Sujet par thèmes : Sujets de statistiques

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Consultez les sujets et exercices 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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Exercice1
Letableauci-dessousdonneletauxd’équipementenmagnétoscopedescouples
avecenfant(s)d’unecertainerégionfrançaisede1980à2000touslesquatreans.
a −1980i
Danscetableau, x représentel’expression: .i
4
Année a 1980 1984 1988 1992 1996 2000i
Rangx del’année 0 1 2 3 4 5i
Taux y en% 5 8 24 50 77 88i
Parexemple, 5%descouples avecenfant(s)decetterégionpossède unmagné-
toscopeen1980.
PartieA
Ajustementaffine
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm par rang
d’annéesurl’axedesabscisseset1cmpour10%surl’axedesordonnées).
1. Représenterlenuagedepointscorrespondantàlasériestatistique(x ; y ).i i
2. CalculerlescoordonnéesdupointmoyenGdecettesériestatistiqueetplacer
celui-cisurlegraphiqueprécédent.
3. Dans toute cette question, aucun détail des calculs n’est demandé Les résul-
−2tatspourrontêtreobtenusàl’aidedelacalculatrice;ilsserontarrondisà10 .
Donneruneéquation deladroited’ajustement affinede y en x,obtenue par
laméthodedesmoindrescarrés.
Représentercettedroitesurlegraphiqueprécédent.
Onsupposequelemodèleobtenuàlaquestion3restevalablepourlesannées
suivantes.
Déterminer,parlecalcul,enquelleannéecetauxdépassera95%.
PartieB
Ajustementlogistique
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par
100
f(x)= .
bx1+ke
oùk etb sontdesconstantesàdéterminer.
1. Déterminer par le calcul les valeurs exactes de k et b pour que la courbe re-
présentativede f passeparlespointsM(0;5)etN(3;50).
Donnerunevaleurdeb arrondieàl’unité.
100
2. Danstoutecettequestion,onpose: f(x)= etonadmettraque f(x)
−x1+19e
représenteletauxd’équipementenmagnétoscopedescouplesavecenfant(s)
decetterégionpourl’annéederangx.
a. Montrerque ladroited’équation y=100 est asymptote horizontaleàla
courbereprésentative de f auvoisinage de+∞.Déterminer laposition
delacourbereprésentativede f parrapportàcetteasymptote.
′ ′ −xb. Calculerladérivée f de f etvérifierque f (x)estdusignedee .
Endéduirelesvariationsde f sur[0;+∞[etdresserletableaudevaria-
tionsde f.
c. Tracerlacourbereprésentativede f surlegraphiquedelapartieA.
d. Résoudre l’inéquation : f(x)> 95. Interpréter ce résultat en terme de
tauxd’équipement.
1x100e
e. Montrerquepourtout x de[0;+∞[,ona f(x) = .
x19+e
f. Endéduireuneprimitivede f sur[0;+∞[.
g. On assimile le taux moyen d’équipement prévisible avec ce modèle lo-
gistiqueentrelesannées2000et2008àlavaleurmoyennedelafonction
f sur[5;7].
Calculercetauxmoyend’équipementprévisibleentrelesannées2000et
−22008.Onendonneraunevaleurarrondieà10 .
Exercice2
Unnégociantenvinsafaitmeneruneétudevisantàdétermineràquelprixmaximal
ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés
dansletableausuivant:
Prixmaximal x eneurosdelabouteille 5 10 15 20 25 30i
Pourcentage y d’acheteurspotentiels 84 58 30 19 7 4i
Onvoitdanscetableau,parexemple,que58%desclientsdecenégociantsontprêts
àpayer10eurosunebouteilledevin.
PartieA(Ajustementaffine)
1. a. Représenterlenuagedepointscorrespondantàlasériestatistique(x ; y )i i
dans un repèreorthogonaldu plan (unités : 1 cmpour 2 euros sur l’axe
desabscisses,1cmpour5%surl’axedesordonnées).
b. DéterminerlescoordonnéesdupointmoyenGdunuageetleplacersur
legraphique.
