Révisions Sujet de bac : France 2007

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Publié le : lundi 1 janvier 2007
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Baccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Mathematiques´ (1/4)
EXERCICE1: (4 points)QCM
Pour chacune des questions, une seule des reponses´ A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numero´ de la question et la
lettre correspondant a` la reponse´ choisie. Aucune justification n’est demandee.´
NOTATION : une reponse´ exacte rapporte 1 point, une reponse´ fause enleve` 0,25 point, l’absence de reponse´ ne rapporte
aucun point et n’en enleve` aucun. Si le total des points est negatif´ , la note globale attribuee´ a` l’exercice est 0.
ae
1) Pour tout nombre reel´ a et pour tout nombre reel´ b, on peut affirmer que est eg´ al a` :
be
a( ) (a b) a bbReponse´ A :e Reponse´ B :e Reponse´ C :e e
2) On considere` trois fonctionsf,g eth definies´ surR telles que, pour tout nombre reel´ x,f(x)6g(x)6h(x). Si l’on sait
que lim g(x) = +1 alors on peut en deduire´ que :
x!+1
Reponse´ A : lim f(x) = +1 Reponse´ B : lim f(x) = 1 Reponse´ C : lim h(x) = +1
x!+1 x!+1 x!+1
03) On considere` une fonctionf definie´ et deri´ vable surR, de deri´ vee´ f . On donne ci-dessous son tableau de variations.
a. L’equation´ f(x) = 1 admet dansR :
Reponse´ A : trois solutions Reponse´ B : deux solutions Reponse´ C : une solution

!!
b. On noteC la courbe representati´ ve de la fonctionf dans le plan muni d’un repere` O; i ; j . La tangente a` la courbe
C au point d’abscisse 0 peut avoir pour equation´ :
Reponse´ A :y = 3x + 2 Reponse´ B :y = 3x + 2 Reponse´ C :y = 4
EXERCICE2:OBLIGATOIRE (5 points)
PARTIEA:
Dans un pays europeen,´ le montant des recettes touristiques, exprime´ en millions d’euros, est donne´ dans le tableau ci-dessous :
Annee´ 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Rang de l’annee´ x 0 1 2 3 4 5i
Montant des recettes touristiquesy en millions d’euros 24 495 26 500 29 401 33 299 33 675 34 190i
1) On utilise un ajustement affine. Donner, a` l’aide de la calculatrice, l’equation´ de la droite d’ajustement dey enx, obtenu
par la methode´ des moindres carres.´ Les coefficients, obtenus a` l’aide de la calculatrice, seront arrondis au centieme.`
2) En supposant que cet ajustement est valable jusqu’en 2007, calculer le montant que l’on peut prev´ oir pour les recettes
touristiques de l’annee´ 2007, arrondi au million d’euros.
PARTIEB:
10;13+0;07nOn considere` la fonctionf definie´ pour tout nombre entiern parf(n) =e . On utilise cette fonction pour modeliser´
l’ev´ olution des recettes touristiques de ce pays europeen.´ Ainsi,f(n) represente´ le montant des recettes touristiques (exprime´
en millions d’euros) de ce pays europeen´ pour l’annee´ 2000 +n.
1) Selon ce modele,` calculer le montant des recettes touristiques que l’on peut prev´ oir pour l’annee´ 2007. Arrondir le resultat´
au million d’euros.
2) a. Determiner´ le nombre entiern a` partir duquelf(n)> 45 000.
b. En deduire´ l’annee´ a` partir de laquelle, selon ce modele,` le montant des recettes touristiques depasserait´ 45 000 millions
d’euros.
0
1
+
1
f
f
p
1
x
+
0
0
2
+
e
)
)
x
(
(
+
0
x
1
1Baccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Mathematiques´ (2/4)
´ ´EXERCICE2:SPECIALITE (5 points)
La production journaliere` d’une entreprise depend´ de deux facteurs : le travail de la main d’œuvre et l’utilisation des machines.
