Sujets par année : Polynésie septembre 2009

Travaillez les TP et les cours 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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Durée:3heures
[BaccalauréatES(spécialité)Polynésie\
septembre2009
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Pourchacunedesquestionsci-dessous,uneetuneseuleaffirmationestjuste.Lecan-
didatdoitportersursacopielenumérodelaquestionainsiquelalettreassociéeàla
réponsechoisie.Aucunejustificationn’estdemandée.
Unebonne réponserapporte1point,une mauvaiseréponseretire0,25 pointetl’ab-
sencederéponsen’apportenineretireaucunpoint.Siletotaldespointsestnégatif,la
notedel’exerciceestramenéeà0.
Ondésignepar f unefonctiondéfiniesurl’intervalle I=]−1; +∞[.
1. Silafonction f vérifieque: lim f(x)=−∞et lim f(x)=+∞,alors:
x→−1 x→+∞
a. onpeutaffirmerquelafonction f estcroissantesurI ;
b. onpeutaffirmerquelafonction f estmonotonesurI ;
c. onnepeutpasendéduirelesensdevariationsde f sur I.
2. Si f eststrictementcroissantesur[10;+∞[,etsig estlafonctiondéfiniepar:
−f(x)g(x)=e ,alors:
a. g eststrictementcroissantesur[10;+∞[;
b. onnepeutpasdéterminerlesensdevariationsdeg ;
c. g eststrictementdécroissantesur[10;+∞[.
Z13 2
3. SiF estlaprimitivede f sur I, quiprendla valeur en1etsi f(t)dt= ,
7 50
alors:
1
a. F(0)= ;
2
1
b. F(0)= ;
35
c. onnepeutpasdéterminerF(0).
4. Silafonctionu estdéfinieparu(x)=ln[f(x)]alors:
a. lafonctionu estdéfiniesur]0 ;+∞[;
b. lafonctionu estdéfiniesurI ;
c. onnepeutpasdonnerledomainededéfinitiondelafonctionu.
EXERCICE 2 6points
Communàtouslescandidats
Letableau ci-dessous donne les cumuls des nombresd’entrées decinq films sortis
aucoursdel’année2006,d’unepartenrégionparisienne,d’autrepartsurlaFrance
danssonensemble.(source:«lefilmfrançais»,chiffresarrêtésau3avril2007)
Nombresd’entrées
Nombresd’entrées
enrégion
Indicei enFranceen
Film parisienneen
(16i65) centainesde
centainesde
milliers: yimilliers: xi
1 10 75PiratesdesCaraïbes2
ArthuretlesMinimoys 2 9 62
3 7,5 41,5DaVinciCode
Neledisàpersonne 4 6,5 32
5 5 29,5IndigènesBaccalauréatES A.P.M.E.P.
¡ ¢
1. a. Représenterlenuagedepointsassociéàlasériestatistique x ; yi i
(16i65)dansleplanrapportéàunrepèreorthogonal(unitésgraphiques:
1 cm pour une centaine de milliers d’entrées sur l’axe des abscisses et
1cmpourlacentainesdemilliersd’entréessurl’axedesordonnées).
b. DéterminerlescoordonnéesdupointmoyenGdecettesérieetplacerG
danslerepèreprécédent.
c. Donner, à l’aide de la calculatrice, une équation deΔ, droite d’ajuste-
mentde y en x obtenue parlaméthodedesmoindrescarrés(lescoeffi-
cients sont arrondisau dixième). Tracer cette droitedans le repère pré-
cédent.
d. Enutilisantcetteapproximationaffine,calculerlenombred’entréescu-
mulées sur la France qu’on aurait pu prévoir pour le film «Les bronzés
3»sachantqu’ilenaréalisé1140000 enrégionparisienne(onarrondira
lerésultatàladizainedemilliersd’entrées).
2. Laformedunuagedepointsci-dessussuggèredefaireunajustementparune
Bxcourbe de type exponentiel d’équation y= Ae (où A et B sont des réels).
