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Visualisez les TP et les cours 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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Source : sarmate.free.fr
Nombre de pages : 159
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Exercice1
PartieA
Soit f lafonctiondéfinie,surR,par:
x10e
f(x)= .
xe +4
Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanmunid’unrepèreorthonormal? ?→− →−
O, ı ,  (unitégraphique:1cm).
1. a. Déterminerlalimitede f en−∞.
40
Enécrivant f(x)=10− ,déterminerlalimitede f en+∞.
xe +4
Endéduireleséquationsdesasymptotesà(C).
′ ′b. Calculer f (x),où f estladérivéede f.
c. Étudierlesvariationsde f.
d. Dressersontableaudevariations.
2. Détermineruneéquationdelatangente(D),à(C)aupointd’abscisseln4.
3. Tracersurunmêmegraphique,lacourbe(C),sesasymptotesetladroite(D).
PartieB
UneentreprisefabriqueuncertainproduitP.Onappelle x lenombredetonnes
dePfabriquées.
OnnoteC(x)leurcoûttotaldefabrication,expriméenmilliersd’euro.
′Lafonctioncoûtmarginal,C ,estladérivéedelafonctionC.
′Pourtoutx∈[0;+∞[,ona:C (x)= f(x),où f estlafonctionétudiéedanslapartie
A.Deplus,onsupposequ’iln’yapasdechargesfixes,doncqueC(0)=0.
1. a. Montrerquelecoûttotalestdonnépar:
Zx
C(x)= f(t)dt.
0
b. ExprimerC(x)enfonctiondex.
c. Quelestlecoûttotal de5tonnes
deceproduitP?Onendonneralavaleurexacte,puislavaleurarrondieàladizained’europrès.
2. On appelle C (x) le coût moyen défini, pour tout x strictement positif, par :M
C(x)
C (x)= .M
x
a. ExprimerC (x)enfonctiondex.M
−x10ln 1+4e 10ln5( )
b. Vérifierque,pourtoutx>0, C (x)=10+ − .M
x x
c. EndéduirelalimitedeC (x)en+∞.M
Exercice2
Surlegraphiqueci-dessous,onatracé:
• lacourbeC représentant unefonction f définieetdérivablesurl’intervallef
]0;−∞[;
• deuxtangentes àcette courbe: celleaupoint A d’abscisse1 etcelle aupoint
Bd’abscissee.
LacourbeC passeparlespointsA(1; −1),B(e;0)etC(4;
f(4)).f
LatangenteenAestparallèleàl’axedesabscisses.
LatangenteenBpasseparlepointEtelqueBD=DE,oùDestlepointdecoordonnées(4;0)etEapourabscisse4.
12
C
E
1
e D0
0 1 2 3 4 5
-1
A
-2
Lenombreeestlabasedeslogarithmesnépériens.
1. Parlecturegraphique,répondreauxquestionssuivantes:
′ ′a. Sansjustifier,donner f (1)et f (e).
b. Sans justifier, donner les solutions dans ]0; 4[ de l’inéquation f(x)<0,
′puiscellesde: f (x)<0.
c. SoitA, en unités d’aire, une estimation de l’aire de la région colorée,
région comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droitesf
d’équations x=1etx
=e.
Parmilestroisnombressuivants:2,9;1,1;0,6lequelestlameilleurevaleurapprochéedeA ?Justifierlaréponse.
2. Onsupposequelafonction f précédenteestdéfiniesur]0 ; +∞[par:
f(x)=xln(x)−x.
′ ′a. Calculer f (x).Endéduirelesvariationsde f etlesvaleursde f (1)etde
′f (e);onnedéterminerapaslalimiteen+∞.
b. MontrerquelafonctionF définiesur]0;4]par:
? ?2x 3
F(x)= lnx−
2 2
estuneprimitivede f sur]0;4].
Exercice3
LapartieCestindépendantedespartiesAetB.
PartieA
Soith lafonctionpolynômeduseconddegrédéfiniesur[0;1]par
2h(x)=(e−1)x −2(e−1)x+1,
laconstanteedésignantlabasedeslogarithmesnépériens(e≈2,718).
1. Montrerqueh eststrictementdécroissantesur[0;1].
2. Justifier le fait que h s’annule une fois et une seule entre 0 et 1. On noteα le
nombreréelquivérifieh(α)=0.
23. En utilisant les résultats des questions précédentes, préciser le signe de h(x)
sur[0;1].
PartieB
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;1]par
? ?2f(x)=ln (e−1)x +1
etC sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal(unitégraphique10cm).f
1. Calculer f(0)et f(1).
2. Étudierlesvariationsde f sur[0;1].
