Sujets par année : Amérique du Sud novembre 2009

Visionnez les fiches et sujets 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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[BaccalauréatESAmériqueduSudnovembre2009\
L’annexeestàrendreaveclacopie.
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
Lesujetnécessiteunefeuilledepapiermillimétré.
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question,
uneseule destroisréponses estexacte.Indiquersurlacopielenumérodelaques-
tionetrecopierlaréponseexactesansjustifierlechoixeffectué.
Le barèmesera établi comme suit : pour une réponse exacte,0,5 point; pour une ré-
ponsefausseoul’absencederéponse,0point.
1. Unvéhiculecoûte15000(en2008.Ilsedépréciede10%paran(c’est-à-dire
quesonprixdereventebaissede10%paran).Savaleuràlaventeauboutde
cinqansserade:
•7500( •8857,35( •5000(
2. Soitu unefonctionstrictementpositivesurl’intervalle]0;+∞[.
Si lim u(x)=0alors:
x→+∞
• lim ln[u(x)]=+∞ • lim ln[u(x)]=−∞ • lim ln[u(x)]=0
x→+∞ x→+∞ x→+∞
3. Voicilaloideprobabilitéd’unevariablealéatoire X :
x −10 0 10i
p 0,2 0,3 0,5i
• l’espérancemathématiquedecettevariableest3
• l’espérancemathématiquedecettevariableest−3
• l’espérancemathématiquedecettevariableest0
4. Pourtout a>0, ln3a−lna estégaleà:
•ln3 •ln(2a) •2lna
Z1
2x+15. e dx estégaleà:
0
3e −e3 3•e −1 •2e −2e •
2
4+2x6. Pourtoutréel x, e estégaleà:
¡ ¢ ¡ ¢2x 22 x+2 4 2x• e • e •e +e
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
−3Danscetexercice,touslesrésultatsserontarrondisà10 près.
Uneétudesurletauxd’équipemententéléphoniedesménagesd’unevilleapermis
d’établirlesrésultatssuivants:
– 90%desménagespossèdentuntéléphonefixe;BaccalauréatES A.P.M.E.P.
– parmilesménagesnepossédantpasdetéléphonefixe,87%ontuntéléphone
portable;
– 80% des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone por-
table.
Notations : Si A et B sont des évènements, A désigne l’évènement contraire de A et
P (A)laprobabilitéquel’évènement Asoitréalisésachantquel’évènement Bl’est.B
Onchoisitunménageauhasardetonnote:
– Fl’évènement :«leménagepossèdeuntéléphonefixe»;
– Tl’évènement :«leménagepossèdeuntéléphoneportable».
1. a. Grâceauxdonnéesdel’énoncé,donnerP(F∩T),P(F)etP (T).F
b. CalculerP (T).F
2. Démontrerquelaprobabilitédel’évènementTest0,887.
3. Sachantqueleménagechoisin’apasdetéléphoneportable,quelleestlapro-
babilitéquecesoitunménagepossédantuntéléphonefixe?
4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois mé-
nages.
Quelle est la probabilité qu’il yen ait au plus deux ayant un téléphone por-
table?
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
2u +4n
Soitlasuite(u )définieparu =1etpourtoutentiernatureln paru = .n 0 n+1
3
1. Calculer u , u etu .1 2 3
³ ´→− →−
2. Le plan est rapporté à un repèreorthonormal O, ı ,  (unités graphiques :
2cm).
2x+4
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par f(x)= .
3
a. Tracerlareprésentationgraphique d delafonction f ainsiqueladroite
Δd’équation y=x.
b. Enutilisant d etΔ,construireu , u etu .1 2 3
c. Conjecturer lim u à l’aide de la construction, que l’on peut imaginer,n
n→∞
d’ungrandnombredetermesdelasuite(u ).n
3. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln par v =u −4.n n n
a. Montrerquelasuite(v )estunesuitegéométriquedontonpréciseralan
raisonetlepremierterme.
