Sujet par thèmes : Sujets de spécialité : suites

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Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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Exercice1
erUnepersonneplace,le1 janvier2001,suruncompterémunéréàintérêtscom-
posésautauxannuelde4%,unesommedea euros.
er erDeplus,chaque1 janvier desannéessuivantes, c’est-à-direaule1 janvier 2002,
er1 janvier2003,...,etc,elleplacesurcecomptelasommede1000euros.
On pose U = a. Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelle U la0 n
ersommedisponiblesurlecompte,le1 janvierdel’année(2001+n).
1. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln,ona:U =1,04U +1000.n+1 n
b. Montrerquecettesuiten’estniarithmétique,nigéométrique.
2. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans.
OnposeV =U +25000.n n
a. VérifierquelasuiteV estgéométrique,deraison1,04.Précisersonpre-n
miertermeenfonctiondea.
b. ExprimerV enfonctiondea etn.n
nc. Endéduireque,pourtoutentiern : U =1,04 ×(a+25000)−25000.n
3. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans
Calculerà0,01europrèsleplacementinitialminimal a permettantdedispo-
ersersurcecompte,le1 janvier2005,d’unesommed’aumoins15000euros.
Exercice2
erUnepersonneplace,le1 janvier2001,suruncompterémunéréàintérêtscom-
posésautauxannuelde4%,unesommedea euros.
er erDeplus,chaque1 janvier desannéessuivantes, c’est-à-direaule1 janvier 2002,
er1 janvier2003,...,etc,elleplacesurcecomptelasommede1000euros.
On pose U = a. Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelle U la0 n
ersommedisponiblesurlecompte,le1 janvierdel’année(2001+n).
1. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln,ona:U =1,04U +1000.n+1 n
b. Montrerquecettesuiten’estniarithmétique,nigéométrique.
2. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans.
OnposeV =U +2500.n n
a. VérifierquelasuiteV estgéométrique,deraison1,04.Précisersonpre-n
miertermeenfonctiondea.
b. ExprimerV enfonctiondea etn.n
nc. Endéduireque,pourtoutentiern : U =1,04 ×(a+25000)−25000.n
3. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans
Calculerà0,01europrèsleplacementinitialminimal a permettantdedispo-
ersersurcecompte,le1 janvier2005,d’unesommed’aumoins15000euros.
Exercice3
Ondisposed’unepiècedemonnaieparfaitementéquilibréeetdedeuxurnes,l’une
marquéedelalettreFetl’autremarquéedelalettreP.
1. Chacunedesdeuxurnescontient6boules.L’urnemarquéeFcontient5boules
blancheset1boulenoirealorsquel’urnemarquéePcontient2boulesblanches
et4boulesnoires.
Onlancelapiècedemonnaie:
1– sionobtient«face»,ontireunebouledansl’urnemarquéeF.
– sionobtient«pile»,ontireunebouledansl’urnemarquéeP.
OnnoteP,F,BetNlesévènementssuivants:
P:«onaobtenupileaulancerdelapièce»;
F:«onaobtenufaceaulancerdelapièce»;B:«onatiréunebouleblanche»;
N:«onatiréuneboulenoire».
Déterminer laprobabilitédetirerunebouleblanchesachantqu’onaobtenu
«face»aulancerdelapièce.
Endéduirelaprobabilitéd’obtenir«face»aulancerdelapièceetdetirerune
bouleblanche.
Calculerlaprobabilitédel’évènementB ∩ P.
Déduiredesquestionsprécédentesquelaprobabilitédetirerunebouleblanche
7
est .
12
2. On effectue la même expérience aléatoire, les deux urnes contenant à pré-
sent2n boules, n étantunentiernaturelnonnul.L’urnemarquéePcontient
(2n − 1)boulesblancheset1boulenoirealorsquel’urnemarquéePcontient
(n−1)boulesblancheset(n+1)boulesnoires.
3n−2
Montrerquelaprobabilitédetirerunebouleblancheest: .
