partie
1 2 Dans cette partie on désigne parHune fonction réelle, de classeC, définie surR,et on s’intéresse à l’équation différentielle x(t) =a(t)x(t) +H(x(t), t).(E3) 4.Vérifier qu’une fonctionxest solution de (E3) si et seulement si elle satisfait la condition t Ä ä 1 x(t) =g(t)x(0) +g(s)H(x(s), s)ds . 0 5.On suppose queHestT-périodique par rapport à la seconde variable, et queAest non nul. Montrer que, pour toute fonctionxP,la formule A t+T e 1 (UHx)(t) =g(t)g(s)H(x(s), s)ds A 1et définit effectivement une fonctionUHxdeP,et quexest solution de (E3) si et seulement si l’on aUHx=x.
1 2 Dans la suite du problème, on désigne parFune fonction réelle, de classeC, définie surR, T-périodique par rapport à la seconde variable; pour toutε >0on poseHε=εFetUε=UHε de sorte que l’équation différentielle s’écrit x(t) =a(t)x(t) +εF(x(t), t).(E4) On supposeA= 0. Pour toutr >0on noteBrla boule fermée de centre0, de rayonrdans l’espace norméP. On se propose de démontrer l’assertion suivante : pour toutr >0il existe ε1>0tel que, pour toutεε1, l’équation différentielle (E4) admette une unique solutionx appartenant àBr; on la noteraxε. ∂F On noteαr(resp.βr) la borne supérieure de l’ensemble des nombres|F(v, s)|(resp.|(v, s)|) ∂v v[r, r]ets[0, T]. 6.a)Déterminer un réelε0>0tel que, pour toutεε0, on aitUε(Br)Br.
6.b)Déterminer un réelε1ε0tel que, pour toutεε1, la restriction deUεàBrsoit une contraction deBr.
6.c)Conclure.
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7.Étudier le comportement de la fonctionxεlorsqueεtend vers0, le nombrerétant fixé. 8.On suppose maintenant que la fonctionaest une constantek= 0et que la fonctionFest de la formeF(v, s) =f(v). Déterminer la solutionxεde (E4). [On pourra mettre en œuvre la méthode des itérations successives en partant d’une fonction constantex0(t) =c0]. 2 9.On prend maintenantT= 1, k=1etf(v) =v; l’équation différentielle (E4) s’écrit donc 2 x(t) =x(t) +εx(t).(E5) 9.a)Indiquer des valeurs possibles pourε0etε1. 9.b)Déterminer la solutionxεde (E5).
9.c)Soitαun nombre réel. Démontrer qu’il existe une unique solution maximaleϕαde (E5) telle queϕα(0) =α. Déterminer précisément cette solution. Représenter quelques-unes de ces solutions sur un même graphique.
Troisième partie
Dans cette partie, on s’intéresse à l’équation différentielle x(t) =kx(t) +εf(x(t)) 1 en supposantk <0,fde classeCet nulle en0; on pose λ= sup|f(u)| u[1,1] et on supposeελ <k.
(E6)
On se propose de démontrer le résultat suivant : sixest une solution maximale de (E6) telle que|x(0)|<1, alors elle est définie sur[0,+[et on a, pour toutt0 (k+ελ)t |x(t)||x(0)|e . On pourra admettre ce qui suit : soitϕune fonction positive continue sur un intervalle[0, θ] satisfaisant une inégalité de la forme t ϕ(t)η+ζ ϕ(s)ds 0 ηest réel etζ0; alors ζt ϕ(t)ηe . 10.Dans cette question, on suppose que l’ensemble destpour lesquels|x(t)|>1est non vide et on noteθsa borne inférieure. Montrer que, pour toutt[0, θ], on a (k+ελ)t |x(t)||x(0)|e .
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11.Conclure.
N.B.Ce résultat exprime ce que l’on appelle la « stabilité » et la « stabilité asymptotique » de la solution nulle de l’équation différentielle (E6).
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