3. OnveutpréciserlapositiondeC parrapportàladroiteDd’équation y=x.f
Pour cela, on étudie les variations dela fonction définie sur [0; 1] par d(x)=
x−f(x).
h(x)′a. Montrerqued (x)=
oùhestlafonctionétudiéedanslapar2(e−1)x +1
tieA.
b. Étudierlesensdevariationded sur[0;1].
c. Calculerd(0)etd(1).
d. Déduiredecequiprécèdelesigneded(x)sur[0;1].
PréciserlapositiondeC parrapportàladroiteD.f
PartieC
Sur le graphique ci-dessous sont représentées la droited’équation y=x, la courbe
C représentative de la fonction f étudiée dans la partieB et la courbeC repré-f g
sentatived’unenouvellefonction g.
1
1
0,8
0,6
Cf
C0,4 g
0,2
0
0 1O 0,2 0,4 0,6 0,8 1
3Les courbes représentant f et g illustrent ici respectivement la répartition des
salairesdansdeuxentreprisesAetB.
En abscisses, x représente le pourcentage cumulé (sous forme décimale) des
personnes ayant les salaires les plus faibles par rapport à l’effectif total de chaque
entreprise; par exemple si l’on veut considérer les 60% les moins bien payés de
l’ensembledessalariésd’uneentreprise,onchoisirax=0,6.
Enordonnées, f(x)(oug(x))représentelepourcentage(sousformedécimale)dela
masse salariale totale affectée aux t% les moins bien payés des salariés de chaque
t
entreprise,avec =x.
100
LescourbesC etC sontdescourbesdeLorenz.f g
1. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin), pour
chaque entreprise, une valeur approchée du pourcentage de la masse
salarialeaffectéeaux60%dessalariéslesmoinsbienpayés.
2. Déterminer graphiquement (avec la précision permise par le dessin),
pour
chaqueentreprise,unevaleurapprochéedupourcentagedessalariéslesmoins
bienpayésdontlamassedessalairesreprésente60%delamassesalarialetotale.
3. Dans quelle entreprise la distribution des salaires est-elle la plus
irrégulièrementrépartie?
Exercice4
Onpeuttraiterlaquestion 4sansavoirtraitélesquestionsprécédentes.
Pourunachatimmobilier,lorsqu’unepersonneemprunteunesommede50000
euros, remboursable par n mensualités chacune égale à A euros, pour un intérêt
mensuelde0,4%,lemontantdecettemensualité A estdonnépar:
200
A=
−n1−(1,004)
(onnedemandepasd’établircetterelation).
1. Calculer lamensualité A
lorsquecettepersonneemprunte50000eurosremboursablespar120mensualitéspourunintérêtmensuelde0,4%.Ondonnera
unevaleurarrondieaucentimed’euro.
Calculeralorslemontanttotaldesintérêtspourceprêt.
2. Mêmesquestionsavecunempruntde50000eurossur8ansà0,4%mensuel.
3. Afin de payer le moins d’intérêts possible, l’emprunteur doit augmenter le
montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais
ilnepeutsupporter aumaximum quedesremboursements de950 eurospar
mois.
a. Résoudredans[0;+∞[l’inéquation
200
6950.
−x1−(1,004)
b. En déduire le nombre entier n minimum demensualités pour lequel le
montantdelamensualité A estinférieurouégalà950euros.
Que vaut alors A arrondi au centime d’euro? Calculer alors le montant
totaldesintérêts.
4. Voicidesextraits dutableaud’amortissement d’unprêtde50000
eurosremboursablepar60mensualitéspourunintérêtde0,4%.
Calculer,endétaillant,lesnombresa, b, c, d ete quifigurentdansletableau.
Ondonneradesvaleursarrondiesaucentimed’euro.
4oN dela Montantdela Partdesintérêtseneuros Capitalamorti Capitalrestant
mensualité mensualitéeneuros pourcettemensualité eneuros àremboursereneuros
1 938,99 200,00 738,99 49261,01
2 938,99 197,04 a b
3 938,99 c d e
4 938,99 191,10 747,89 47026,26
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
59 938,99 7,47 931,52 935,25
60 938,99 3,74 935,25 0
Exercice5
Letableauci-dessousdonneletauxd’équipementenmagnétoscopedescouples
avecenfant(s)d’unecertainerégionfrançaisede1980à2000touslesquatreans.
a −1980i
Danscetableau,x représentel’expression: .i
4
Annéea 1980 1984 1988 1992 1996 2000i
Rangx del’année 0 1 2 3 4 5i
Taux y en% 5 8 24 50 77 88i
Parexemple, 5%descouples avecenfant(s) decetterégionpossède
unmagnétoscopeen1980.