−22. a. Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie à 10 près du
coefficientdecorrélationlinéairedelasériestatistique (x ;y ).Unajus-i i
tementaffineest-iljudicieux?
b. Donneruneéquationdeladroitederégressiondey enx,parlaméthode
desmoindrescarrés,lescoefficientsétantcalculésàl’aidedelacalcula-
−2triceetarrondisà10 près.
Représenterladroitesurlafiguredu1.,enprécisantlescoordonnéesde
deuxpointsdecettedroite.
3. Chezcenégociant,leprixmoyend’unebouteille estde13euros.Enutilisant
l’ajustementprécédent,calculerlepourcentagedesclientsprêtsàacheterune
bouteilleàceprix.Onarrondiralerésultatàl’entierleplusproche.
PartieB(Autreajustement)
On envisage un ajustement du nuage de points de la partieA par la courbe repré-
sentatived’unefonction.Soit f lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par
¡ ¢2 −0,2x
f(x)= x +20x+100 e
et(C)lacourbereprésentativede f danslerepèredelapartieA.
¡ ¢
2 −0,2x1. Onadmetque lim x +20x+100 e =0.Quelleinterprétationgraphique
x→+∞
peut-onfairedecerésultat?
′2. a. f étantladérivéedelafonction f ,montrerquepourtout x∈[0;+∞[:
¡ ¢
′ 2 −0,2xf (x)= −0,2x −2x e .
2′b. Déterminerlesignede f (x)pour x∈[0;+∞[.
c. Endéduirelesvariationsdelafonction f sur[0;+∞[.
3. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les va-
−1leursarrondiesà10 près)
x 0 5 10 15 20 25 30
f(x) 82,8
b. Tracerlacourbe(C)danslerepèredelapartieA.
4. a. Démontrer que l’équation f(x)= 50 admet une unique solution α ap-
partenantàl’intervalle[10;15].
−1b. Donner,enjustifiantlaréponse,unencadrementdeαd’amplitude10 .
c. Quereprésenteαpourlenégociant,sionadmetquelafonction f repré-
senteunbonajustementdunuagedepoints?
Exercice3
Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : com-
munes,saumonéesetarc-en-ciel.Ilvoudraitsavoirs’ilpeutconsidérerquesonbas-
sincontientautantdetruitesdechaquevariété.Pourcelaileffectue,auhasard,400
prélèvementsd’unetruiteavecremiseetobtientlesrésultatssuivants:
Variété Commune Saumonée Arc-en-ciel
Effectifs 146 118 136
1. a. Calculerlesfréquencesdeprélèvement f d’unetruitecommune, f d’unec s
truite saumonée et f d’une truite arc-en-ciel. On donnera les valeursa
décimalesexactes.
µ ¶ µ ¶ µ ¶2 2 21 1 12b. Onposed = f − + f − + f − .c s a
3 3 3
2 −2 2Calculer400d arrondià10 ;onnote400d cettevaleur.
obs
Àl’aided’unordinateur,lepisciculteursimuleleprélèvementauhasard
de400 truitessuivantlaloiéquirépartie.Ilrépète1000foiscetteopéra-
2tionetcalculeàchaquefoislavaleurde400d .
Le diagrammeàbandesci-dessous représente lasérie des1000 valeurs
2de400d ,obtenuesparsimulation.
Effectifs 539
500
400
300
235
200
122
100 51 41
12
20 400d
0,5 1,5 2,5 3,5 4,50 1 2 3 4
2. Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décile
D9decettesérie.
33. En argumentant soigneusement la réponse dire si on peut affirmer avec un
risque d’erreur inférieur à 10 % que «le bassin contient autant de truites de
chaquevariété».
4. On considère désormais que le bassin contient autant de truites de chaque
variété.Quandunclientseprésente,ilprélèveauhasardunetruitedubassin.
Troisclientsprélèvent chacununetruite.Legrandnombredetruitesdubas-
sinpermetd’assimilercesprélèvementsàdestiragessuccessifsavecremise.
Calculer la probabilité qu’un seul des trois clients prélève une truite com-
mune.
Exercice4
Dansunmagasin,lenombreannueldeventesd’unappareilélectroménager,relevé
pendant6années,estdonnéparletableausuivant:
Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Rangdel’année x 1 2 3 4 5 6i
Nombred’appareils y 623 712 785 860 964 1073i
1. a. Représenter dans unrepèreorthogonal lenuage depoints M(x , y )eni i
prenantcommeunitésgraphiques:2cmpour1rangenabscisseset1cm
pour50appareilsenordonnées,encommençantàlagraduation600.
