SUJETS DE BAC Maths ANNALES

MA THEMA TIQUES EXERCICES SUJETS DE BAC Rédigé par SANGARE SOULEY MANE El ève Ingenieur en I nformtique de Ge stion Au C entre U niversitaire P rofessionnalise (AB IDJA N –COCODY) sangsoulinter@ yahoo. fr sangsoulci@ hotmail.co m (00225)08281648 (00225)21246891LE S CO MPLEX ES Exer cice 1 : Le p lan co mplexe e st m uni d'un repère o rthonormal direct d'unité g raphique 1 cm. On désigne pa r i le no mbre co mplexe de m odule 1 e t d'ar gument /2. 21. Résoudre dans l'ensemble des no mb res co mplexes l'équat ion z + 4 z + 16 = 0 32. Pour t out nombre co mplexe z , on pose P(z) = z - 64. a. Calcu ler P(4) b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout no mb re co mplexe z, 2P(z) = (z - 4)( az + bz + c) c. Résoudre dans l'ensemble de s no mb res co mplexes l'équat ion P(z ) = 0 3. On cons idère les points A, B et C d'af fixes respectiv es : z = -2 + 2 i , , z = 4.A C a. Etablir que : Ecri re z sous la forme , où r es t un nombre r éel stric tement positif et un no mbre réel co mpris e ntre - et B . b. Place r l es points A, B et C dans le pl an m uni du r epère . c. Déter miner l a nature du t riangle AB C. 4. On appe lle D l'image de A par la ro tat ion de cen tre O et d'ang le /6, et on app elle z l'a ffixe du point D.D a. Déter miner l e m odule et un argument de z .D b. En dédu ire la forme algéb rique de z .D c. Place r l e po int D sur le graph ique p récéden t. Corr ection 21. Résoudre dans l'ensemble des no mb res co mplexes l'équat ion z + 4 z + 16 = 0 32. Pour t out nombre co mplexe z , on pose P(z) = z - 64. 3a. P(4) = 4 - 64 = 64 - 64 = 0 don c es t une racine de P (z) donc 2b. P(z) peut s'écri re s ous l a forme P(z) = (z - 4) ( az + bz + c) 3 2 2 3 2= az + bz + cz - 4 az - 4bz - 4 c = az + (b - 4 a)z + (c - 4b)z - 4c Par identificat ion on a : 2P(z) = (z - 4)(z + 4 z + 16) 2c. P(z) = 0 équivaut à : (z - 4)(z + 4 z + 16) = 0 so it 2z - 4= 0 ou z + 4z + 16 = 0 donc z = 4 ou z = - 2 - 2i ou z = - 2 + 2i donc S = { 4 ; - 2 - 2 i ; - 2 + 2 i } 3. On cons idère les points A, B et C d'af fixes respectiv es : z = -2 + 2 i , , z = 4.A C a. 2b. c. conclu sion : A B = BC = AC donc A BC es t un triang le équ ila téral. 4. a. b. c. voir 3.b . 3Exer cice 2 1. Déter miner t rois r éels a, b et c tels que pour t out nombre co mplexe z on a it : 3 2z - 8 = (z - 2) ( az + bz + c). 3En dédu ire la résolution dans de l 'équa tion z - 8 = 0. 2. Dans l e p lan m uni d'un r epère or thonormal (uni té 2 cm), on consi dère les po ints A d'a ffixe z = 2, A B d'af fixe z = -1 + i et C d 'af fixe z = -1 - i .B C a. Place r l es points A, B et C b. Déter miner l a nature du t riangle AB C. Just ifier la réponse. 3. On cons idère la rotat ion R de cen tre O et d'ang le /6 et on appel le A', B' et C' l es i mages r espec tives de A, B et C par R. a. Déter miner l es formes e xponentielles d e z , z , et z puis de z , z , et z .A B C A ' B ' C ' b. Place r A' , B' et C' sur la figure précéd ente. 3c. Vérif ier que z , z , et z sont solutions de l'équa tion z = 8i .A ' B ' C ' Corr ection 3 2 3 2 21. z - 8 = (z - 2) ( az + bz + c) = az + bz + cz - 2az - 2bz - 2c = 3 2az + (b - 2a)z + (c - 2b)z - 2c Par identificat ion : 3z - 8 = (z - 2)(z² + 2z + 4). 3z - 8 = 0 équivau t à (z - 2)(z² + 2z + 4) = 0 é quivau t à z - 2 = 0 ou z² + 2z + 4 = 0 z = 2 ou z² + 2z + 4 = 0 3Les s olution dan s de l'équat ion z - 8 = 0 son t donc 2 ; -1 - i ; -1 + i 2. a. Pour p lace r co rrec tement e t préc isément les points B e t C on peu t calcu ler les modules des no mbres co mplexes z = -1 + i et z = -1 - i : B C OB = OC = 2 donc l es points e t B appart iennent au cer cle de c entre O e t de rayon 2. 4b. A B = BC = AC donc AB C e st un t riang le é quilaté ral . 3. L'écr iture co mplexe de R est : a. b. voir 2.a . 5c. 3z , z , et z sont solutions de l'équa tion z = 8i .A ' B ' C ' Corr ection 3 2 3 2 21. z - 8 = (z - 2) ( az + bz + c) = az + bz + cz - 2az - 2bz - 2c = 3 2az + (b - 2a)z + (c - 2b)z - 2c Par identificat ion : 3z - 8 = (z - 2)(z² + 2z + 4). 