Théorème de Bolzano-Weierstrass

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Théorème de Bolzano-Weierstrass

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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THÉORÈME DE BOLZANO WEIERSTRASS
Soit (un) une suitebornéede réels. Alors, on peut extraire de (un) une soussuite convergente. (Variante : toute suite bornée de réels admet une valeur d'adhérence) Démonstration : L'idée générale : Notonsa0(resp.b0) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble {un,n}. (Existent car (un) bornée) PosonsI0=[a0,b0] etc0le centre deI0. L'un, au moins, des deux intervalles [a0,c0] et [c0,b0] contient uneinfinité de termesla suite ( deun). (On a bien dit une infinité de termes ; ce n'est pas forcément une infinité de valeurs) NotonsI1cet intervalle etc1son centre. On réitère le procédé cidessus avec le segmentI1. On construit ainsi une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. L'intersection de tous ces segments est donc un certain réell. En outre, par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite (un). On peut donc construire une suite extraite en choisissant à chaque fois l'un de ces termes
et cette suite converge nécessairement versl.
Mise en forme :
Soienta0=inf{un,n} etb0=sup{un,n}. Ainsi :
n,a0unb0 Pour tous réelsαetβtels quea0α<βb0, notons : N(α,β)={n|αunβ} (N(α,β) est l'ensemble desindicesnpour lesquelsαunβ) a+b 0 0 On sait queN(a0,b0) est infini. Posonsc0= . 2 CommeN(a0,b0)=N(a0,c0)N(c0,b0), l'un, au moins, des deux ensemblesN(a0,c0) ouN(c0,b0) est aussi infini. SiN(a0,c0) est infini alors on posea1=a0etb1=c0. SiN(c0,b0) est infini alors on posea1=c0etb1=b0. Le segment [a1,b1] ainsi construit est ainsi tel queN(a1,b1) soit infini. a+b n n Supposons maintenant [an,bn] construit tel queN(an,bn) soit infini. Posonscn= . 2 CommeN(an,bn)=N(an,cn)N(cn,bn), l'un, au moins, des deux ensemblesN(an,cn) ouN(cn,bn) est infini. SiN(an,cn) est infini alors on posean+1=anetbn+1=cn. SiN(cn,bn) est infini alors on posean+1=cnetbn+1=bn. On a ainsi construit, par récurrence, une suite ([an,bn]) de segments emboîtés : [a0,b0][a1,b1]...[an,bn]... ba 0 0 De plus, par construction, la longueur de [an,bn.] est n 2
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Les segments [an,bn] ont donc des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes.
Notonslleur limite commune.
rer qu'il existe une applicationσcroissante de strictement dla suite Reste à montansque telle(uσ) (n)
converge versl. Posonsσ(0)=0. * Puis, pour toutn, on choisitσ(n) égal à un indice strictement supérieur àσ(n 1)qui est situé dans N(an,bn). (Il en existe nécessairement puisqueN(an,bn) est infini : on peut, par exemple, choisir le plus petit) La suite(u)est extraite de (un) etanubndonc(u)converge versl. σ(n)σ(n)σ(n)
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