Sujet par thèmes : Sujets de spécialité : géométrie dans l'espace/surfaces

De
Visualisez les activités et les travaux pratiques 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
Lecture(s) : 20
Source : sarmate.free.fr
Nombre de pages : 26
Voir plus Voir moins

Exercice1
? ?→− →− →−
1. Dansunrepèreorthonormaldel’espace O, ı ,  , k onconsidèrelespoints
A(1;0;2) B(2;1;0)etC(0;1;2)
a. DémontrerqueABCestuntrianglerectangle.
→−
b. Vérifierquelevecteur u (1;1;1)estunvecteurnormalauplan(ABC).
c. Endéduireuneéquationcartésiennedeceplan.
d. Quelles sont les coordonnées des points E, F et G intersections du plan? ? ? ? ? ?→−→− →−
(ABC)aveclesdroites O; ı , O;  et O; k ?
? ?→−→− →−
ReprésenterlespointsA,B,CetletriangleEFGdanslerepère O, ı ,  , k .
−→ →−
e. SoitDlepointdéfiniparAD =3u .
Déterminersescoordonnées,puisleplacersurlegraphique.
f. PourquoilestrianglesABDetACDsont-ilsrectanglesenA?
DémontrerqueBCDn’estpasrectangle.
2. Les points A, B, C et D déterminent un solide S à quatre faces triangulaires
(tétraèdre)donttroissontdestrianglesrectangles.
OnconsidèreunjeuoùonlancelesolideS.Ilretombesurunedesesfaces.
On a perdu si cette face est un triangle rectangle et on a gagné dans le cas
contraire.
Une étude statistique a montré que l’on avait deux fois plus de chances de
perdrequedegagner.
a. OnlancelesolideSunefois.
QuelleestalorslaprobabilitéqueSretombesurlaface(BCD)?
b. OnlancelesolideSquatrefois,leslancersétantindépendants.
Quelleestlaprobabilitéd’obtenirexactementdeuxfoislaface(BCD)?
(Ondonneralerésultatsousformed’unefractionirréductible.)
Exercice2
La figure donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente une pyramide
SABCDdesommetS.
Ondonnelescoordonnéesdespointssuivantsdansunrepèreorthonormal? ?→− →− →−
O, ı ,  , k :
S(0;0;5);A(0;2;0);B(2;0;0);C(0;−2;0);D(-2;0;0);M(0;1;0).
1. DémontrerquelabaseABCDdelapyramideestuncarré.
2. a. Sansaucuncalcul,donneruneéquationduplancontenantlespointsA,
B,CetD.
b. Détermineruneéquationduplan(ABS).
3. a. Vérifierqueleplan(BCS)admetpouréquation:5x−5y+2z=10.
b. PlacerlepointN(1;−1; 1).Est-ildansleplan(BCS)?
4. a. DétermineruneéquationduplanR parallèleauplan(BCS)passantpar
lepointM.
b. DessinerlestracesduplanR surlesplans(xOy),(yOz)et(xOz).
1Annexe
z
S
→−
k D
C
O →−