3z - 8 = 0 équivau t à (z - 2)(z² + 2z + 4) = 0 é quivau t à z - 2 = 0 ou z² + 2z + 4 = 0 z = 2 ou z² + 2z + 4 = 0 3Les s olution dan s de l'équat ion z - 8 = 0 son t donc 2 ; -1 - i ; -1 + i 2. a. Pour p lace r co rrec tement e t préc isément les points B e t C on peu t calcu ler les modules des no mbres co mplexes z = -1 + i et z = -1 - i : B C OB = OC = 2 donc l es points e t B appart iennent au cer cle de c entre O e t de rayon 2. 6b. A B = BC = AC donc AB C e st un t riang le é quilaté ral . 3. L'écr iture co mplexe de R est : a. b. voir 2.a . c. 3z , z , et z sont solutions de l'équa tion z = 8i .A ' B ' C ' Exer cice 3 Le p lan co mplexe e st r appor té à un repère o rthonormal direct . L'uni té g raphique est 2 cm. On no te i le no mbre co mplexe de m odule 1 e t d'ar gument /2 1) Pour t out nombre co mplexe z , on pose : 3 2P(z) = z + (2 -4) z + (8 - 8 )z + 16 a) Calcu ler P(-2 ) = b) Dét erminer une f acto risation de P(z) sous la forme : 2P(z) = (z + 2 )(z + z + ) où et sont deux nombres réels qu e l ' on déterminera . c) Résoudre dans l'ensemble de s no mb res co mplexes l'équat ion : P(z ) = 0. 2) On note A, B et C les po ints d'af fixes respect ives : a = 2 + 2 i , b = 2 - 2 i et c = -2 a) Place r l es points A, B et C dans le repère . 7Dé montrer que A , B, C sont sur un m ême cerc le de cen tre O, don t on donnera le rayon. b) Dét erminer un a rgument du nombre c omplexe a puis un argument du no mb re co mplexe b. En dédu ire une m esure en rad ian d e l 'angle ( ; ) c) Déter miner a lors une mesure e n r adian de l 'angl e d) Dé montrer qu'un e m esure de l'ang le ( ; ) es t 3 /8 e) En dédu ire l'égali té : Corr ection 1) Pour t out nombre co mplexe z , on pose : 3 2P(z) = z + (2 - 4) z + (8 - 8 )z + 16 a)P(-2 ) = -16 + 8(2 - 4) + (8 - 8 )( - 2 ) + 16 = -16 + 16 - 32 - 16 + 32 + 16 = 0 donc - 2 est une racine d e P( z ) b) 2P(z) = ( z + 2 )(z - 4z + 8) c) 2) On note A, B et C les po ints d'af fixes respect ives : a = 2 + 2 i , b = 2 - 2 i et c = -2 a) 8OA = OB = OC donc A, B et C appar tiennent a u ce rcl e de cent re O et de r ayon 2 b) ( ; ) = arg(a) - arg(b) [modulo 2 ] = /2 [modulo 2 ] c) Les a ngles et intercep tent le même arc . L'angle est un a ngle insc rit e t est un ang le au cen tre donc : = (1/2) = /4 ( ; ) = /4 [modulo 2 ] d) L'affixe de C est r éel donc C a ppar tient à l'ax e des réels , il es t son propre s ymétrique par rappo rt à l 'axe des réels. Les a ffixes de A et B s ont conjugués donc A et B son t s ymétriques par rappo rt à l 'axe des r éels. Le t riangle A BC est donc isoc èle en C : 2 + = 2 = - /4 = 3 /4 soit = 3 /8 on a donc ( ; ) = 3 /8 e) Soit H le poin t d 'af fixe 2 , c'es t à dire l e p rojeté o rthogona l de s poin ts A et B su r l 'axe d es r éels ,on a : E xercice sur les no mbres co mplexes (série GM 1994) On désigne pa r i le no mbre co mplexe de m odule 1 e t d 'ar gument . Le p lan co mplexe e st m uni d'un repère o rthonormal d'unité g raphique 1 cm. On cons idère les points A, B, C, D d'af fixes respectiv es : 1) Ecri re z et z sous la forme trigonométrique. Donner l e m odule et un a rgument d e z et z et écr ire ces A B C D nombres s ous l a forme algébr ique. 2) Montr er qu e l es po ints A, B, C, D sont s itués sur le même cer cle dont on préc isera le cen tre et le rayon. 3) Tracer le ce rcle et p lace r l es po ints A, B, C, D. 94) a) On note Z et Z les affixes respect ives des v ecteu rs et . Mon trer que Z = Z .1 2 2 1 b) On note Z et Z les affixes respect ives des v ecteu rs et . Calcu ler |Z | et |Z |.3 4 3 4 c) Mont rer que l e qu adri latè re A BDC est un t rapè ze i socè le. Correc tion : 1) Les d eux no mb res co mplexes z et z on t pour module 8.A B on en déduit l a forme trigonométrique des nombres c omplexes z et z ( et du même coup l eurs formes A B exponentielle ) : on peu t en déduire les formes exponentielles des nombres co mplexes z et z : C D on a donc : on en déduit l eur forme algéb rique : ( ce n 'est pas la seule f açon de déterminer les fo rmes a lgébr iques d e ce s deux nombres c omplexes ) 2) on a : les points A, B, C, D appar tiennent pa r con séquent au cerc le de cen tre O et de r ayon 8 . 10