SUJET MATHEMATIQUE Enoncé et corrigé Exercice 3

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Niveau: Secondaire, Lycée
Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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EXERCICE 3
PARTIE A : Restitution organisée de connaissances ! Soientzetzdeux nombres complexes non nuls. ! "! " z z ! ! arg+arg(z) =arg×z=arg(z) [2π], ! ! z z ! " z ! et donc arg=arg(z)arg(z) [2π]. ! z PARTIE B 2 2 1)|zA|=1+ (1) =2puis $ % ! ! "! "" 1 1π π iπ/4 zA=1i=2i=2cos+isin=2e. 4 4 2 2 π |zA|=2et arg(zA) =[2π]. 4
2) a)
zB2+3+i(2+3+i)(1+i)2+3+ (2+3)i+i1 1+3 3+3 = == =+i. 2 2 zA1i(1i)(1+i)1+ (1)2 2
b)Donc, & ' ! "! "! !" !"" !" zB1 3π π iπ/3 =1+3+i=1+3cos+isin=1+3 e. zA2 23 3 c)Puis, d’après la question 1), ! "! "! "! " π π iπ/3 iπ/3iπ/4 i()iπ/12 zB=1+z3 eA=1+3 e×2e=2+6 e=2+6 e. 3 4 ! " iπ/12 zB=2+6 e. ! "! " iπ/6iπ/6 iπ/12iπ/12 3) a)zB1=e zB=e 2+6 e=2+6 e. !! "" iπ/12 b)zB1=2+6 e=zBet donc ( ) B1est le symétrique deBpar rapport à l’axeO;u.
2
1
B
321 12 3 4 1 A B1
( ) 4) a)On notesla symétrie par rapport à l’axeO;u ! D’après la question 3)b), le pointBappartient à(E). D’autre part,O1=r(O) =OpuisO=s(O1) =s(O) =O. Donc les pointsOetBappartiennent à l’ensemble(E).
5
π iπ/6iπ/6 iθi(θ) b)z1=e z=e×ρe=ρepuis 6 !π"π !i(θ)i(θ) 6 6 z=z1=ρe=ρe.
iθ SoitMun point du plan distinct deO, d’axez=ρeavecρ]0,+[etθR.
π π !i(θ)iθi(θ)iθ M(E)z=zρe=ρee=e(carρ#=0) 6 6 π il existe un entier relatifktel queθ=θ+2kπ 6 π il existe un entier relatifktel queθ= +kπ 12 c)SoitMun point du plan. On notezson axe.
# $# #$ #$ $ π−−M(E)M=OouM#=Oet arg(z) =[π]M=OouM#=Oetu , OM=u , OB[π] 12 # #$ $ −−M=OouM#=OetOB, OM=0[π] O, BetMalignésM(OB).
L’ensemble(E)est la droite(OB).
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