Polytechnique X 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa pc

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2004 FILIÈREPCCOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.PolynômesunitairesdenormeminimalePour tout entier d 0, on désigne par E l’espace vectoriel complexe des polynômesdà coefficients complexes de degré d et par U le sous-ensemble des polynômes unitairesddedegré d.Premièrepartie∗Soit n∈ N etsoient x ,...,x desnombrescomplexesdistincts.Onconsidèrelepolynôme1 nP(X)= (X− x ) ,k1knetl’ondésignepar P lepolynômedérivéde P.1.Pourtoutentier j, 1 j n,onposeP(X)P (X)= ·j(X− x )P (x )j ja)Montrerquecetteexpressiondéfinitunpolynôme P dedegré n− 1.jb)Calculer P (x ),pour1 k n,etmontrerque,pourtoutpolynôme F,lepolynômej knL = F(x )P prendlamêmevaleurque Fentouslespoints x ,...,x.F j j 1 nj=1nc)Montrerque P =1.jj=1d)Lespolynômes P, 1 j n,forment-ilsunebasede E ?j n−11n−1i2.Pour 1 j n,onposeP (X)= b X,oùb ∈ C.SoientV et Blesmatricesj i,j i,ji=0e ecomplexes n× ndontlesélémentsàla i ligne(1 i n)etàlaj colonne(1 j n)sontj−1(x ) et b ,respectivement.Montrerque V estinversible,etque V et Bsontinversesl’unei i−1,jdel’autre.n j1 (x )k3.a)Montrerque b = .Déterminerlavaleurde pour 0 j n− 1.n−1,j P (x ) P (x )j kk=1n n−1 (X− x )kb)Endéduireque estunpolynômeconstantquel’oncalculera.P (x )kk=1∗Danstoutelasuiteduproblème, d ∈ N estunentierfixé,et ...
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2004
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Polynômes unitaires de norme minimale
Pour tout entierd0, on désigne parEdl’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parUdle sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.
Première partie
SoitnNet soientx1, x, . . .ndes nombres complexes distincts. On considère le polynôme P(X) =(Xxk), 1kn
et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.
1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) Pj(X) =(Xxj)P(xj) a)Montrer que cette expression définit un polynômePjde degrén1.
b)CalculerPj(xk), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n LF=F(xj)Pjprend la même valeur queFen tous les pointsx1, x, . . .n. j=1
n c)Montrer quePj= 1. j=1
d)Les polynômesPj,1jn, forment-ils une base deEn1?
1
n1 i 2.Pour1jn, on posePj(X) =bi,jX, oùbi,jC. SoientVetBles matrices i=0 e e complexesn×ndont les éléments à lailigne (1in) et à lajcolonne (1jn) sont j1 (xi)etbi1,j, respectivement. Montrer queVest inversible, et queVetBsont inverses l’une de l’autre.
n j 1 (xk) 3.a)Montrer quebn1,j=pour. Déterminer la valeur de0jn1.   P(xj)P(xk) k=1
n n1 (Xxk) b)est un polynôme constant que l’on calculera.En déduire que P(xk) k=1  Dans toute la suite du problème,dNest un entier fixé, etKest une partie compacte du plan complexe, contenant au moinsd+ 1éléments. On poseρ= sup|z|. Pour tout polynôme zK Q∈ Ed, on pose QK= sup|Q(z)|. zK
Deuxième partie
d i Pour tout polynômeQ∈ Ed, défini parQ(X) =aiX, on pose i=0 N(Qsup) =|ai|. 0id 4.a)Montrer queQ→N(Q)etQ→ QKsont des normes surEdet qu’elles sont équiva-lentes.
b)La fonctionQ→ QKest-elle continue sur l’espace vectoriel normé(Ed, K)?
