Révisions Sujet de bac : Amérique du nord 2004

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Publié le : lundi 1 janvier 2007
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Durée:3heures
BaccalauréatESAmériqueduNordmai2004
L’utilisation d’unecalculatriceestautorisée.
Desélémentsdeformulairesontjointsausujet.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pourunepartimportantedansl’appréciationdescopies.
EXERCICE1 5points
Communàtouslescandidats
LespartiesAetBsontindépendantes.
Àlarentréescolaire,onfaituneenquêtedansuneclassedesixièmecomprenant
25élèves.
PartieA:
1
On sait que, dans cette classe, 48% des élèves ont 11 ans, ont 13 ans et les
5
autresont12ans.Cesélèvesutilisentdeuxtypesdesacsdecours:lesacâdosoule
2
cartableclassique.15élèves,dontles ont11ans,ontachetéuncartableclassique;
3
lesautres,dontlamoitiéont12ans,ontachetéunsacàdos.
1. Recopierletableausuivantsurvotrecopieetlecompléteràl’aidedesdonnées
del’énoncé:
Sacàdos Cartable Total
11ans
12ans
13ans
Total 25
2. Oninterrogeauhasardunélèvedecetteclasse.
Onnote:Sl’évènement :«l’élèveaunsacàdos».
Cl’évènement :«l’élèveauncartable».
Tl :«l’élèveatreizeans».
a. MontrerqueP(S)=0,4.
b. CalculerP(C ∩ T).
3. Oninterrogesuccessivementetdemanièreindépendantetroisélèvesdecette
classe;quelleestlaprobabilitéqu’exactementdeuxd’entreeuxaientunsacà
dos?
PartieB:
Àleurinscription,cesélèvesdoiventsouscrireuneassurancescolaire;deuxtypes
decontratsannuelssontproposés.D’aprèsdesétudesstatistiques,lecontratAdont
lecoûtestde20 € estchoisiavecuneprobabilitéde0,7 etlecontratBdontlecoût
estde30€ estchoisiavecuneprobabilitéde0,3.
Deplus,lecollègeproposeuneadhésionfacultativeaufoyercoopératif,d’unmon-
tantde15€.
Indépendammentducontratd’assurancechoisi,40%desélèvesprennentunecarte
d’adhérentdufoyer.
Onnote:Al’évènement :«l’élèveachoisilecontratA»
Bl’évènement :«l’élèveachoisilecontratB»-
Fl :«l’élèveestadhérentdufoyer».
1. Construirel’arbredesprobabilitésassociéàlasituationdécriteci-dessus.BaccalauréatSmai2004
2. Quelleestlaprobabilitéqu’unélèveaitprislecontratBetsoitadhérentdu
foyer?
3. Àchaqueélèveprisauhasard,onassocielecoût X de son inscription (assu-
rancescolaireplusadhésionéventuelleaufoyer);
a. Quellessontlesvaleurspossiblesdececoût?
b. Établir la loi de probabilité de ce coût et présenter le résultat dans un
tableau.
c. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation
peut-onendonner?
EXERCICE2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Une grande entreprise publie chaque année son chiffre d’affaires, en millions
d’euros.
Letableauci-dessousdonneleschiffresd’affairesdesannées1995à2001.
Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Rangdel’année x 0 1 2 3 4 5 6i
Chiffred’affaires y 20,4 24,2 33,8 38,6 49 53,9 59,29i
enmillionsd’euros
Lenuagedespoints M ,associéâlasériestatistique(x ; y )dansunplanrapportéi i i
àunrepèreorthogonalestdonnéenannexe.
1. RépondresansjustificationparVraiouFauxauxquatreaffirmationssuivantes:
Lespourcentagessontarrondisaudixième.
a. Entre1997et1998,lechiffred’affairesaaugmentéde14,2%;
b. Entre2000et2001,l’augmentationenpourcentageduchiffred’affairesa
étélamêmequ’entre1999et2000;
c. Entre1995 et2001, l’augmentation annuelle moyenne, en pourcentage,
duchiffred’affairesaétéd’environ31,8%

d. Onconsidèrelenuagedespoints M x ; y .Lescoordonnéesdupointi i i
moyendecenuagesont(3;38,6).
Oncherchemaintenantàfairedesprévisionssurlechiffred’affairespourl’an-
née2004enutilisantplusieursméthodes.
2. a. Expliquer pourquoi le nuage de points donné en annexe montre qu’un
ajustementaffinepeutêtreenvisagé.
b. Tracerladroited passantparM etM ;parlecturegraphique,détermi-1 0 6
neruneprévision n duchiffred’affairespourl’année2004.1
c. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d ,droite2
d’ajustement de y en x obtenueparlaméthodedesmoindrescarrés,en
arrondissantlescoefficientsaucentièmeleplusproche.Endéduireune
prévisionn duchiffred’affairespourl’année2004.2
3. On remarque que les valeurs du chiffre d’affaires correspondant aux années
1999,2000et2001formentunesuitegéométrique;onposedoncu =49, u =0 1
53,9etu =59,29.2
a. Calculerlaraisondecettesuite.
b. Calculerlavaleurdeu pourcettesuitegéométrique.Commentpeut-on5
l’interpréter?
BaccalauréatAmériqueduNord 2BaccalauréatSmai2004
EXERCICE2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
LespartiesAetBsontindépendantes.
PartieA
OnconsidèrelegrapheG ci-dessous:1
B
C
AF
DE
1. Justifierlesaffirmationssuivantes:
A .LegrapheG admetaumoinsunechaîneeulérienne.1 1
A .LachaîneDABCFBEFAEn’estpasunechaîneeulériennedeG .2 1
2. Déterminerunsous-graphecompletdeG ,ayantleplusgrandordrepossible.1
Endéduireunminorantdunombrechromatique γdecegraphe.
3. Déterminerunmajorantdecenombrechromatique.(Onjustifieralaréponse).
4. EnproposantunecolorationdugrapheG ,déterminersonnombrechroma-1
tique.
PartieB
Soit la matrice M d’un graphe orienté G dont les sommets A, B, C, D et E sont2
prisdansl’ordrealphabétique.
   