M
→− Aı
yB
x
Exercice3
Lesquestions2et3sontindépendantes.
Une entreprisefabriquedeuxproduitsEetFenquantités respectives x et y ex-
priméesentonnes,pourlesquelleslecoûtdeproductionz estdonnépar
2 2z=x +2y −6x−4y+13.
oùz estexpriméenmilliersd’eurosavecx∈ [0;7]et y∈ [0;7].
1. Lasurfacereprésentantcecoûtestdonnéedanslerepèredel’espacesituésur
lafeuillefournieenannexequiserarendueaveclacopie.
a. PlacersurcettesurfacelepointAd’abscisse4etd’ordonnée6.
b. Donner graphiquement un encadrement d’amplitude 10 de la cote du
pointA.
c. Vérifierparlecalcul.
2 22. a. Montrerquel’onaz=(x−3) +2(y−1) +2.
b. Endéduirela productionpour laquelle cecoûtest minimal. Quelest ce
coûteneuros?
c. PlacerlepointBcorrespondantàcetteproductionsurlasurface.
3. L’entreprise doit fabriquer une quantité x du produit E et une quantité y du
produitFaveclacontrainte x+y=7.
2a. Vérifierquez peuts’écriresouslaformez=g(x)avecx∈ [0;7]et
2g(x)=3x −30x+83.
b. Déterminerlavaleur dex pour laquelle g admetunminimum. Quelest
alorslecoûtdeproductioneneuros?
c. PlacerlepointCcorrespondantàcetteproductionsurlasurface.
90
80
70
60
50
z
40
30
20
7
10
6
5
0
4
0 y31
2 2
3
4 1x
5
06
7
Exercice4
Soit f la fonction définiepour tout réel x élément de [0; 10] et pour tout réel y
élémentde[0;12]par:
f(x ; y)=2x(y+1).
On donne ci-après la représentation graphique de la surface z = f(x, y) dans un? ?→−→− →−
repère O, ı ,  , k .
Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d’une association décident
defabriquerdescartesdevoeux.
Pourproduireunequantitéz depaquetsdecartes,ilsutilisentx décilitresd’encre
Aet y décilitresd’encreB.Onadmetquex, y etz sontliésparlarelation
3z=2x(y+1),
oùxestunnombreentiercomprisentre0et10,ety unnombreentiercomprisentre
0et12.
Danstoutl’exercice,lesquantitésd’encreserontexpriméesendécilitres.
PartieA
1. a. Combiendepaquetsdecartespeut-onfabriqueravec7décilitresd’encre
Aet8décilitresd’encreB?
b. Donnerlaquantité d’encreA,laquantité d’encreB,etlenombredepa-
quetsdecartesassociésrespectivement auxpointsM,PetRàcoordon-
néesentières,delasurfacedonnéeci-dessous.
2. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d’équation x= 4,? ?→−→−
parallèleauplan O,  , k ?Justifierlaréponse.
PartieB
Leprixd’undécilitred’encreAest6€etceluid’undécilitred’encreBest2€.
L’associationdécided’investir46€dansl’achatdesencres.
1. Donner larelation entreles quantités xet y d’encresA etB achetées pour un
montantde46€.
22. Montreralorsquez=−6x +48x.
3. a. Quelle quantité d’encreA l’association achètera-t-elle pour fabriquer le
maximumdepaquetsdecartes?
b. Combiendepaquetsdecartesserontalorsfabriqués?
c. Quellequantitéd’encreBseraalorsutilisée?
Surface(S )d’équationz=2x(y+1)
280
2406z6280
240
2006z6240
200
1606z6200
160 P M
1206z6160
120
806z6120
80
406z680
40
06z640R
0
12
10
8
1096 8764 5432 210
Exercice5
Pourmodéliserlaproductiond’uneentrepriseleséconomistesutilisentdesfonc-
α βtions qui suivent le modèle dit de Cobb-Douglas : z= Ax y (A, α, β réels stric-
tement positifs), où z désigne une quantité obtenue à partir de deux quantités va-
riablesx et y.
4
bccbbc
z
y
xPartieA
Onconsidèrelesfonctions f eth définiespour x∈[0; 10]et y∈[0; 10]respective-
mentpar
11 1 23 2f(x ; y)=x y et h(x ; y)= x y.
4
1. Vérifier que f et h sont deux fonctions de Cobb-Douglas en donnant pour
chacuned’elleslesvaleurs A, α, β.
2. Les représentations graphiques de f et h figurentparmi les trois représenta-
tionsgraphiquesci-dessous.
Associeràchaquefonctionsareprésentationgraphique.Leschoixserontjus-
tifiés.
200 250
z z
0 0
0 0
10 10
x xy y
10 100 0
représentation1 représentation2
6,81
z
0
0
10
x y
10 0
représentation3
PartieB
La fabrication d’un produit dépend des duréees de fonctionnement de deux ma-
′ ′chinesMetM .Lesduréesdefonctionnement desmachinesMetM expriméesen
5centainesd’heuressontrespectivementégalesàx et y.Laquantitéproduite,expri-
méeentonnes,estz=h(x, y),oùh estlafonctiondéfinieàlapartieA.
1. Danscettequestionlaquantitéproduiteestfixéeà25tonnes.
Quelle est, parmi les trois représentations graphiques suivantes, celle de la
1 2sectiondupland’équation z=25aveclasurfaced’équation z= x y?
4
y y
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
O x O x