−2b. Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10 , les coordonnées du
pointmoyenGdunuageetplacercepointsurlegraphique.
−22. a. Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10 , les coordonnées du
point moyen G du nuage formé par les points M , M et M , puis les1 1 2 3
coordonnéesdupointmoyenG dunuageforméparlespointsM , M2 4 5
etM .6
b. Placerles points G et G surle graphique etdéterminer, avecdescoef-1 2
2ficientsarrondisà10 ,uneéquationdeladroite(G G ).1 2
c. En utilisant cette droite comme droite d’ajustement affine, déterminer
lenombred’appareilsquel’onpeutprévoirvendreen2004.
3. Onsaitmaintenantquelenombred’appareilsvendusen2002estde1125.
a. AjouterlepointM (7;1125)surlegraphiqueprécédent.7
b. Onconsidèrealorslenouveau nuageformédespoints M , 26i67(lei
nombreannueldeventesdel’année1996n’estplusprisencompte).
Donner,àl’aidedelacalculatrice,uneéquationdeladroited’ajustement
affinede y en x parlaméthodedesmoindrescarrés(lescoefficientsse-
−2rontarrondisà10 ).
c. Enutilisantcetajustement,quelnombred’appareilspeut-onprévoirvendre
en2004?
Exercice5
Laproduction nette d’électricité nucléaire en France,enmilliards de kWhest don-
néeparletableausuivant:
Année x 85 90 95 96 97 98 99i
Production
y 213 298 359 378 376 368 382i
41. Leplanestrapportéàunrepèreorthogonal:surl’axedesabscisses,onplacera
84àl’origineetonchoisira1cmpour1an.Surl’axedesordonnées,onplacera
Oàl’origineetonchoisira1cmpour20milliardsdekWh.
a. Représenterlenuagedespointsassociéàlasériestatistique(x , y ).i i
b. QuellessontlescoordonnéesdupointmoyenG?
c. PlacerG.
2. Ajustementaffine
a. Enutilisantlaméthodedesmoindrescarrés,donneruneéquationdela
droite de régression de y en x. Les coefficients seront arrondis au cen-
tième.
b. Tracer cette droite sur le graphique. Expliquer la méthode utilisée pour
letracé.
3. Estimationdeproduction
a. Ensupposantquelemodèleaffinerestevalablejusqu’en2020,estimerà
l’aide decemodèle, aumilliarddekWhprès, laproductiond’électricité
nucléaireenFranceen2020.
b. Onpose X =ln(x).L’équation deladroitederégressionde y en X obte-
nueparlaméthodedesmoindrescarrésest y=1119X−4745.
Ensupposant que le modèle logarithmique restevalable jusqu’en 2020,
estimer à l’aide de ce modèle, au milliard de kWh près, la production
d’électriciténucléaireenFranceen2020.
Exercice6
PartieA
Étudestatistique
Le but de ce problème est de modéliser l’évolution de la cotation d’une action
enBourse.
Onneferaqu’unseuldessinquiseracompététoutaulongdesdifférentesques-
tions.
Lespartiessontindépendantes.
La société «T–E S» est entrée en Bourse en 1995. Le tableau suivant donne la
ervaleurd’uneactioneneurosle1 janvierdechaqueannée.
Année 1995 1996 1997 1998 1999
Rangdel’année x 0 1 2 3 4i
Valeurdel’actioneneuros y 32 57 78 90 110i
¡ ¢
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique x ;y , le plani i
étantrapportéàunrepèreorthogonal(unitésgraphiques:2cmpourunean-
néesurl’axedesabscisses,1cmpour10eurossurl’axedesordonnées).
2. Legraphiquepermetd’envisagerunajustementaffine.
a. Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer ce point sur le gra-
phiqueprécédent.
b. Détermineruneéquationdeladroitederégressionde y enx (lescalculs
effectuésàlacalculatriceneserontpasjustifiés).
c. Ensupposantquecemodèlerestevalablejusqu’en2003,quelleseraitla
valeur,eneuros,d’uneactiondecettesociétéen2003?
