Université de Grenoble MAT242 Examen du Mai Durée 2h

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Université de Grenoble 1 MAT242 Examen du 28 Mai 2008 Durée : 2h Document autorisé : une feuille recto-verso manuscrite. Calculatrices non autorisées. Vous devez justifier soigneusement toutes vos réponses . I (a) Soit A une partie non vide de R et f une fonction de A dans R. Donner la définition de supA f . (i) Si B ? A, montrer l'inégalité supB f ≤ supA f . (ii) Si A = [a, b], B =]a, b[, a < b, et si f est continue sur A, a-t-on l'égalité supB f = supA f ? (b) Soit (fn) une suite de fonctions de A dans R. Donner la définition de convergence uniforme sur A de fn vers une fonction f sans faire référence à la notion de sup, et la définition en utilisant la notion de sup. Montrer l'équivalence entre les deux définitions. 1

  • série de fourier

  • rayon de convergence de ∑n2xn

  • document autorisé

  • feuille recto-verso manuscrite

  • égalité supb


Publié le : jeudi 1 mai 2008
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 6
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Universit de Grenoble 1 MAT242Examendu 28 Mai 2008Dure : 2h Document autorisÉ : une feuille recto-verso manuscrite. Calculatrices non autorisÉes. Vous devez justifier soigneusement toutes vos rÉponses .
I (a) SoitAune partie non vide deRetfune fonction deAdansR. Donner la dfinition desupf. A (i) SiBA, montrer l’ingalitsupfsupf. B A (ii) SiA= [a, b],B=]a, b[,a < b, et sifest continue surA, a-t-on l’galitsupf= supf? B A
(b) Soit(fn)une suite de fonctions deAdansR. Donner la dfinition de convergence uniforme surA defnvers une fonctionfsans faire rfrence À la notion desup, et la dfinition en utilisant la notion desup. Montrer l’quivalence entre les deux dfinitions.
1
Z x1 ne fn: [0,1]R, dfinie parfn(x) =, avecnN. Dterminerlimfn(x)dx. n+x n+0
1 trer que la somme de cette srie est une fonction de classeCsur]0,[, que l’on dterminera constante prs.
III
P P 2n2n le rayon de convergence den x. Calculer sa somme et en dduiren /2. n=0
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