Pourcelaonposed’abordz=ln(y).
a. Recopieretcompléterletableausuivantavecdesvaleursdez arrondiesi
−2à10 (16i65).
10 9 7,5 6,5 5xi
y 75 62 41,5 32 29,5i ¡ ¢
z =ln yi i
b. Déterminer,àl’aidedelacalculatrice,uneéquationdeladroited’ajuste-
mentdezenxparlaméthodedesmoindrescarrés(lescoefficientsseront
arrondisaumillième).
c. Enutilisant la relation z=ln(y)déterminer alorslesvaleurs arrondiesà
−3 Bx10 desréels A etB telsque y= Ae .
0,202xd. Enutilisantl’approximation y≈9,689e ,quelnombred’entrées,cu-
mulées sur la France aurait-on pu prévoir pour le film «Les bronzés 3»
sachantqu’ilenaréalisé1140000enrégionparisienne?Onarrondirale
résultataumillierd’entrées.
3. Le nombre d’entrées en fin d’exploitation pour ce film sur la France a été de
10300000.
Lequeldesdeuxajustementssembleleplusapproprié?
EXERCICE 3 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
On considère une population donnée d’une île de Bretagne se rendant régulière-
mentsurlecontinent.DeuxcompagniesmaritimesAetBeffectuentlatraversée.
En2008, 60% dela population voyageavec la compagnie A.Les campagnes publi-
citairesfontévoluercetterépartition.Uneenquêteindiquealorsquechaqueannée
20% des clients de la compagnie A l’abandonnent au profit de la compagnie B et
que10%desclientsdelacompagnieBchoisissentlacompagnieA.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de l’année 2008+n est défini par la¡ ¢
x ymatriceligne oùx désignelaproportiondelapopulationquivoyageavecn n n
la compagnie A et y la proportionde la population qui voyageavec la compagnien
B.
1. ReprésenterlasituationparungrapheprobabilistedesommetsAetB.
2. Écrirelamatricedetransition M decegrapheenprenantlessommets AetB
danscetordre.
Polynésie 2 septembre2009BaccalauréatES A.P.M.E.P.
¡ ¢
3. Préciserl’étatinitialP puismontrerqueP = 0,52 0,48 .0 1
4. Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en
2011.
5. Déterminerl’étatstableetl’interpréter.
6. Montrerque,pourtoutentiernatureln, x =0,7x +0,1.n+1 n
4 1n7. Onadmetque,pourtoutentiernatureln, x = ×0,7 + .n
15 3
Déterminerlalimitedelasuite(x )etl’interpréter.n
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
Leplanestmunid’unrepèreorthonormé.
Legraphiqueci-dessousreprésenteunepartiedelacourbereprésentativeC d’une
fonction F définieetdérivablesur[0; 4].Ondésignepar f lafonctiondérivéedeF
surl’ensembledesnombresréelsR. µ ¶ µ ¶
5 9
La courbeC passe par l’origine O du repère et par les points A 1; , B 3; et
2 2
D(2;2).
LacourbeC admetenAetenDunetangentehorizontale.
OndésigneparT,latangenteàC aupointO;cettetangenteT passeparlepointde
coordonnées(1;6).
6
C
5
T B
4
3
A
2
D
1
O
−1 1 2 3 4 5
−1
1. QuereprésentelafonctionF pourlafonction f ?
2. Àpartirdugraphiqueetdesdonnéesdel’énoncé,dresserletableaudevaria-
tionsdeF sur[0;3].
Polynésie 3 septembre2009
bbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
3. a. Déterminergraphiquementl’équationréduitedeladroiteT.
b. Endéduire f(0).
4. Indiquersurquel(s)intervalle(s)lafonction f estpositive.
Z3
5. Déterminerlavaleurexactedel’intégrale f(x)dx.
1
6. Dans cettequestion, le candidatest invité àportersursa copie les étapesde sa
démarchemêmesiellen’aboutitpas.
SoitG uneautrefonctionprimitivede f sur[0;4],tellequeG(0)=1.
CalculerG(3).
Polynésie 4 septembre2009

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