Probabilites Pour les Concours de Mathematiques http math unice fr ˜junca

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Niveau: Supérieur, Bac+5
Probabilites Pour les Concours de Mathematiques http ://math.unice.fr/˜junca Probabilites conditionnelles, independance 1 Probabilites conditionnelles En statistiques lors d'une etude d'un caractere sur une population donnee, les resultats sont souvent obtenus ou presentees par sous-population. Regardons le nombre d'admissible au CAPES de Mathematiques a Nice suivant leur sexe. On utilise les notations suivantes H pour homme, F pour femme, A pour admissible, R pour recale, N le nombre d'individu de la population, NH le nombre d'hommes, NHA = NAH le nombre d'hommes admissibles, et ainsi de suite. On a le tableau suivant : H F A 8 12 20 R 8 4 12 16 16 32 Ainsi, la frequence des admissibles a Nice est f(A) = NAN = 20 32 = 5 8 = 0.625, la frequence des hommes admissibles est f(HA) = NHAN = 8 32 = 1 4 = 0.25, la frequence des admissibles chez les hommes est f(A/H) = NHANH = 8 16 = 1 2 = 0.5, et f(A/F ) = 12 16 = 3 4 = 0.75. On remarque que les femmes reussissent mieux que les hommes, que 75% femmes sont admissibles contre 50% des hommes. En fait, on obtient la formule generale suivant sur les frequences conditionnelles : f(A/H) = NAH NH ? N N = f(AH) f(H) .

  • associees aux evenements disjoints

  • independance au sens de la definition precedente

  • premiere fois

  • probabilite sur ?