4n
3n−2
3. Soit(u )lasuitedéfiniepar:u = pourtoutn entiernaturelnonnul.n n
4n
a. Déterminerlalimite,quandn tendversplusl’infini,delasuite(u ).n
2
b. Montrerquepourtoutentiern>1 : u −u = .n+1 n
4n(n+1)
Déduiredelaquestionprécédentelesensdevariationdelasuite(u ).n
Exercice4
MonsieurXaplacé2000€le31décembre2002sursonlivretbancaire,àintérêts
composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts
sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). à partir de l’année
suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce
livret.
erOndésigneparC lecapital,expriméeneuros,disponible le1 janvier del’an-n
née(2003+n),oùn estunentiernaturel.Ainsi,ona:
C =2000.0
er1. a. Calculerlecapitaldisponiblele1 janvier2004.
b. établir,pourtoutentiernatureln,unerelationentreC etC .n+1 n
2. Pourtoutentiernatureln,onpose:
u =C +20000.n n
a. Démontrerquelasuite u estunesuitegéométriquedontondétermi-( )n
neralaraison.
b. Exprimeru enfonctionden.n
c. Endéduireque,pourtoutentiernatureln,ona:
nC =22000×(1,035) −20000.n
erd. Calculer lecapitaldisponible le1 janvier 2008 (onarrondiralerésultat
àl’europrès).
23. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la
banque pour financer un voyagedont le coût (supposé fixe) est de 6000 €. Il
paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d’une
suitearithmétiquederaison800€.
Calculerlemontantdechacunedeces4mensualités.
Exercice5
Unmagasindelogicielsdejeuxdécidedelancerlacommercialisationd’unnou-
veauproduit.
Pourcela,ilplanifiesurtroisanssesobjectifstrimestrielsdeprixdeventeense
basantsurlaloidel’offreetdelademande.
n étant unentier naturel, ondésigne par v l’indice duprixdevente lors dun-n
4
ièmetrimestre.L’indicededépartestnotév .Ona:v =100etv = v +28.0 0 n+1 n
5
1. Onpose:u =v −140.n n
4
a. Montrerque(u )estunesuitegéométriquederaison depremiertermen
5
(−40).
b. Exprimeru enfonctionden,puisv enfonctionden.n n
2. Ondésignepard l’indicedelademandelorsdun-ièmetrimestre.n
750 5
Sachantque:d = − v ,calculerd etexprimerd enfonctionden.n n 0 n
7 7
3. Calculerlesvaleursdesdeuxindicesauboutdestroisans.
Exercice6
Lors d’une partie de fléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers
unecible.Latentativeestréussiequandlafléchetteatteintlacible,elleéchouedans
lecascontraire.
rePourla1 fléchette,leschancesderéussiteoud’échecsontégales.
Pourchaquelancersuivant,laprobabilitéqu’ilréussissedépenduniquementdu
résultatdulancerprécédent:
• Elleestde0,7quandlelancerprécédentatteintlacible;
• Elleestde0,4quandilaéchoué.
Onnote:
e• C l’évènement «Lan fléchetteatteintlacible»,n
e• E l’évènement «Len lanceraéchoué».n
1. La partie necomporte que deux fléchettes. Traduirela situation àl’aide d’un
earbre pondéré. En déduire la probabilité pour que la 2 fléchette atteigne la
cible.
Danstoutelasuitedel’exercice,ndésigneunentiersupérieurouégalà1et
onconsidèrequelejeusedérouleavecnfléchettes.
eOndésigneparc laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsdun lanceretparen n
laprobabilitéquecelanceréchoue.
eOnnoteP =[c e ]lamatricelignequitraduitl’étatprobabilistelorsdunn n n
lancer.
eLamatriceP =[0,5 0,5]traduitdoncl’étatprobabilisteinitiallorsdu1 lan-1
cer.
2. a. Représenterlasituationàl’aided’ungrapheprobabiliste.
b. Donnerl’étatP .2
33. a. à l’aide de la relation P = P ×A où A est la matrice de transitionn+1 nµ ¶
0,7 0,3
e,exprimerlaprobabilitéc d’atteindrelaciblelorsdun+1n+10,4 0,6
lancerenfonctiondesprobabilitésc ete .n n
b. Montrerquepourtoutentiern>1,onac =0,3c +0,4.n+1 n
4
4. Soitlasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln>1,paru =c − .n n n
7
a. Montrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquederaison0,3.n
b. Endéduireu puisc enfonctionden.n n
c. Calculerlalimitedec quandntendversl’infini.Interprétercettelimite.n
Exercice7
y
4
3
H H1 2
2
1
1
0
xO 0 1 2 3 4 5 6 71
Les courbesH etH représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont res-1 2
pectivementpouréquation
1 2
y= et y= .
x x
OnnoteD ledomainedélimitéparlescourbesH etH etlesdroitesd’équa-2 1 2
tionx=2etx=3.
′On noteD le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeH et les12
droitesd’équation x=2etx=3.