PartieA
Ajustementaffine
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm par rang
d’annéesurl’axedesabscisseset1cmpour10%surl’axedesordonnées).
1. Représenterlenuagedepointscorrespondantàlasériestatistique(x ; y ).i i
2. CalculerlescoordonnéesdupointmoyenGdecettesériestatistiqueetplacer
celui-cisurlegraphiqueprécédent.
3. Dans toute cette question, aucun détail des calculs n’est demandé Les
résul−2tatspourrontêtreobtenusàl’aidedelacalculatrice;ilsserontarrondisà10 .
Donner uneéquation deladroited’ajustement affinede y en x,obtenue par
laméthodedesmoindrescarrés.
Représentercettedroitesurlegraphiqueprécédent.
Onsupposequelemodèleobtenuàlaquestion3restevalablepourlesannées
suivantes.
Déterminer,parlecalcul,enquelleannéecetauxdépassera95%.
PartieB
Ajustementlogistique
Soit f lafonctiondéfiniesur[0; +∞[par
100
f(x)= .
bx1+ke
oùk etb sontdesconstantesàdéterminer.
1. Déterminer par le calcul les valeurs exactes de k et b pour que la courbe
représentativede f passeparlespointsM(0;5)etN(3;50).
Donnerunevaleurdeb arrondieàl’unité.
5100
2. Danstoutecettequestion,onpose: f(x)= etonadmettraque f(x)
−x1+19e
représenteletauxd’équipementenmagnétoscopedescouplesavecenfant(s)
decetterégionpourl’annéederangx.
a. Montrerque ladroited’équation y=100 est asymptote horizontaleàla
courbereprésentative de f auvoisinage de+∞.Déterminer laposition
delacourbereprésentativede f parrapportàcetteasymptote.
′ ′ −xb. Calculerladérivée f de f etvérifierque f (x)estdusignedee .
Endéduirelesvariationsde f sur[0;
+∞[etdresserletableaudevariationsde f.
c. Tracerlacourbereprésentativede f surlegraphiquedelapartieA.
d. Résoudre l’inéquation : f(x)> 95. Interpréter ce résultat en terme de
tauxd’équipement.
x100e
e. Montrerquepourtoutx de[0; +∞[,ona f(x) = .
x19+e
f. Endéduireuneprimitivede f sur[0;+∞[.
g. On assimile le taux moyen d’équipement prévisible avec ce modèle
logistiqueentrelesannées2000et2008àlavaleurmoyennedelafonction
f sur[5;7].
Calculercetauxmoyend’équipementprévisibleentrelesannées2000et
−22008.Onendonneraunevaleurarrondieà10 .
Exercice6
PartieA
Soit f lafonctiondéfinie,surR,par:
x10e
f(x)= .
xe +4
Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanmunid’unrepèreorthonormal? ?→− →−
O, ı ,  (unitégraphique:1cm).
1. a. Déterminerlalimitede f en−∞.
40
Enécrivant f(x)=10− ,déterminerlalimitede f en+∞.
xe +4
Endéduireleséquationsdesasymptotesà(C).
′ ′b. Calculer f (x),où f estladérivéede f.
c. Étudierlesvariationsde f.
d. Dressersontableaudevariations.
2. Détermineruneéquationdelatangente(D),à(C)aupointd’abscisseln4.
3. Tracersurunmêmegraphique,lacourbe(C),sesasymptotesetladroite(D).
PartieB
UneentreprisefabriqueuncertainproduitP.Onappelle x lenombredetonnes
dePfabriquées.
OnnoteC(x)leurcoûttotaldefabrication,expriméenmilliersd’euro.
′Lafonctioncoûtmarginal,C ,estladérivéedelafonctionC.
′Pourtoutx∈[0;+∞[,ona:C (x)= f(x),où f estlafonctionétudiéedanslapartie
A.Deplus,onsupposequ’iln’yapasdechargesfixes,doncqueC(0)=0.
1. a. Montrerquelecoûttotalestdonnépar:
Zx
C(x)= f(t)dt.
0
6b. ExprimerC(x)enfonctiondex.
c. Quelestlecoûttotal de5tonnes
deceproduitP?Onendonneralavaleurexacte,puislavaleurarrondieàladizained’europrès.
