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Universit de Grenoble 1 MAT242Examendu 28 Mai 2008Dure : 2h Document autorisÉ : une feuille recto-verso manuscrite. Calculatrices non autorisÉes. Vous devez justifier soigneusement toutes vos rÉponses .
I (a) SoitAune partie non vide deRetfune fonction deAdansR. Donner la dfinition desupf. A (i) SiBA, montrer l’ingalitsupfsupf. B A (ii) SiA= [a, b],B=]a, b[,a < b, et sifest continue surA, a-t-on l’galitsupf= supf? B A
(b) Soit(fn)une suite de fonctions deAdansR. Donner la dfinition de convergence uniforme surA defnvers une fonctionfsans faire rfrence À la notion desup, et la dfinition en utilisant la notion desup. Montrer l’quivalence entre les deux dfinitions.
1
Z x1 ne fn: [0,1]R, dfinie parfn(x) =, avecnN. Dterminerlimfn(x)dx. n+x n+0
1 trer que la somme de cette srie est une fonction de classeCsur]0,[, que l’on dterminera constante prs.
III
P P 2n2n le rayon de convergence den x. Calculer sa somme et en dduiren /2. n=0