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´ BACCALAUREAT
TECHNOLOGIQUE
Session 2011
SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES
´ MATHEMATIQUES
Ge´nieme´canique
OptionA:ProductionMe´canique Option F : Microtechniques
G´eniee´nerge´tique
Ge´niecivil
Dur´eedele´preuve:4heures
Coefficient : 4
Lutilisationdunecalculatriceestautorise´e.
Lecandidatdoittraiterlesdeuxexercicesetleprobl`eme. Lecandidatestinvit´ea`fairegurersurlacopietoutetracederecherche, meˆmeincomple`teounonfructueuse,quilaurade´veloppe´e. Laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. D`esquelesujetvousestremis,assurezvousquilestcompletetquetouteslespagessontimprime´es. Leformulaireocieldemath´ematiquesainsiquunefeuilledepapiermillime´tr´e sontdistribu´esenmeˆmetempsquelesujet. Cesujetcomporte6pagesnume´rote´esde1`a6dontuneannexe`arendreaveclacopie.
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EXERCICE 1 (5 points) Aulibreservicedunrestaurantdentreprise,unrepasestcompos´eobligatoirementduneentre´e,dun platetdundessert.Pourchaquerepas,unemploye´choisitauhasard: uneentre´eparmitrois:Crudite´s(C),Salade(S)ouQuiche(Q), – unplat parmi deux :Poisson(P) ou Viande(V) – undessert parmi trois :Glace(G), Fruits(F) ou Laitage (L).
1.Surlannexefournie(`arendreaveclacopie),comple´terlarbredesrepas. 2.Ende´duirelenombrederepasquepeutcomposerunemploy´e. 3. Onappelle : Ale´v´enement:«laeptlentionecs´nossiopedtmoopapcseler», Bl´ev´enement:«tsuideautdenfresresstlere´scenoitapcsmoop». On noteporabl)pa´tdeibilev´eeAl(´ntA.neme Calculerp(A),p(B),p(AiBu)eredd´enetp(AB). 4.Letableausuivantdonneenkcallebilancaloriquedesmetspropose´s:
Entre´esCrudite´s(C):300Saladecompos´ee(S):300Quiche(Q):400 Plats Viande(V) : 900Poisson (P) : 600 Desserts Glace(G) : 300Laitage (L) : 100Fruits (F) : 100 Compl´eter,surlannexe,lebilancaloriquedechaquerepas. 5. OnappelleRq.uerepasassocieseo´ntbailiaonecraulqo`riicqauaehvalaabrialle (a)Donnerlensembledesvaleursquepeutprendrelavariableal´eatoireR. ´ (b)Etablirlaloideprobabilit´edelavariableale´atoireR. (c) Montrerque le bilan calorique moyen d’un repas est 1 250 kcal.
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EXERCICE 2 (5 points)
Cetexerciceestunquestionnaire`achoixmultiples(QCM).Lesquestionssontind´ependanteslesunes desautres.Pourchacunedesquestionssuivantes,uneseuledesquatrere´ponsespropose´esestexacte. Uneseulere´ponseparquestionestaccept´eeetaucunejusticationnestdemand´ee. Unebonner´eponserapporteunpoint. Unemauvaiser´eponseoulabsenceder´eponsenapporteninenle`vedepoint. Indiquersurlacopielenum´erodelaquestionetlar´eponsechoisiecorrespondante.
2x 1. Soitffonctiond´eniepaleltruontuorbmoe´rexparf(x) =3e .On noteCfsa courbe repr´esentativedansunrepe`redonn´e. Une´equationdelatangente`alacourbeCfau point de la courbe d’abscisse 0 est : A.y=3x+3 B.y=6x+6 C.y=3x+6 D.y=6x+3 Z a 2x 2.Pourtoutnombrer´eela,onrbenemoinlt´deI=e dx. Lavaleur deIest: 0 2a A.I= 0,5e0,5 2a0,5 B.I= 0,5e 2a C.I=0,5e 2a D.I=0,50,5e 1 3.Soitl´equationdie´rentielley+y=0o`uyelleer´leirbaalaveledvibad´ertionfsiognnceudn´eex. 2 Trouverparmicesfonctionsd´erivablessurlensembledesnombresr´eelsR, une solution de le´quationpropose´e. 0,5x A.f(x) =40e B.g(x) =10 cos(0,5x) +12 sin(0,5x) 0,5x C.h(x) =120e D.i(x) =0,5x 3 3 4.Une´ecrituresousformeexponentielledunombrecomplexez=est :+ i 2 2 p i A.z=3e 3 2p i 3 B.z=3e 5p i C.z=3e 6 2p i 3 D.z=3e 5.Leplancomplexeestmunidunrep`ereorthonorm´e.Onconside`relepointWd’affixe3i et le cercleCde centreWet de rayon2 2.verpTroulesparmitnioorps´sopnuseinpouctdclereC. A. M d’affixe13i B. N d’affixe2+ i3 C. P d’affixe22i3 D. Q d’affixe0
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` PROBLEME (10 points)
Objectif :le,dxemp´etheuxmedacdoseedclluepecblrome`etdesmoceerapus,renureLubdt volumes. Onconsid`erelafonctionfr´releetuotbmonee´idnruopxde l’intervalle [1; 10] parf(x) =xlnx+2x. 1.Montrerquelafonctiond´erive´efde la fonctionftnomrtouepouenits´deerbrel´exde l’intervalle [1; 10] par :f(x)= lnx+1. ´ 2. (a)Etudier le signe def(xer´eombrelavsednoinudsruelctonnf)exde l’intervalle [1; 10]. (b)Ende´duireletableaudevariationdelafonctionfsur l’intervalle [1; 10]. 3. OnappelleCsentatiolarepr´eedeuofalargnqihptinconforth`erem´edonornpualsuanepnrd (unite´s:1cmenabscisses,1cmenordonne´es). Repr´esentergraphiquementCerp`e.adsnecer 4.Onconside`rele´quation(E):f(x) =0sur l’intervalle [1; 10]. (a)De´terminerlenombredesolutionsdele´quation(E). 2 (b)Pourchacunedessolutionstrouv´ees,donnerunevaleurapproche´e`a10e`rpne,s explicitantvotrem´ethode. 5.Onconside`relafonctionFne´opeiotruontumbrer´eel,dxnena`tlaitnreavll[eappart1; 10], par   5 1 2 F(x)=xlnx. 4 2 (a) Montrerque la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur l’intervalle [1; 10]. (b)Surlarepre´sentationgraphiquer´ealise´epr´ece´demment,hachurerlaportionSdu plan comprise entreCsnioatqu´edesitroeldsseteicssassbxede,lax=1etx=7. ` (c)Alaidedelarepre´sentationgraphique,´evaluer(enunit´esdaire)lairedelaportionS. Justierlam´ethodeutilis´ee. (d)Calculerlavaleurexactedecetteaireenunite´sdaire. 6.Onveutd´eterminerlevolumeVseur´ehachrtieudosarepr´ndgeendeliapalednoitatoral autour de l’axe des abscisses. (a)Me´thodeparcalculformel: ` A l’aide d’un logiciel de calcul formel on obtient :   2 343(ln 7)4802 ln 71900 Vs=pest´vo+demeluinu. 3 93 2 End´eduireunevaleurapproche´edeVsa`10s.`epr
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