On designe´ :
- parx la dureejournali´ ere` de travail de la main d’œuvre, exprimee´ en heures ;x appartient a` l’intervalle ]0 ; 10]
- pary la dur´ ere` d’utilisation des machines, exprimee´ en heures ;y appartient a` l’intervalle ]0 ; 12]
La quantite´ journaliere` produite (en tonnes) est donnee´ par la relation :
3xy
f(x;y) = avec 0<x6 10 et 0<y6 12
x +y
La figure ci-dessous represente´ la surface (S) d’equation´ :z =f(x;y) pour 0<x6 10 et 0<y6 12 .
18 ZZ
16
14
18
12
16
10
14
8
12
6
10
4
8
2
6
0 4 12
11A 10
9 2 8
7
6
5 Y 0 0 4 1 2 3 3 4 5 2 6 7 1 8 9 0 10X
PARTIE1: Le point A represent´ e´ sur le graphique est sur la surfaceS.
1) Determiner´ graphiquement l’abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnee´ (arrondie au dixieme).`
2) Interpreter´ les resultats´ obtenus en ref´ erence´ a` la production journaliere` de l’entreprise.
PARTIE2: Pour chaque heure, le coutˆ total du travail s’el´ ev` e a` 4 milliers d’euros, et le coutˆ total d’utilisation des machines
s’el´ ev` e a` 1 millier d’euros.
L’entreprise decide´ de depenser´ 36 milliers d’euros par jour et cherche a` maximiser sa production journaliere` sous cette
contrainte. On a alors 4x +y = 36.
La quantitie´ journaliere` produite (en tonnes) sous cette contrainte de coutˆ peut donc etreˆ modelis´ ee´ par la fonctiong definie´
24x 36x
sur l’intervalle ]0 ; 10] parg(x) = .
x 12
01) On noteg la fonction deri´ vee´ deg sur l’intervalle ]0 ; 10].
4(x 6)(x 18)
0 0a. Pour tout nombre reel´ x de l’intervalle ]0 ; 10], calculerg (x) et montrer queg (x) = .
2(x 12)
b. Etudier les variations de la fonctiong sur l’intervalle ]0 ; 10].
2) a. En deduire´ la duree´ journaliere` de travail et la duree´ journaliere` d’utilisation des machines permettant d’obtenir une
production journaliere` maximale pour un coutˆ total de 36 milliers d’euros.
´ ´ `b. Preciser la quantite journaliere maximale produite en tonnes.Baccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Mathematiques´ (3/4)
EXERCICE3: (5 points)
Amateur de sudoku (jeu consistant a` completer´ une grille de nombres), Pierre s’entraˆıne sur un site internet.
40% des grilles de sudoku qui y sont proposees´ sont de niveau facile, 30% sont d eniveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait qu’il reussit´ les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans
60% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40% des cas.
Une grille de sudoku lui est proposee´ de fac ¸on aleatoire.´
On considere` les ev´ enements´ suivants :
F :« la grille est de niveau facile»
M :« la grille est de niveau moyen»
D :« la grille est de niveau difficile»
R :« Pierre reussit´ la grille» et R son ev´ enement´ contraire.
1) Traduire les donnees´ de l’enonc´ e´ a` l’aide d’un arbre ponder´ e.´
2) a. Calculer la probabilite´ que la grille proposee´ soit difficile et que Pierre la reussisse.´
b. lae´ que le grille proposee´ soit facile et que Pierre ne la reuississe´ pas.
c. Montrer que la probabilite´ que Pierre reussisse´ la grille proposee´ est eg´ ale a` 0,68.
3) Sachant que Pierre n’a pas reussi´ la grille proposee,´ quelle est la probabilite´ que ce soit une grille de niveau moyen ?
4) Pierre a reussi´ la grille proposee.´ Sa petite sœur affirme :« Je pense que ta grille etait´ facile» . Dans quelle mesure a-t-elle
raison ? Justifier la reponse´ a` l’aide d’un calcul.
EXERCICE4: (6 points)
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un medicament´ en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimee´
en kilogrammes, est limitee´ a` 10 kilogrammes.