2. On appelle C (x) le coût moyen défini, pour tout x strictement positif, par :M
C(x)
C (x)= .M
x
a. ExprimerC (x)enfonctiondex.M
−x10ln(1+4e ) 10ln5
b. Vérifierque,pourtoutx>0, C (x)=10+ − .M
x x
c. EndéduirelalimitedeC (x)en+∞.M
Exercice7
1. Soitg lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par
g(x)=ln(x+1)−ln(x).
? ?
1
Montrerque,pourtoutx>0 : g(x)=ln 1+ .
x
Étudierlesignedeg(x).
Déterminerleslimitesdeg en0eten+∞.
DémontrerquelafonctionG,définiesur]0;+∞[par
G(x)=(x+1)ln(x+1)−xln(x),
estuneprimitivedeg surl’intervalle]0; +∞[.
2. Soit f lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par
f(x)=x+2+ln(x+1)−ln(x),
? ?→− →−
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal O, ı ,  du
plan(unitégraphique:1cm).Onnedemandepasdetracer(C).
Enutilisantlesrésultatsdu1.,justifierlesaffirmationssuivantes:
a. l’axedesordonnéesestasymptoteàlacourbe(C);
b. ladroite(D)d’équation y=x+2estasymptoteà(C)en+∞;
c. lacourbe(C)estau-dessusdeladroite(D).
Z3? ?
3. Calculer f(x)−(x+2) dx.Quelleinterprétationgéométriquepeut-onfaire
1
decetteintégrale?
Exercice8
Unnégociantenvinsafaitmeneruneétudevisantàdétermineràquelprixmaximal
ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés
dansletableausuivant:
Prixmaximalx eneurosdelabouteille 5 10 15 20 25 30i
Pourcentage y d’acheteurspotentiels 84 58 30 19 7 4i
Onvoitdanscetableau,parexemple,que58%desclientsdecenégociantsontprêts
àpayer10eurosunebouteilledevin.
PartieA(Ajustementaffine)
71. a. Représenterlenuagedepointscorrespondantàlasériestatistique(x ; y )i i
dans un repèreorthogonaldu plan (unités : 1 cmpour 2 euros sur l’axe
desabscisses,1cmpour5%surl’axedesordonnées).
b. DéterminerlescoordonnéesdupointmoyenGdunuageetleplacersur
legraphique.
−22. a. Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie à 10 près du
coefficientdecorrélationlinéairedelasériestatistique (x ;y ).Unajus-i i
tementaffineest-iljudicieux?
b. Donneruneéquationdeladroitederégressiondey
enx,parlaméthode
desmoindrescarrés,lescoefficientsétantcalculésàl’aidedelacalcula−2triceetarrondisà10 près.
Représenterladroitesurlafiguredu1.,enprécisantlescoordonnéesde
deuxpointsdecettedroite.
3. Chez cenégociant,leprixmoyend’unebouteille estde13euros.Enutilisant
l’ajustementprécédent,calculerlepourcentagedesclientsprêtsàacheterune
bouteilleàceprix.Onarrondiralerésultatàl’entierleplusproche.
PartieB(Autreajustement)
On envisage un ajustement du nuage de points de la partieA par la courbe
représentatived’unefonction.Soit f lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par
? ?2 −0,2xf(x)= x +20x+100 e
et(C)lacourbereprésentativede f danslerepèredelapartieA.
? ?2 −0,2x
1. Onadmetque lim x +20x+100 e =0.Quelleinterprétationgraphique
x→+∞
peut-onfairedecerésultat?
′2. a. f étantladérivéedelafonction f ,montrerquepourtout x∈[0;+∞[:
? ?
′ 2 −0,2xf (x)= −0,2x −2x e .
′b. Déterminerlesignede f (x)pourx∈[0;+∞[.
c. Endéduirelesvariationsdelafonction f sur[0;+∞[.
3. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les
va−1leursarrondiesà10 près)
x 0 5 10 15 20 25 30
f(x) 82,8
b. Tracerlacourbe(C)danslerepèredelapartieA.
4. a. Démontrer que l’équation f(x)= 50 admet une unique solution α
appartenantàl’intervalle[10;15].
−1b. Donner,enjustifiantlaréponse,unencadrementdeαd’amplitude10 .
c. Quereprésenteαpourlenégociant,sionadmetquelafonction f
représenteunbonajustementdunuagedepoints?
Exercice9
Ce problème a pour objectif d’étudier le prix d’équilibre entre l’offre et la
demanded’unobjetdonné,dansunesituationdeconcurrenceparfaite.
8PartieA:Étudedelademande
On suppose que le prix unitaire qu’acceptent de payer les consommateurs en
fonction de la quantité x disponible sur le marché est modélisé par la fonction g
définiesur[0;+∞[par
50
g(x)= .