′1. Colorier lesdomainesD etD d’unecouleur différenteetmontrerqu’ilsont2 2
lamêmeaire.
Soit n un entier naturelstrictement positif. Onnote u l’airedudomaineDn n
délimitéparlescourbesH etH etlesdroitesd’équation x=n etx=n+1.1 2
2. Exprimeru enfonctionden.n
3. Montrerquelasuite(u )estdécroissante.n
2Onpourracomparerlesnombres n(n+2)et (n+1) .
44. Étudierlaconvergencedelasuite(u ).n
5. Déterminer la plus grande valeur de n telle que l’aire du domaineD resten
1
supérieureà d’unitéd’aire.SoitN cettevaleur.
10
6. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbesH etH et les droites1 2
d’équation x=1etx=N.
Exercice8
Dansunezonedemaraisons’intéresseàlapopulationdeslibellules.
OnnoteP lapopulationinitialeetP lapopulationauboutden années.0 n
Desétudesontpermisdemodéliserl’évolutiondeP parlarelation:n
1
(R)Pourtoutentiernaturelnona:P −P = (P −P ).n+2 n+1 n+1 n
2
OnsupposequeP =40000etP =60000.0 1
On définit l’accroissement de la population pendant la n-ième année par la diffé-
renceP −P .n n−1
1. Calculerl’accroissementdelapopulationpendantlapremièreannée,ladeuxième
année,latroisièmeannée,puisendéduireP etP .2 3
2. Onconsidèrelessuites(U )et(V )définiespourtoutentiernatureln par:n n
1
U =P −P et V =P − P .n n+1 n n n+1 n
2
a. Prouverquelasuite(U )estgéométrique.Préciser saraisonetsonpre-n
mierterme.
ExprimerU enfonctionden.n
b. Enutilisantlarelation(R),calculerV −V .n+1 n
1
Endéduireque,pourtoutn,ona:V =P − P .n 1 0
2
CalculerV .n
c. Démontrerque,pourtoutentiernatureln,onaP =2(V −U ).n n n
EndéduireuneexpressiondeP enfonctionden.n
d. Montrerquelasuite(P )convergeetcalculersalimite.n
Quepeut-onendéduireencequiconcernel’évolution decettepopula-
tionauboutd’unnombred’annéessuffisammentgrand?
Exercice9
Onadiviséunepopulationendeuxcatégories:«fumeurs»et«non-fumeurs».
Uneétudestatistiqueapermisdeconstaterque,d’unegénérationàl’autre,
• 60%desdescendantsdefumeurssontdesfumeurs,
• 10%desdescendantsdenon-fumeurssontdesfumeurs.
On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-
fumeurs.
Ondésignepar:
• f lepourcentagedefumeursàlagénérationderangn,n
• g =1−f lepourcentagedenon-fumeurs àlagénérationderangn,oùn estn n
unentiernaturel.
Onconsidèrequ’àlagénération0,ilyaautantdefumeursquedenon-fumeurs.
Onadonc f =g =0,5.0 0
51. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabiliste.
2. Justifierl’égalitématricielle:
µ ¶
¡ ¢ ¡ ¢ 0,6 0,4
f g = f g × AoùAdésignelamatrice:n+1 n+1 n n 0,1 0,9
3. Déterminerlepourcentagedefumeursàlagénérationderang2.
4. Déterminerl’étatprobabilistestableetl’interpréter.
5. Montrerque:pourtoutentiernatureln, f =0,5f +0,1.n+1 n
6. Onpose,pourtoutentiernatureln, u = f −0,2.n n
a. Montrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquedontonpréciseralen
premiertermeetlaraison.
b. Donnerl’expressiondeu enfonctionden.n
nc. Endéduireque,pourtoutentiernatureln, f =0,3×0,5 +0,2.n
¡ ¢
d. Déterminerlalimitedelasuite f lorsquentendvers+∞etl’interpré-n
ter.
Exercice10
erAu1 janvier2005,unevilleenpleineexpansionavaitunepopulationde100000
habitants.
erUnbureaud’étudefaitl’hypothèsequ’àpartirdu1 janvier2005:
• le nombre d’habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des
naissancesetdesdécès;
• dufaitdesmouvementsmigratoires,4000personnessupplémentairesviennent
s’installerchaqueannéedanscetteville.
PartieA:étudethéorique
erPourtoutentiernatureln,onnoteu lenombred’habitantsdecettevilleau1n
janvierdel’année2005+n.