PARTIEI: etude´ des coutsˆ hebdomadaires de production.
1) Le coutˆ marginal de production est fonction de la quantite´ x de medicament´ produit.
Une etude´ a montre´ que, pour cette entreprise, l’ev´ olution du coutˆ marginal de production est modelis´ ee´ par la fonction
C definie´ pour les nombres reels´ x de l’intervalle [0 ; 10] par :m
16
C (x) =x + . (C est exprime´ en centaine d’euros,x en kilogrammes).m x
x + 1
´Etudier les variations de la fonctionC , puis dresser le tableau de variations de la fonctionC sur l’intervalle [0 ; 10].m m
2) En economie,´ le coutˆ marginal de production correspond a` la deri´ vee´ du coutˆ total de production. Ainsi le coutˆ total de
production hebdomadaire est modelis´ e´ par une primitive de la fonctionC .m
Determiner´ la fonctionC, primitive de la fonctionC sur l’intervalle [0 ; 10] qui modelise´ ce coutˆ total, pour une produc-m
tion de medicaments´ comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant queC(0) = 0.
PARTIEII: etude´ du ben´ efice´ hebdomadaire.
On admet que la laboratoire produit une quantite´ hebdomadaire d’au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le ben´ efice´ hebdomadaire (exprime´ en centaine d’euros) depend´ de la masse x (exprimee´ en kilogrammes) de medicament´
produit.
2Il peut etreˆ modelis´ e´ par la fonctionB definie´ sur l’intervalle [1 ; 10] par :B(x) = 9x 0; 5x 16 ln(x + 1) .Baccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Mathematiques´ (4/4)
!!
La representation´ graphique de la fonctionB dans le plan muni d’un repere` orthogonal O; i ; j est la courbe donnee´
ci-dessous.
1) a. On admet que la fonctionB est strictement croissante sur l’intervalle [1 ; 7] et strictement decroissante´ sur l’intervalle
[7 ; 10].
En deduire´ la quantite´ de medicaments´ que l’entreprise doit produire par semaine pour que son ben´ efice´ hebdomadaire
(en centaine d’euros) soit maximal.
b. Calculer ce ben´ efice´ hebdomadaire maximal en centaine d’euros (arrondir a` l’euro).
2) a. Utiliser la courbe pour determiner´ un encadrement d’amplitude 0,5 de la plus petite quantite´ x de medicaments´ que0
l’entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d’argent.
b. Utiliser la calculatrice pour determiner´ une valeur decimale´ dex approchee´ au centieme.`0
1
8
-2
7
0
3
6
9
2
3
1
-3
-1
-1
10
5
~
4
i
2
~
4
6
j
5Baccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Indications de correction
EXERCICE1: (4 points)QCM
ae
(a b)1) Reponse´ B : =e
be
´ ´ `2) Reponse C : lim h(x) = +1 (theoreme de comparaison sur les limites)
x!+1
3)
a. Reponse´ C : une solution (d’apres` le tableau de variations et le theor´ eme` des valeurs intermediaires´ sur ] 1 ; 1[)
0b. R´ A :y = 3x + 2 (f (x) < 0 sur ] 1 ; 1[, donc le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 doit
etreˆ neg´ atif)
EXERCICE2:OBLIGATOIRE (5 points)
PartieA:
´1) A la calculatrice, on trouve :y = 2111; 37x + 24981; 57
2) Six = 7 alorsy = 2111; 37 7 + 24981; 57 39761. Les recettes previsibles´ en 2007 seraient de 39761 millions d’euros.
PartieB:
10;13+0;077 ´1)f(7) =e 40946. Les recettes previsibles en 2007 seraient de 40946 millions d’euros.
2)
10;13+0;07na.f(n)> 45000,e > 45000, 10; 13 + 0; 07n> ln(45000)
ln(45000) 10; 13
, 0; 07n> ln(45000) 10; 13,n> .
0; 07
ln(45000) 10; 13
Or, 8; 35. Doncf(n)> 45000 pourn> 9.