2x +x+1
Leprixunitaireg(x)estexpriméeneurosetlaquantité x enmillionsd’objets.
1. Calculer lim g(x).Interprétergraphiquementcerésultat.
x→+∞
′2. a. Calculerg (x).
Étudierlesvariationsdeg sur[0;+∞[etdonnerletableaudevariations.
3. SoitC lacourbereprésentativedeg dansunrepèreorthogonalduplan.Dé-g
terminer une équation de la tangente T à la courbeC au point d’abscisseg
nulle.
4. Tracer T etC (unités graphiques : 2 cm pour une unité en abscisses, 2 cmg
pour10unitésenordonnées).
PartieB:Étudedel’offre
Les producteurs acceptent de fabriquer une quantité x exprimée en millions
d’objets si le prix unitaire de l’objet atteint une valeur minimale. On suppose que
ceprixminimal(quidépenddelaquantité x)estmodéliséparlafonction f définie
sur[0; +∞[par
0,26xf(x)=3e .
Leprixunitaire f(x)estexpriméeneuros.
1. Calculer lim f(x).
x→+∞
2. Étudierlesvariationsde f sur[0; +∞[.
3. TracerC danslemêmerepèrequeC .gf
PartieC:Rechercheduprixd’équilibre
Dansunmarchéàconcurrenceparfaite,la«loidel’offreetdelademande»tend
à dégager un prix d’équilibre p pour lequel l’offre des producteurs est égale à la0
demandedesconsommateurs.Onappelle q laquantitéassociéeàp .0 0
1. Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs
d’unepartduprixd’équilibrep etd’autrepartdelaquantitéassociée q .0 0
2. Onposeh(x)= f(x)−g(x)pourtoutx de[0;+∞[.
a. DéduiredespartiesAetBlesensdevariationsdesur[0; +∞[.
b. Montrerquel’équationh(x)=0admetunesolutionuniqueq sur[2;3].0
−2c. Donneràl’aidedelacalculatriceunevaleurarrondieà10 deq .0
3. Calculer une valeur approchée duprix d’équilibre p . Ondonnera le résultat0
−2arrondià10 près.
PartieD:Surplusdesproducteurs
9
Onappellesurplusdesproducteurslegainsupplémentairequeréalisentlesproducteursenvendantauprixp .Ilestobtenuàpartirdel’expression:0
Zq0
S =p q − f(x)dx.p 0 0
0
Ilestexpriméenmillionsd’euros.
1. Donner une interprétation graphique de S , (on interprétera p q commep 0 0
l’aired’unrectangle).
2. a. CalculerS enfonctiondep etq .p 0 0
−1b. Déterminerunevaleurarrondieà10 deS expriméeenmillionsd’eu-p
ros.
Exercice10
PartieA
Onconsidèrelafonction f définiesur]−1; +∞[par:
f(x)=ax+b+3ln(x+1)
oùa etb désignentdeuxréelsquel’ondétermineradanslaquestion2).Onappelle
C sa courbe représentative. La figure de l’ annexe représente une partie de cettef
courbedonnéeparunecalculatricegraphique.
C vérifielesconditionssuivantes :ellepasseparlepointA(0;5)etelleadmetunef
1
tangentehorizontaleaupointd’abscisse .
2
1. Enutilisantlesdonnéesdel’énoncé,quepeut-ondiredusensdevariationde
f ?
2. Déterminera etb.
PartieB
Onsupposedésormaisquelafonction f estdéfiniesur]−1;+∞[par:
f(x)=−2x+5+3ln(x+1).
1. a. Calculerlalimitede f en−1.Interprétergraphiquementlerésultat.
ln(x+1)
b. Enadmettantque: lim =0,calculer lim f(x).
x→+∞ x→+∞x
′2. Calculer f (x) et étudier les variations de f Dresser le tableau de variations.
Préciserlavaleurexactedumaximumde f.
3. TracerC etlesasymptoteséventuellesdansunplanmunid’unrepèreortho-f? ?→− →−
normal O, ı ,  .(unitégraphique:2cm)
4. a. Montrerqu’ilexistedeuxréelsαetβtelsqueα<0<βet f(α)= f(β)=0.
−2b. Donnerunevaleurapprochéeà10 prèspardéfautdeαetdeβ.
c. Endéduirelesignede f(x)sur]−1;+∞[.
5. Soitg lafonctiondéfiniesur]−1; +∞[par:
g(x)=(x+1)ln(x+1)−x.
′a. Calculerg (x).
b. Endéduirel’expressiondelaprimitivede f s’annulantpourx=0.
10

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