3. Enfait,suiteàunretournementdetendance,lavaleurdel’actionacommencé
erà baisser à partir de 1999 comme le montre le tableau suivant (valeur au 1
janvier)
5Année 1999 2000 2001 2002 2003
Rangdel’année x 4 5 6 7 8i
Valeurdel’actioneneuros y 110 50 23 15 11i
a. Compléterlenuagedepointsàl’aidedecesnouvellesvaleurs.
b. Expliquerpourquoil’ajustementprécédentnesemblepaspertinent.
PartieB
Étuded’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par:
½
f(x) = 18,9x+35,6 si x∈]0; 4[
−0,58x+6,85f(x) = e si x∈]14;+∞[
On suppose que f modélise l’évolution du cours de l’action à partir de l’année
0.
1. a. Dresserletableaudevariationsde f sur[0;4].
b. Déterminer lim f(x).Interprétergraphiquementcerésultat.
x→+∞
Étudierlesvariationsde f sur]4;+∞[puisdressersontableaudevaria-
tionssurcetintervalle.
2. TracerlacourbeΓreprésentativedelafonction f surlegraphiqueprécédent.
f est-ellecontinuesur[0;+∞[?
3. Calculer,arrondieaucentième,lavaleurmoyennede f surl’intervalle[5 ; 10].
Onrappellequelavaleurmoyenned’unefonction f surl’intervalle[a ; b]est
Zb1
égaleà f(x)dx.
b−a a
Interprétercerésultat.
4. Résoudrel’inéquation: f(x)61,5.
Àpartirdequelleannéelavaleurdel’actionsera-t-elleinférieureà1,50euro?
Exercice7
Aucun détail des calculs statistiques effectués àla calculatrice n’est demandé dans
−4cetexercice.Saufindicationcontraire,lesrésultatsserontarrondisà 10 .
Letableausuivantdonne,enmillions,lapopulationmondialede1400à2000.
Année Rangx del’année Population yi i
1400 0 374
1500 100 458
1600 200 580
1800 400 958
1900 500 1650
1950 550 2519
1970 570 3691
1980 580 4430
1990 590 5255
2000 600 6057
Source:siteinternetdeI’INED(Institutnationaldesétudesdémographiques)
1. Représenterlenuagedepointsassociéàlasériestatistique(x ; y )enutilisanti i
lerepèresemi-logarithmiquejointenannexe.
2. On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre pre-¡ ¢
mièresdonnées.Onpose z =ln y .i i
6a. Reproduitesurlacopieetcompléterletableausuivantparlesvaleursz .i
Rangx del’année 500 550 570 580 590 600i
z =ln(y )i i
b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la
méthodedesmoindrescarrés.
xc. Endéduireunerelationentre y etx delaforme y=b×a ,oùaetbsont
deuxréelsàdéterminer.
d. Utilisercetajustementpourestimer,aumillionprès,lapopulationmon-
dialeen2010.
7Annexeàcompléteretàremettreaveclacopie10000
1000
100
0 100 200 300 400 500 600
Exercice8
Lesguichetsd’uneagencebancaired’unepetitevillesontouvertsaupubliccinq
joursparsemaine:lesmardi,mercredi,jeudi,vendredietsamedi.
Le tableau ci-dessous donne la répartition journalière des 250 retraits d’argent li-
quideeffectuésauxguichetsunecertainesemaine.
Jourdelasemaine mardi mercredi jeudi vendredi samedi
Rangi dujour 1 2 3 4 5
Nombrederetraits 37 55 45 53 60
Onveut testerl’hypothèse «lenombrederetraitsestindépendant dujourdelase-
1
maine». On suppose donc que le nombre des retraits journaliers est égal à du
5
nombredesretraitsdelasemaine.µ ¶5 2X 1
2Onposed = f − où f estlafréquencedesretraitsdui-èmejour.i iobs 5i=1
1. Calculerlesfréquencesdesretraitspourchacundescinqjoursdelasemaine.
22. Calculer alorslavaleur de1000d (lamultiplication par1000 permetd’ob-
obs
tenirunrésultatpluslisible).