0; 07
b. D’apres` la question prec´ edente,´ les recettes depasseraient´ 45000 millions d’euros a` partir de 2009.
´ ´EXERCICE2:SPECIALITE (5 points)
Partie1:
1) Graphiquement, on trouvex = 6 etz = 4.A A
3 6y 24A
On a donc : 4 = , 24 + 4y = 18y , 24 = 14y ,y = 1; 7.A A A A
6 +y 14A
2) Avec 6 heures de travail de main d’œuvre et 1,7 heures d’utilisation de machines, la production est de 4 tonnes.
Partie2:
1)
2(8x 36) (x 12) (4x 36x) 10a.g (x) = 2(x 12)
2 2 28x 96x 36x + 432 4x + 36x 4x 96x + 432
= = .
2 2(x 12) (x 2)
2 2Or, 4(x 6)(x 18) = 4(x 24x + 108) = 4x 96x + 432.
4(x 6)(x 18)0On a donc bien,g (x) = .
2(x 12)
b.
2
+
12
x
g
0
x
+
0
x
6
12)
10
+
x
g
6
(
0
)
+
0
x
(
18
)
(
20
xBaccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Indications de correction
2)
a. D’apres` la question prec´ edente,´ il fautx = 6 et comme 4x +y = 32, on en deduite´ quey = 36 4 6 = 12. La duree´
journaliere` de travail doit etreˆ de 6 heures et celle d’utilisation des machines doit etreˆ de 12 heures.
b. D’apres` le tableau de variations, la quantite´ journaliere` maximale est de 12 tonnes.
EXERCICE3: (5 points)
1)
2)
a.p (D\R) = 0; 3 0; 4 = 0; 12
b.p F\R = 0; 4 0; 05 = 0; 02
c.p(R) = 0; 4 0; 95 + 0; 3 0; 6 + 0; 3 0; 4 = 0; 68
p R\M 0; 3 0; 4
3)p (M) = = = 0; 375
R 1 0; 68p(R)
p (R\F ) 0; 4 0; 95
3)p (F ) = = 0; 56.
R p(R) 0; 68
Sa petite sœur a 56 % de chances d’avoir raison.
EXERCICE4: (6 points)
Partie1:
2 216 (x + 1) 16 x + 2x 1501)C (x) = 1 = = .
2 2 2(x + 1) (x + 1) (x + 1)
2 2Signe dex + 2x 15 : = 2 4(1)( 15) = 64> 0
2 8 2 + 8
x = = 5 ;x = = 31 1
2 2
0
;
15
0
0
F
+
4
;
4b
2
D
x
0
mb
(b
R
;b
3
10b
2
R
+
0
1)
;
C
4
xb
C
R
;
0b
;
0b
95
6
x
M
3
0
x
;
+
3
xb
0
R
(
0
+b
2
;
+
;
0
6
(
R
)
x
+
16
m
126
0
)
05
7
0
11
RBaccalaureat´ France metropolitaine´ Juin 2007 - Serie´ ES Indications de correction
2x
2) Les primitives deC sur [0 ; 10] sont definies´ parC(x) = + 16 ln(x + 1) +k (k constante).m
2
On doit avoir :C(0) = 0, 0 + 16 ln 1 +k = 0,k = 0.
2x
La primtive cherchee´ est donc definie´ par :C(x) = + 16 ln(x + 1).
2
Partie2:
1)
a. D’apres` les hypotheses´ donnees,´ B admet un maximum local sur [1 ; 10] pourx = 7. Le ben´ efice´ sera donc maximal pour
7 kg de medicaments´ produits.
2b.B(7) = 9 7 0; 5 7 16 ln 8 5; 23. Le ben´ efice´ maximal sera donc d’environ 5,23 centaines d’euros.
2)
a. Graphiquement, on trouve queB(x) devient positif a` partir dex avec 2; 5<x < 3.0 0
b. Par« balayage»a` la calculatrice , on trouve que 2; 84<x < 2; 85.0
Une valeur approchee´ dex est donc 2; 85.0

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