  • definition

  • calcul de probabilites

  • cote face au deuxieme lancer

  • deuxieme interpretation de la probabilite conditionnelle


Publié le : mardi 29 mai 2012
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ProbabilitesPour lesConcours deMhatatemueiqs
Probabilites
conditionnelles,
http ://math.unice.fr=ejunca
independance
1Probabilitesconditionnelles Enstatistiqueslorsd'uneetuded'uncaracteresurunepopulationdonnee,lesresultatssont souventobtenusoupresenteesparsous-population. Regardonslenombred'admissibleauCAPESdeMathematiquesaNicesuivantleursexe.On utilise les notations suivantesHpour homme,Fpour femme,Apour admissible,Rlae,puorrceN le nombre d'individu de la population,NHle nombre d'hommes,NHA=NAHle nombre d'hommes admissibles, et ainsi de suite. On a le tableau suivant : H F A 8 1220 R 84 12 16 16 32 NA20 5 Ainsi,lafrequencedesadmissiblesaNiceestf(A= =) == 0:secndeqeeu6l,52rfa N32 8 NHA8 1 hommes admissibles estf(HA= 0= =) =:ncueeqraf,l25ssbielcsdesedaimhezles N32 4 NHA8 112 3 hommes estf(A=H= == 0) =:5, etf(A=F0= =) =:75. NH16 416 2 Onremarquequelesfemmesreussissentmieuxqueleshommes,que75%femmessontadmissibles contre 50% des hommes. Enfait,onobtientlaformulegeneralesuivantsurlesfrequencesconditionnelles: NAHN f(AH) f(A=H) ==: NHN f(H) Pourfairedesprobabilites,onpeutprendrecommeuniversles32candidats.Onchoisitun individuauhasardenseplaantdansuncasd'equiprobalite.Ainsilescalculsprecedentsdefrequences deviennentdescalculsdeprobabilites.IlsutderemplacerfparPtereprreuselrssltatd'ettein obtenus en terme probabiliste. Par exemple on a 62:5% de chance de choisir un individu admissible. Sachantquecetindividuestunefemmeonuneprobabilitede0:75 d'avoir choisi une candidate admissible.Cetexemplenousintroduitdemanierenaturellelanotionde: Denition1(Probabiliteconditionnelle) Soitid'utimeunbiidleiprnoeblaonuneelnesbmP,Hun sous-ensemble de. SiP(H)6= 0tenoonuqetilibaborpalementel'evenAementenl'ueveseashcnaqtraeilesHest realise,ou,plusrapidement,laprobabilitedeAsachantHpar : P(A\H) P(A=H) := P(H) AinsiP(:=He)tsnuperobabiltesur: P(:=H) :P()![0;1] A7!P(A=H) Eneet,onverieaisementquel'additivitedeP(:=Hdnsinuoia'loptrrrap)palleceulesdeteinjorte dePet queP(=H) =P(H)=P(H) = 1.
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On pourrait aussi voirP(:=Hussoivunestleuraborilibemmopenuse)rcHdoetnsconencreredi quedesevenementsdansH. En eet pourBHcesurlesouso,pnrroutraiaregrldeorpaibabtilarte universHen posantPH(B) =cP(Buo)cA.niitevopisemtntetiviaddisil'enutseteictresnttansco dePHtnuqednmenaadamotuqiteuatsri.EeeenemetvPHsuirdeprobaobiitluintelesoHil faut en plus quePH(H) = 1 soitc= 1=P(H). Ainsi, pour toutBHon aP(B=H) =PH(B) et plus generalementP(A=H) =PH(A\H). Cecinousdonneunedeuxiemeinterpretationdelaprobabiliteconditionnellecommelaprobabilitetracesurunsousensemblede.Cependantl'usageestdeparlerdesevenementssurl'universet nondesevenementstracessurH. C'est pour cela que l'on dit queP(:=Hsuriteabilprobenutse) et non sur le sous-universH.
1.1 Troisenfants Pierrot et Colombine ont trois enfants. On se demande s'ils ont une lle. 1.Quelleestlaprobabilitequ'ilsaientaumoinsunelle? 2.Sachantqu'unenfants'appelleJeandelaLune,quelleestlaprobabilited'avoiraumoinsune lle ? 3.Enfait,JeandelaLuneestledeuxiemeenfant,quelleestlaprobabilited'avoiraumoinsune lle ? 4.Sachantdeplusquequel'anes'appelleArlequin,quelleestlaprobabilited'avoiraumoinsune lle ?
1.2 Asde coeur Pierre et Xavier ont chacun un jeu de 4+ncartes dont les quatre As,n= 28 pour un jeu de 32 cartes,net Xavier tirent 2 cartes dans leurs jeux. Pierre= 48 pour un jeu de 52 cartes, .. . Pierre dit qu'il a un as. Xavier annonce qu'il a un as de coeur. 1. Quia la plus grande chance d'avoir deux As? 2. Y-a-t-ilun valeur denpour laquelle Pierre et Xavier ont autant de chance d'avoir deux As? Enstatistique,onpartagesouventlapopulationensous-populations.Enprobabilite,onafrequemment besoindepartitionnerl'univers.Onaurabesoindeladenitionsuivante: Denition2(Familletotale) On dit quefC1;  ; Cmgest une famille totale demunidelaprobetilibaPsi : m [ 1. elleforme une partition de: =Ciet,i6=j=)Ci\Cj=;, i=1 2. pourtouti,P(Ci)6= 0. Proposition1(Formuledesprobabilitestotales) SifC1;  ; Cmgforme une falille totale de(; P), alors, pour toutAm X P(A) =P(A=Ci)P(Ci): i=1 Cetteformuletressimpleademontrermaissurtouttresimportantedanslapratiqueconsitituela justicationmathematiquedel'utilisationdesarbresdanslesecondairepourlecalculdeprobabilites.
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2Independance Lanotiondeprobabiliteconditionnelleconduitnaturellementacelled'independance.Ondit queAtdednitsenadnepeHsi le fait de savoir queH'sserteisalneeanchpagepalsaborilibet deAde survenir, i.e.P(A=H) =P(A), et donc deP(A\H) =P(A=H)P(H) on demande que P(A\H) =P(A)P(Hrndeeri.C)teetesymetrtaged'tra'lvanaferoumelaep.Dueiqn'ons,lu plus besoin de supposer queHinenoitnegaree.llaaOnsiindlaibilorabnountnele:tdepsoi Denition3(Independancededeuxevenements) Soitbarolibietnumiu'diolenpediunensemblenPsmentnd.OdeuetiuqeenxveAetBsont independantssi P(A\B) =P(A)P(B) C'esticique,pourlapremierefoisdanscecours,apparatlanecessitedenormaliserlesloisde probabilitea1.Expliquezpourquoi? Lemme1(Independancededeuxevenementsetdeleurscomplemenetaires) Soitunensembnuminelolenu'dibaroepidetlibiPxveD.ueemtneensAetBanndtssonepetind si et seulement siAetBtssietseependanilumenestnosdnitAetBtsanndpeendtisno
Exercice:Demontrezlelemme.Onpeutremarquerqu'ilsutdedemontrerlapremiere implicationdanslesensdirectpourobtenirtouteslesequivalences.
Onveriequel'universentieretl'ensemblevidesontindependantdetoutlesevenementsde. BeaucoupdecandidatsauCAPESconfondentindependanceetincompatibilitededeuxevenements AetB. Alors que cela n'est jamais possible (sauf siAouBest le tout ou le rien). Attention,l'independancedeplusdedeuxevenementsestunenotionbienpluscompliquee.
3Lemodeledel'urnetraiteeavecdesarbres On reprend l'execice des urnes en dessinant des arbres. On dispose d'une urne deNatsbeeudoe1lnsmueorN, contenantrboules rouges etbboules blanches :b+r=Neqursloonitseuqeuqahcazepond:requeserinsmuitnoilacA.ppN= 5; r= 3; b= 2. 1.Quelleestlaprobabilitedetireravecremiselasequencesuivante:RBR(une rouge, puis une blanche, puis une rouge)? 2.Quelleestlaprobabilitedetirersansremiselasequencesuivante:RBR?
4 Formulede Bayes LaFormuledeBayes,appeleaussi(atort)formuledesprobabilitesdescausespermetdepasser deP(A=Ba)P(B=A). Cette formule n'est pas au programme du secondaire, mais on la retouve naturellement dans les exercices. Ainsi, il ne faut pas apprendre cette formule mais savoir la retouver. Enpratique,onrepresentesouventuneexperiencealeatoireal'aided'unarbrepondere.Prenonsun cassimplepourillustrernotrepropos.Oncommenceapartirdelaracinedel'arbrepardeuxbranches associeesauxevenementsdisjointsAetAup,brs-ouxseurdpaiseseosicsesanahcntsnemeeveaux  disjointsBetB. Ainsi, on a quatre parcours de l'arbre possibles :AB; AB; AB; AB. La formule deBayesrevientadecrirel'experiencealeatoireencommenantparl'evenementBet en terminant
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