01 11 0 66 45 3
   10 10 1 56 53 6   
3   OndonneM= 11 00 1 et M =57 43 6 .   
   01 00 1 35 33 3
11 01 0 66 33 5
1. ConstruirelegrapheG .2
2. Déterminerlenombredechaînesdelongueur3reliantBàD.Lescitertoutes.
EXERCICE3 4points
Communàtouslescandidats
Lareprésentationgraphique(C)ci-dessousestcelled’unefonction f définiesur
→− →− [−2; 3]danslerepère O, ı ,  .Onnote f lafonctiondérivéede f.
Lacourbe(C)vérifielespropriétéssuivantes:
Lespointsainsimarqués•sontàcoordonnéesentièresetappartiennentàlacourbe
tracée, la tangente au point d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses, la tan-
genteaupointd’abscisse0coupel’axedesabscissesenx =2.
BaccalauréatAmériqueduNord 3BaccalauréatSmai2004
15
10
5
0
-2 -1 0 1 2
-5
1. Donneruneéquationdelatangenteaupointd’abscisse0.
2. Donnerlesvariationsde f
3. Unedesquatrecourbesci-dessousreprésentegraphiquementlafonction f .
Déterminer celle quilareprésente, enjustifiant l’élimination dechacunedes
troisautrescourbes.
20 20
10 10
0 0
-2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3
-10 -10
Figure1 Figure2
20 20
10 10
0 0
-2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3
-10 -10
Figure3 Figure4
4. Onadmetquelafonction f estdéfinieparuneexpressiondelaforme f(x)=
kx(ax+b)e où a, b etk sontdesnombresréels.
a.Déterminer f enfonctiondea, b etk.
b. Enutilisant la question précédente et les propriétésdela courbe(C)don-
néesaudébutdel’exercice,calculer a, b etk.
EXERCICE4 5points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalleI=]0; +∞[par
2(1+lnx)
f(x)= .
x

1. a. RésoudredansIl’équation f (x)=0; Calculerlavaleurexactedelasolution,puisendonnerunevale
b. RésoudredansIl’inéquation f(x)>0.
BaccalauréatAmériqueduNord 4BaccalauréatSmai2004
2. Ondonneci-dessousletableaudevariationsde f surl’intervalleI.
Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau (variations, limites, va-
leursnumériques).
x 0 1 +∞
+ 0 −f (x)
2
f(x)
−∞ 0
I
3. Dansuneentreprise,onamodéliséparlafonction f surl’intervalle[0,2; +∞[
le«bénéfice»mensuel(éventuellement négatif)réaliséenvendantx milliers
d’objetsfabriqués.Cebénéficeestexpriméenmilliersd’euros.
En utilisant les résultats des questions précédentes, répondre aux questions
suivantes:
a. Quel nombre minimal d’objets l’entreprise doit-elle vendre mensuelle-
mentpourquelebénéficesoitpositif?
b. Combienfaut-ilvendred’objetspourréaliserlebénéficemaximal?Quel
estlemontantdecebénéficemaximal?
BaccalauréatAmériqueduNord 5BaccalauréatSmai2004
ANNEXEÀL’EXERCICE2(nonspécialistes)
Àrendreaveclacopie
y80
M660
M5
M4
40 M3
M2
M1
M0
20
x
0
048
BaccalauréatAmériqueduNord 6
+
+ +
+
++
+BaccalauréatSmai2004
MATHÉMATIQUES–SÉRIEES
Elémentsdeformulaire
Probabilités
ProbabilitéconditionnelledeBsachantA
P (B)estdéfinieparP(A ∩B)=P (B)×P(A).A A
CasoùAetBsontindépendants:P(A∩B)=P(A)×P(B).
Formuledesprobabilitéstotales
SilesévènementsB ,B ,...,B formentunepartitiondeΩalors1 2 n
P(A)=P(A ∩ B )+P(A∩B )...+P(A∩B ).1 2 n
Espérancemathématique
Uneloideprobabilitésétantdonnée,sonespérancemathématique est
n
E= p x .i i
i=1
Analyse
Limites
lnx
limlnx=−∞ lim =0
x→0 x→+∞ x
Dérivéesetprimitives
Les hypothèses permettant d’utiliser les formules doivent être vérifiées par le
candidat.
u u v−uv
=
2v v
BaccalauréatAmériqueduNord 7

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