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
y
8
6
4
2
0
O x
0 2 4 6 82. Les horaires detravail font que lasomme desdurées defonctionnement des
′deuxmachinesMetM estdehuitcentainesd’heures.
12 3a. Montrerquez=2x − x .
4
12 3b. Soitlafonctiong définieparg(x)=2x − x pourx∈[0; 8].
4
Étudierlesvariationsdeg etendéduirelesduréesdefonctionnement x
ety quiassurentuneproductionmaximum.
Exercice6
Pour fabriquer un aliage une usine utilise deux métaux A et B en quantités x et
y exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers
d’euros,estdonnéparlaformule:
2C(x,y)=2x+0,5y +4.
L’ANNEXE1(àrendreaveclacopie)comportedeuxfigures.
- La figure 1 représente la surface d’équation z = C(x ; y) pour 06 x6 20 et
O6y612.
-Lafigure2représente les courbesdeniveau decette surfacepour zvariantdc
20en20.
6Lesparties1et2sontindépendantes.
Partie1
Cette partie est un questionnaire choix multiples constitué de deux questions,
chacunecomportantquatrepropositionsderéponsedontuneseuleestexacte.
Unebonneréponserapportera0,5point.
Unemauvaiseréponseserapénaliséede0,25point.
Siletotaldespointsdecettepartieestnégatif,lanoteattribuéesera0.
Lesréponsesserontindiquéessurlacopie.Aucunejustificationn’estdemandée.
1. Lequeldespointsdonnésci-dessousestunpointdelasurfaced’équation
z=C(x ; y)?
a M(13;9;60) b N(12;4;40) c R(12;.8;60) d S(15;4;40)
2. Lacourbedeniveauz=20est:
a uneparabole b unedroite c unehyperbole d autreréponse
Partie2
Les métaux AetB sontachetés respectivement 0,5 et 1millier d’euroslatonne.
L’entrepriseaffecte11milliersd’eurosàl’achatdesmétaux.
1. Unexemple:
Si l’entreprise achète 4 tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B
achète-t-elle?
2. Casgénéral
Soitx laquantitédemétalAet y laquantitédemétalachetées.
Montrerquex et y sontliéésparlarelationx+2y=22.
3. a. Tracer sur la figure2 de l’ANNEXE1 l’ensemble des points dont l’équa-
tionest
x+2y=22.
b. Endéduire,graphiquementlecoûtminimumdeproductiondesalliages
pouruninvestissementde11milliersd’euros,etlesquantités.correspondantes
demétauxAetBachetées.
7ANNEXE1
Exercice2
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Àrendreaveclacopie
Figure1:surfaced’équationz=C(x ; y)
120
100
80
60
z
40
20
0 12
0
2
4
6
8 6
y10
x 12
14
16
18
0
20
8Figure2:courbesdeniveau
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Exercice7
UtiliserleDOCUMENTRÉPONSEDONNÉENANNEXE
? ?→− →− →−
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on désigne parS
l’ensembledespointsM(x ; y ; z)del’espacetelquez=3xy.OnditS estlasurface
d’équation z=3xy.
Une courbe de niveau de cote z est l’intersection d’un plan d’équation z=z ,0 0
parallèleauplan(xOy)aveclasurfaceS .Ondéfinitdefaçonidentiqueunecourbe
deniveaud’abscissex etunecourbedeniveaud’ordonnée y .0 0
3
1. Soientlescourbesdeniveaud’abscisse1,d’abscisse etd’abscisse2.
2
Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan
(yOz)surlafigure1dudocumentréponse.
2. a. Quelleestlanaturedescourbesdeniveaud’abscisseconstante?
b. Montrerquelescourbesdeniveaudecoteconstantenonnullesontdes
hyperboles.
3. Sur la figure 2 sont représentées trois courbesC , C etC représentant les1 2 3
projections orthogonales dans le plan (xOy) de trois courbes de niveau de
coteconstantek.
Préciser,enlejustifiant,lavaleurdek associéeàchaquecourbe.
′4. Le point A représenté sur la courbeC de la figure2 est la projection ortho-2
gonaledansleplan(xOy)d’unpointA(x ; y ; z),delasurfaceS .
? ?→− →− →−
a. DéterminerlescoordonnéesdupointAdanslerepère O, ı ,  , k .
′′b. Préciser les coordonnées du point A , projeté orthogonal de A dans le
′′plan(yOz),puisplacercepointA surlafigure1.
5. SoitP lepland’équation3x+6y−z−6=0.
a. MontrerquelepointAappartientauplanP.
b. MontrerqueleplanP contientlacourbedeniveaud’abscisse2.
9c. Démontrerquel’intersectiondelasurfaceS etduplanP estlaréunion
dedeuxdroites:lacourbedeniveaud’abscisse2etuneautredroiteque
l’ondétermineraparunsystèmed’équationscartésiennes.
Onpourrautiliserlafactorisationx+2y−xy−2=(x−2)(1−y).
ANNEXE
DOCUMENTRÉPONSEÀRENDREAVECLACOPIE
(Exercice2spécialité)
Figure1
8
z
7
6
5
4
3
2
1
1
0
O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y101
Figure2
10

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi

suivant