Polytechnique X exponentielles d endomorphisme integrales et series 2009 mp

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION 2009PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.???Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et sériesPremière partie∞ ∞On désigne par C (R) l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classe C , d’une variableréelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :∞ 0 0• pour toute f ∈C (R), (Xf)(x) =xf(x), (Df)(x) =f (x), (Af)(x) =xf (x),∞ t• pour tout nombre réel t et pour toute f ∈C (R), (Φ f)(x) =f(e x).t1. Vérifier que la valeur ent = 0 de la dérivée de la fonctiont7→ (Φ f)(x)est égale à (Af)(x).tOn va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la formuleexp(tA) = Φ .tnX t n2. Vérifier que, si f est un polynôme, la série (A f)(x) est convergente et de sommen!n>0(Φ f)(x).tn n n−13. Montrer que, pour tout entier n> 0, on a D X =XD +nD .4. Montrer que, pour tout entier n> 0, il existe des nombres réels positifsμ , k = 1,... ,n,n,knXn k ktels que A = μ X D , et exprimer μ en fonction des μ , p = 1,... ,n−1.n,k n,k n−1,pk=1Préciser les valeurs de μ et μ .n,1 n,n15. On désigne par f un polynôme d’une variable réelle. Démontrer la relationÑ énX X tt k (k)∀t, x∈R f(e x) =f(x)+ μ x f (x).n,kn!k>1 n>k6. Étant donné une suite de nombres réels a , k ∈N, comparer les rayons de convergencekX Xk kdes séries entières a x et ka x .k kk>0 k>0Xk7. On se donne maintenant une fonction ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2009
MP FILIÈRE
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?
Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries
Première partie
∞ ∞ On désigne parC(R)l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classeC, d’une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
∞ 00 pour toutefC(R),(Xf)(x) =xf(x),(Df)(x) =f(x),(Af)(x) =xf(x),
t pour tout nombre réeltet pour toutefC(R),tf)(x) =f(e x).
1.Vérifier que la valeur ent= 0de la dérivée de la fonctiont7→tf)(x)est égale à(Af)(x). On va maintenant étudier les puissances deAet chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φt. n X t n 2.Vérifier que, sifest un polynôme, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 tf)(x).
n nn1 3.Montrer que, pour tout entiern >0, on aD X=XD+nD.
4.Montrer que, pour tout entiern >0, il existe des nombres réels positifsµn,k, k= 1, n, . . ., n X n kk tels queA=µn,kX D, et exprimerµn,ken fonction desµn1,p, p= 1, . . ., n1. k=1 Préciser les valeurs deµn,1etµn,n.
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5.On désigne parfun polynôme d’une variable réelle. Démontrer la relation Ñ é n X X t t k(k) t, xRf(e x) =f(x) +µn,kx f(x). n! k>1n>k
6.Étant donné une suite de nombres réelsak, kN, comparer les rayons de convergence X X k k des séries entièresakxetkakx. k>0k>0 X k 7.On se donne maintenant une fonction développable en série entièref(x) =akxde k>0 rayon de convergenceR >0. On admettra la propriété suivante : k X h (k) (P) si|x|< R, la série entière enh:f(x)a un rayon de convergence au moins égal à k! k>0 k X h (k) R− |x|, et, si|h|< R− |x|, on af(x) =f(x+h). k! k>0 7.a)Vérifier que, si|x|< R, il existe un réelγx>0tel que t |t|< γx⇒ |(e1)x|< R− |x|. 7.b)Démontrer l’existence de nombres réelsλn,k, n,kN, indépendants defet tels que l’on ait Ñ é n X X t t k(k) x]R, R[,t]γx, γx[, f(e x) =f(x) +λn,kx f(x). n! k>1n>1 7.c)Vérifier que ( µn,ksik6n λn,k= 0sik > n .
[On pourra utiliser le résultat de la question5.] n! n 7.d)Montrer que, pour16k6n, on aλn,k62. (k1)! n t k(k) 7.e)On poseZn,k=λn,kx f(x). Indiquer deux réelsα >0etη >0tels que n! Ñ é X X |x|< α ,|t|< η⇒ |Zn,k|<+. k>1n>1 n X t n 7.f )Montrer que, si|x|< αet|t|< η, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 tf)(x).
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Deuxième partie
Dans cette partie, on désigne parFl’espace vectoriel des fonctionsfréelles, d’une variable k réelle, continues et telles que, pour tout entierk>0, la fonctionx7→x f(x)soit bornée.
k 8.Soitfune fonction deF. Montrer que, pour tout entierk>0, la fonctionx7→x f(x) est intégrable surR. Z k On poseramk(f) =x f(x)dx. R 9.Soientfetgdeux fonctions deF. 9.a)Montrer que, pour tout réelx, la fonctiony7→f(xy)g(y)est intégrable surR. Z On noterafgla fonctionx7→f(xy)g(y)dy. R 9.b)Montrer quefgappartient àFet écrire une formule de la forme k X mk(fg) =γk,pmp(f)mkp(g), p=0 où lesγk,psont des coefficients à déterminer.
On admettra la commutativité et l’associativité de l’opération(f, g)7→fg.
Dans la suite du problème, on désigne parF0l’ensemble des fonctionsfdeFqui sont positives et telles quem0(f) = 1etm1(f) = 0.
10.Étant donné des fonctionsf1, . . ., fndeF0, calculerm0(f1. . .fn)etm1(f1. . .fn) puis exprimerm2(f1. . .fn)en fonction desm2(fi), i= 1, n, . . ..
Pour tout réela >0, on désigne parTal’endomorphisme deFdéfini par(Taf)(x) =af(ax).
11.Calculermk(Taf).
Dans la suite du problème on désigne parfi, i= 1,2, . . ., des fonctions deF0, et, pour tout n, on poseFn=f1. . .fn. On suppose que tous lesm2(fi)sont majorés par une même constanteC. Z +12.a)Montrer que, pour tout réelα >0, les deux intégrales(TnFn)(x)dxet α Z α (TnFn)(x)dxtendent vers 0 lorsquen+. −∞
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12.b)Étant donné une fonctionhcontinue bornée surR, étudier le comportement de Z h(x)(TnFn)(x)dxlorsquen+. R
[On pourra considérer d’abord le cas oùh(0) = 0.]
2 13.a)Établir une inégalité entrem4(f)etm2(f)lorsquef∈ F0.
13.b)Démontrer la formule, pourn>2, X X m4(Fn) =m4(fi) + 6m2(fi)m2(fj). 16i6n16i<j6n 13.c)Trouver une condition portant sur lesm4(fi)sous laquelle on ait, pour toutα >0, Z +X (TnFn)(x)dx <+. α n>1 ∗ ∗
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