QK 5.a)Majorersupen fonction deρ. N(Q) Q∈E d Q=0
b)On choisitn=d+ 1points distincts dansK,x1, . . ., xd+1, et l’on reprend les notations de la première partie. On poseβ= sup|bi,j|. En utilisant les résultats de la question2., 0id 1jd+1 montrer que N(Q) supβ(d+ 1). dQK Q∈E Q=0  
Dans toute la suite du problème, on pose m= infQK. Q∈U d 2
d 6.a)Montrer que0mρ.
Troisième partie
b)Montrer queinfQK=m. Q∈U d d Qρ K
c)Montrer qu’il existeQ0∈ Udtel queQ0K=m.
Quatrième partie
7.SoientkNetckun nombre complexe non nul. Soitz0C. On considère le polynôme k Q(X) = 1 +ck(Xz0). Montrer qu’il existezCtel que|Q(z)|>|Q(z0)|. [On pourra considérer le module et l’argu-ment decket dezz0.]
8.Plus généralement, soitQ∈ Edet soitz0C. On suppose queQ(z0) = 1et queQn’est pas constant.
a)Montrer qu’il existe un entierk1, un nombre complexeck,ck= 0, et un polynôme Rtels que k k+1 Q(X) = 1 +ck(Xz0) +ck(Xz0)R(X).
b)Montrer que, pour tout réelr >0, il existezCtel que|zz0|=ret k k Q(z) = 1 +|ck| |zz0|+|ck| |zz0|(zz0)R(z).
c)Montrer que, pour tout réelr >0, il existezCtel que|zz0|ret |Q(z)|>|Q(z0)|. 9.a)Montrer que la propriété démontrée à la question8.c)est satisfaite pour tout polynôme non constantQ∈ Edet pour tout pointz0C.
b)En déduire que, pour toutQ∈ Ed, sup|Q(z)|= sup|Q(z)|. |z|1|z|=1 c)Montrer que, pour toutQ∈ Ed, Q(z) sup =sup|Q(z)|. d   z |z|1|z|=1 d)Dans cette question, on choisitK={zC| |z|1}. Montrer que le polynôme d Q0(X) =Xsatisfait Q0K=m .
3
Cinquième partie
10.Soientz0etz1deux nombres complexes non nuls. Montrer que|z0+z1|=|z0|+|z1|si et seulement s’il existe un réelλ >0tel quez1=λ z0.
PourQ∈ Ed, on pose M(Q) ={zK| |Q(z)|=QK}. 11.On suppose qu’il existe des polynômes distinctsQ0∈ UdetQ1∈ Udvérifiant
Q0K=Q1K=m .
Pour toutt]0,1[, on pose Qt=t Q1+ (1t)Q0. a)Montrer que, pour toutt[0,1],QtK=m.
b)Soitt]0,1[et soitz∈ M(Qt). Montrer quez∈ M(Q0)etz∈ M(Q1), puis montrer queQ0(z) =Q1(z).
c)En déduire que, pour toutt]0,1[, Card(M(Qt))< d.
12.On suppose qu’il existeQ∈ Udtel queQK=met tel que Card(M(Q))d.
a)Montrer qu’il existe un polynômeL∈ Ed1tel que, pour toutz∈ M(Q),L(z) =Q(z).
1 ∗ ∗ b)SoitQp=QL, pourpN. Montrer que, pour chaquepN, il existezpK p tel que|Qp(zp)|QK.
On admettrale résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de nombres entiers, p→np, telle que la suitep→znpconverge vers un élémentde la partie compacteKdeC, quandptend vers+.
c)Montrer que|Q()|=QK. En déduire queQ() =L().
  )etL(z) =Q()(1 +ε)(1 +ε) petεp d)Montrer queQ(znp) =Q()(1 +εp npp p, oùε sont des suites de nombres complexes, définies pourpassez grand, telles quelimεp= 0et p+mε= 0. En déd |1 +εp|1, etlipuire que, pourpassez grand,|Qnp(znp)|<QK. p+
13.Y a-t-il unicité du polynômeQ0∈ Udtel queQ0K=m?
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