Ainsi,u =100000.0
1. Calculeru etu .1 2
2. Justifierque,pourtoutentiernatureln, u =1,05u +4000.n+1 n
3. Pourtoutentiernatureln,onpose v =u +80000.n n
a. Calculer v .0
b. Montrerque(v ) estunesuitegéométriquedontonpréciseralepre-n n∈N
miertermeetlaraison.
nc. Exprimer v en fonction de n. En déduire que u =180000×(1,05) −n n
80000.
d. Calculerlalimitedelasuite(u ) .n n∈N
PartieB
Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en
utilisantlemodèlethéoriqueétudiéàlapartieA.
er1. Quelseralenombred’habitantsdelavilleau1 janvier2020?
2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200000
habitants?
6FORMULAIREPOURL’EXERCICE2
SUITESARITHMÉTIQUES,SUITESGÉOMÉTRIQUES
Suitearithmétiquedepremiertermeu ∈Retderaisona∈R:0
Pourtoutn∈N, u =u +a, u =u +na.n+1 n n 0
Suitegéométriquedepremiertermeu ∈Retderaisonb∈R:0
nPourtoutn∈N, u =bu , u =u b .n+1 n n 0
n(n+1)
Sommedetermes:•1+2+...+n=
2
n+11−b
2 n•Sib =1alors1+b+b +···+b =
1−b
Exercice11
erLe 1 janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude
ermontre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1 janvier partira à
la retraite au cours de l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise
embauche100jeunesdansl’année.
erPourtoutentiernatureln,onappelleu lenombred’employésdel’entreprisele1n
janvierdel’année(2005+n).
1. a. Calculeru , u etu .0 1 2
Lasuiteu determegénéralu est-ellearithmétique?géométrique?Jus-n
tifierlesréponses.
b. Expliquerensuitepourquoiona,pourtoutentiernatureln, u =0,9u +n+1 n
100.
2. Pourtoutentiernatureln,onpose:v =u −1000.n n
a. Démontrerquelasuite v determegénéral v estgéométrique. Précisern
saraison.
b. Exprimer v enfonctionden.n
nEndéduirequepourtoutentiernatureln, u =500×0,9 +1000.n
c. Déterminerlalimitedelasuiteu.
n3. Démontrerquepourtoutentiernatureln, u −u =−50×0,9 .n+1 n
Endéduirelesensdevariationdelasuiteu.
er4. Au1 janvier2005,l’entreprisecompteunsur-effectifde300employés.Àpar-
tirdequelleannée,lecontexterestantlemême,l’entreprisenesera-t-elleplus
ensur-effectif?
Exercice12
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte
190 milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se
déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage. On admet
que:
– si une année un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante il se dé-
placeseuldanssavoitureavecuneprobabilitéégaleà0,6;
– si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante il
pratiqueleco-voiturageavecuneprobabilitéégaleà0,35.
Premièrepartie
On note C l’état «pratiquer le co-voiturage» et V l’état «se déplacer seul dans sa
voiture».
71. Dessiner un grapheprobabilistedesommets CetVqui modélise lasituation
aléatoiredécrite.
2. En considérant C et V dans cet ordre,en ligne, la matrice de transition asso-µ ¶
0,40 0,60
ciée à ce ( graphe est M= . Vérifier que l’état stable du système
0,35 0,65
correspondàlamatriceligne(70 120).
Endonneruneinterprétation.
Deuxièmepartie
En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habi-
tantssedéplaçaientseulsdansleurvoiture.
Onappelle X (n entiernaturel)lenombredemilliersd’habitantsquipratiquentlen
co-voituragedurantl’année2000+n.Onadonc X =60.0
Onadmetquepourtoutentiernatureln, X =0,05X +66,5.n+1 n
Onconsidèrelasuite(u ) ,définiepourtoutentiernatureln parU =X −70.n n nn∈N
1. Prouver que la suite (u ) est une suite géométrique. Préciser sa raison etn n∈N
sonpremierterme.
n2. Montrerquepourtoutentiernatureln, X =70−10×0,05 .n
Est-ilpossibleque,durantuneannée,lenombred’habitantspratiquantleco-
voiturageatteignelamoitiédelapopulationdecetterégion?
