SUJET MATHEMATIQUE Enoncé et corrigé Exercice 4

Publié par

Niveau: Secondaire, Lycée

  • relation de chasles

  • entier naturel


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 103
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
EXERCICE 4 Partie A 1)La fonctionfest dérivable sur[0,+[en tant que somme de fonctions dérivables sur[0,+[et pour tout réelxpositif, !xx f(x) =1+ (1)e=1e. xx! Soitx > 0. Alors,x < 0puis1e <et donc1e >0. Ainsi, la fonctionfest strictement positive sur]0,+[et donc la fonctionfest strictement croissante sur[0,+[. x X 2)lime=lime=0et limx= +. Donc, x+Xx+limf(x) = +. x+
x 3)lim(f(x)x) =lime=0et donc la droite d’équationy=xest asymptote à la courbe(C)en+. x+x+Partie B
1)La fonctiongest dérivable sur[0,+[et pourx!0, 1 x ! g(x) =1=. 1+x 1+x ! La fonctiongest positive sur[0,+[est donc la fonctiongest croissante sur[0,+[. Puisqueg(0) =0ln(1) =0, on en déduit que pourx!0,g(x)!0ou encore ln(1+x)"x.
Pour tout réelx!0, ln(1+x)"x.
! " 1 11 2)Soitnun entier naturel non nul. On applique l’inégalité précédente au réel positifx=. On obtient ln1+" n nn ! " n+1 11 1 ou encore ln"ou encore ln(n+1)ln(n)"ou enfin ln(n+1)"ln(n) +. n nn n
1 Pour tout entier naturel non nuln, ln(n+1)"ln(n) +. n
3)Soitnun entier naturel non nul. 1 1 ln(n) f(ln(n)) =ln(n) +e=ln(n=) +ln(n) +. ln(n) e n 4)Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nuln, ln(n)"un. Pourn=1,u1=0et ln(1) =0. Donc ln(1)"u1. Soitn!1. Supposons que ln(n)"un. Puisque ln(n)!0et quefest croissante sur[0,+[, on en déduit que 1 f(ln(n))"f(un)ou encore, d’après la question précédente, ln(n) +"un+1. n 1 Mais d’après la question 2), ln(n+1)"ln(n) +. On en déduit que ln(n+1)"un+1. n On a montré par récurrence que
5)Puisque limln(n) = +, n+
Pour tout entier naturel non nuln, ln(n)"un.
limun= +. n+
6) a)Soitkun entier supérieur ou égal à2. Donck1!1. 1 11 La fonctionx!est continue et décroissante sur]0,+[et donc sur[k1, k]. Pour tout réelxde[k1, k], on a!. x xk
7
Par croissance de l’intégrale, on en déduit que ! ! k k 1 11 1 dx!dx= (k(k1)) =. x kk k k1 k1 ! k 1 1 Pour tout entier naturelk!2,"dx. k x k1
b)Soitn!2. D’après la relation deChasleset l’inégalité admise par l’énoncé,
1 11 un"1+ + +. . .+ 2 3n1 ! !! 2 3n1 1 11 "1+dx+dx+. . .+dx x xx 1 2n2 ! n1 1n1 =1+dx=1+ [ln(x)] =1+ln(n1)ln(1) =1+ln(n1). 1 x 1
Pour tout entier natureln!2,un"1+ln(n1).
7)Soitn!2. Donc ln(n)> 0. En divisant les diérents membres de l’encadrement précédent par ln(n), on obtient
un1ln(n1) 1" "+ (). ln(n)ln(n)ln(n) ! " 1 ln(n) +ln1! " ln(n1)n 11 Ensuite,= =1+ln1. Donc, pour tout entier natureln!2, ln(n)ln(n)ln(n)n ! " un11 1 1" "1+ +ln1. ln(n)ln(n)ln(n)n ! " 1 11 lim ln(n) = +limet donc=0lim. Ensuite,=0lim lnet donc1=ln(1) =0. Finalement, ln(n)n n n+n+n+n+! " 1 11 lim1+ +ln1=1. D’après le théorème des gendarmes et l’encadrement(), on peut armer que ln(n)ln(n)n n+
un lim=1. ln(n) n+
8
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.