3. En supposant qu’il y a équiprobabilité des retraits journaliers, on a simulé
2000sériesde250retraitshebdomadaires.
2Pour chaque série, on a calculé la valeur du 1000d correspondant. On a
obs
2obtenuainsi2000valeursde1000d .
obs
Cesvaleursontpermisdeconstruirelediagrammeenboîteci-dessousoùles
extrémités des «pattes» correspondent respectivement au premier décile et
auneuvièmedécile.
80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Liresurlediagrammeunevaleurapprochéeduneuvièmedécile.
4. En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au
début,onpeutaffirmer,avecunrisqued’erreurinférieurà10 %,que«lenombre
deretraitsestindépendantdujourdelasemaine»?
Exercice9
Letableausuivantdonnel’évolution delaproductionannuelle deturbotsdans
unefermeaquacole.
Année 1997 1998 1999 2000 2001 2002
rangdel’année x 1 2 3 4 5 6i
production y 650 760 1190 1620 2600 5050i
1. Construirelenuagedepointsassociéàlasériestatistique (x , y )dansunre-i i
pèreorthogonalR:surl’axedesabscisses,onplaceraOàl’origineetonchoi-
sira 2 cm pour une année, sur l’axe des ordonnées, on placera 600 àl’origine
etonchoisira1cmpour200turbots.
2. D’aprèsl’alluredunuagequeltyped’ajustementpeut-onenvisager?
PartieB
−3Lesrésultatsdesquestions1.,2.et3.serontarrondisà10 .
1. Onpose z =ln(y ).i i
Reproduiresurlacopieetcompléterletableausuivant:
Année 1997 1998 1199 2000 2001 2002
rangdel’année x 1 2 3 4 5 6i
zi
Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la
série(x , z ).i i
a. Enutilisantlacalculatrice,déterminer,parlaméthodedesmoindrescar-
rés,uneéquationdeladroited’ajustementaffinedez enx.
b. Exprimer y enfonctiondex.
En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions sui-
vantes:
Quelleproductionpeut-onprévoiren2005?
Àpartirdequelleannéepeut-onprévoirquelaproductionannuelledé-
passera30000turbots?
Exercice10
L’indiceIMVP(internationalmotorvéhiculeprogram)estunindicateurderéfé-
renceélaboréparleMassachussetsInstituteofTechnologyquimesureenheuresle
tempsdemontagemoyend’unvéhicule.
Dansuneentreprisedeconstructionautomobile,onaobtenuletableausuivant:
9année rangdel’année x tempsenheures yi i
1995 5 26,2
1996 6 23,7
1997 7 21,4
1998 8 18,5
1999 9 16,8
2000 10 15,4
2001 11 14,6
(sourceRenault)
PartieA
LenuagedepointsM associéàlasériestatistique(x ; y )dansunplanrapportéi i i
àunrepèreorthonormalestdonnéenannexe.
Lesrésultatsserontarrondissinécessaireaucentième.
1. Calculerlescoordonnéesdupointmoyenetleplacersurlegraphique.
2. Lenuagedepointsmontrequ’unajustementaffinesemblejustifié.Àl’aidede
lacalculatrice,donneruneéquationdeladroiteDd’ajustementaffinedey en
x,obtenueparlaméthodedesmoindrescarrés.
ReprésenterDsurlegraphique.
3. Endéduiregraphiquementpuisparlecalcullesprévisionsdutempsdemon-
tagemoyenpourl’année2005puisl’année2007,ensupposantquelemodèle
restevalablejusqu’en2007.
4. Calculer la variation en pourcentage de ce temps de l’année 2000 à l’année
2001.
PartieB
p
Ondécided’approchercenuageparunarcdeparabole;pourcelaonposez = y.
1. Donnerletableaudesvaleurs(x ; z ).Lesvaleurs z serontarrondiesaumil-i i i
lième.
Onsupposequ’unajustementaffinedez en x estjustifié.
2. Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffineobtenueparlaméthode
desmoindrescarrés(lescoefficientsserontarrondisaumillième).
3. En déduire l’expression de y en fonction de x, puis le temps de montage en
2005eten2007arrondisaudixième.
4. Cestempssont-ilsplusplausiblesqueceuxobtenusdanslapartieA?
Expliquer.
10

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