Exercice13
Onconsidèrelasuitenumérique u définiepar:( )n
(
u = 12et1
1
u = u +5 pourtoutentiernatureln>1n+1 n
3
1
1. Utiliser les droites d’équations y= x et y= x+5 pour construire les quatre
3
premierstermesdelasuite(u ).n
(Cette constructionest à faire sur le graphique del’annexe 3 - exercice 2 - Spé-
cialité)
Quepeut-onconjectureràproposdelalimitedelasuite(u )?n
15
2. Soitlasuite(v )définie,pourtoutentiernatureln>1,par:v =u − .n n n
2
1
a. Démontrerquelasuite v estunesuitegéométriquederaison .( )n
3
b. Exprimeralorsv enfonctionden.n
c. Déterminer lalimite delasuite (v ) puis endéduirelalimite delasuiten
(u ).n
3. Est-ilpossiblededéterminern desorteque:
15 −6a. u − 610 ?n
2
15
6b. u − >10 ?n
2
812
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Exercice14
erLors de sa création au 1 janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. À la
findelapremièreannée,troisquartsdesadhérentsseréinscriventet120nouveaux
membresadhèrent.
Pour tout nombre entier naturel n, on appelle a le nombre d’adhérents du club,n
expriméencentaines,n annéesaprèslacréationduclub.
Onadonca =3.Onsupposequelenombred’adhérentsauclubévoluedelamême0
façonlesannéessuivantes.Ainsi,pourtoutnombreentiernatureln,
a =0,75a +1,2.n+1 n
PartieA:Étudegraphiquedelasuite(a )n n∈N
DanslerepèredonnéenANNEXE2,àrendreaveclacopie,onareprésentéladroite
Dd’équation y=0,75x+1,2 etladroiteΔd’équation y=x pourlesabscissescom-
prisesentre0et6.
1. Placer a sur l’axe des abscisses et, en utilisant les droites D etΔ, placer sur0
l’axe des abscisses les valeurs a , a , a , a (laisser apparents les traits de1 2 3 4
construction).
2. Quellesembleêtrelalimitedelasuite(a ) ?n n∈N
PartieB:Étudenumériquedelasuite(a )n n∈N
On considère la suite (u ) définie par u = a −4,8 pour tout nombre entiern n nn∈N
natureln.
1. a. Calculeru .0
b. Démontrerquelasuite(u ) estunesuitegéométriquederaison0,75.n n∈N
nc. Endéduireque,pourtoutnombreentiernatureln, a =4,8−1,8×(0,75) .n
d. Déterminer lim a .n
n→+∞
2. Si l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit selon ce modèle, le club
peut-ilavoir500adhérentsdurantuneannée?Pourquoi?
Àrendreaveclacopie
9
1y= x+53
y=x8
y
7
7
Δ
6
6
D
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
x0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
Exercice15
DeuxjoueursAetB,amateursdetennis,décidentdejouerunepartietoutesles
semaines.
• LaprobabilitéqueAgagnelapartiedelapremièresemaineest0,7.
• Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la se-
mainesuivante,etlaprobabilitéqu’ilgagnealorslapartiedelasemaine(n+1)
estseulementde0,4.
• Si A perd la partie de la semaine n, il change de stratégie de jeu pour la se-
mainesuivante,etalors,laprobabilitéqu’ilgagnelapartiedelasemaine(n+1)
estde0,9.
Pourtout entier n supérieur ouégal à1,on désignepar A l’évènement :«Agagnen
ième ièmela partie de la n semaine», par B l’évènement : «B gagne la partie de la nn
semaine»,etonnotea =p(A ).n n
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite (a ), en utilisant deuxn
méthodesdifférentes.
Premièreméthode:grapheprobabiliste
Pourtout entier naturel n nonnul, ondésignepar P =(a 1−a ) lamatricedesn n n
ièmeprobabilitésassociéeàlan semaine.
1. Décrirecette situation àl’aided’ungrapheprobabiliste,etdonner lamatrice
M detransitionassociéeàcegraphe.
µ ¶ µ ¶
0,7 0,3 0,55 0,452 32. OndonneM = etM = .
0,45 0,55 0,675 0,325
èmeQuelleestlaprobabilitépourqueAgagnelapartiedela4 semaine?
3. DéterminerlamatriceligneP=(x 1−x)tellequeP×M=P.
4. Endéduirelalimitedelasuite(a )etinterpréterlerésultatobtenu.n
Deuxièmeméthode:probabilitéetsuites
Danscettedeuxième partie,onnetientpascompte derésultatsdémontrés dansla
partieprécédente.
1. a. Recopiersur votrecopiel’arbreci-dessous,etcompléter l’arbreavecles
5probabilitésmanquantes.
10

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