µ ¶n2
b. Exprimer v enfonctionden etendéduirequeu =4−3 .n n
3
c. Quelleestlalimitedelasuite(u )?n
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Letableauci-dessousdonnelechiffred’affaires,expriméenmilliersd’euros,réalisé
parunechaînecommerciale:
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rangdel’année x 0 1 2 3 4 5i
Chiffre d’affaires en 55 58 64 85 105 112
milliersd’euros yi
AmériqueduSud 2 novembre2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Partie1
¡ ¢
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique x ; y dans lei i
planmunid’unrepèreorthogonald’unités:2cmpouruneannéeenabscisse
et1cmpour10milliersd’eurosenordonnée.
2. Calculer les coordonnées du point moyen G(x ; y) et le placer sur la figure
précédente.
Ondécided’effectuerdeuxajustementssuccessifsenvuedefairedesprévisions.
Partie2
1. a. Détermineràl’aidedelacalculatriceuneéquationdeladroitederégres-
sion D de y en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les
−1coefficientsà10 près.
b. Tracercettedroitesurlegraphiquedelapartie1.
2. Ensupposantquel’évolutionconstatéesemaintienne,estimerlechiffred’af-
fairesréaliséen2011(onpréciseralaméthodeutilisée).
Partie3
Ondécided’ajuster lenuagedepointsdelapartie1parlacourbeC représentant,f
danslerepèredéjàdéfini,unefonction f définiesurl’intervalle[0;+∞[par:
xf(x)=ab ,où a etb sontdeuxnombresréelsstrictementpositifs.
1. Onimposeàlacourbereprésentativedelafonction f depasserparlespoints
A(0; 55)etB(5; 112).
Calculerlesvaleursexactesdea etbtellesquelafonction f vérifiecettecondi-
−2tion,puisdonnerlavaleurapprochéearrondieà10 prèsdeb.
x2. Pourlasuite,onconsidéreraque f(x)=55×1,15 pourtoutréel x del’inter-
valle[0;+∞[.
Estimer grâceàcenouvel ajustement lechiffred’affaires, en milliers d’euros,
réaliséen2011(onarrondiralerésultataucentième).
Partie4
Danscettepartie,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiativemême
nonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Estimer en quelle année le chiffre d’affaires aura dépassé pour lapremière fois 300
milliers d’euros, en utilisant successivement les ajustements affine et exponentiel
desparties2et3.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Soient f et g deuxfonctionsdéfiniesetdérivablessurl’intervalle]0;+∞[tellesque
pourtoutréelx decetintervalle:
e
f(x)=(x−e)(lnx−1) et g(x)=lnx−
x
La courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan est donnée en
annexeetl’unitégraphiqueest2cm.
Partie1
1. Démontrerquelafonctiong eststrictementcroissantesurl’intervalle]0;+∞[.
2. Calculer g(e) et, grâce à la question 1, donner le signe de g(x) pour tout x
strictementpositif.
AmériqueduSud 3 novembre2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Partie2
1. Déterminerleslimitesdelafonction f en0eten+∞.
′ ′2. Onnote f ladérivéede f Démontrerque f (x)=g(x)pourtoutnombreréel
x strictementpositif.
3. Établirletableaudesvariationsdelafonction f.
(Onyferafigurerleslimitesdelafonction f en0eten+∞).
4. Représentergraphiquementlafonction f surlafeuilleannexejointeausujet.
Partie3
SoitF lafonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle]0;+∞[tellequepourtoutréel
x decetintervalle:
µ ¶2x 3 2F(x)= −ex lnx+2ex− x
2 4
1. DémontrerquelafonctionF estuneprimitivedelafonction f surl’intervalle
]0;+∞[.
2. On considère le domaine délimité par la courbeC l’axe des abscisses, lesf
droitesd’équations x=1et x=e.
a. Hachurercedomainesurledessin.
Ze
b. Calculerlavaleurexactede f(x)dx.
1
c. En déduireune valeur approchée arrondieaucentième del’aire dudo-
2maineexpriméeencm .
AmériqueduSud 4 novembre2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Annexeàcompléteretàrendreaveclacopie
Exercice4
y
4
3
2 Cg
1
O x
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
AmériqueduSud 5 novembre2009

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