UNSA DEA Examen du mars “Representations lineaires des groupes symetriques”

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UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. “Representations lineaires des groupes symetriques” L'espace hermitien des fonctions centrales f : Sn ? C est note R(Sn). Son produit hermitien est defini par = 1n! ∑ ??Sn f(?)g(?). Les representations (V, ?V ) sont de dimension finie et ?V designe a la fois l'action de groupe Sn ? Gl(V ) et l'action d'algebre C[Sn] ? End(V ), i.e. ?V ( ∑ ??Sn f(?)?) = ∑ ??Sn f(?)?V (?) : V ? V . Le caractere de (V, ?V ) est note ?V ? R(Sn). Chaque partition ? n definit une representation irreductible Sp? de dimension f? et de caractere ??. On note trivn (resp. sgnn) le C-espace vectoriel de dimension 1 muni de l'action triviale (resp. signature) de Sn. Chaque partition (?1, . . . , ?k) n definit un sous-groupe S? ?= S?1 ? · · · ? S?k de Sn. On note M ? = C[Sn/S?] le C-espace vectoriel de base Sn/S?.

  • caractere

  • linearite de l'action de sn sur sn

  • representations adjacentes

  • sp? de dimension f? et de caractere ??

  • tableau standard

  • isomorphisme de representations ?

  • partition duale de ?

  • action triviale


Publié le : lundi 1 mars 2004
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UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. Repr´esentationsline´airesdesgroupessym´etriquesL’espace hermitien des fonctions centralesf: SnCtoe´sentR(Sn). Son P 1 produithermitienestde´nipar< f, g >=f(σ)g(σ). n!σSn Lesrepr´esentations(V, ρV) sont de dimension finie etρVnleai`gaiessfdo´ l’action de groupe SnGl(Vbeer)etlactiondalg`C[Sn]End(V), i.e. P P ρV(f(σ)σ) =f(σ)ρV(σ) :VV. σSnσSn Lecaracte`rede(V, ρVtes´otne)χVR(Snpartition). Chaqueλ`nd´eint λ λ unerepre´sentationirr´eductibleSpdedimensionf`ectracadeeterχλ. On notetrivn(resp.sgnn) leC-espace vectoriel de dimension 1 muni de l’action triviale (resp.signature) de Sn. Chaquepartition (λ1, . . . , λk)`n λ d´enitunsous-groupeSλ= Sλ1× ∙ ∙ ∙ ×Sλkde Snnote. OnM=C[Sn/Sλ] λ leC-espace vectoriel de base Sn/Sλde S. L’actionnsurMes´ddeuitpar lin´earite´delactiondeSnsur Sn/Sλese´rpernoitatnmueslPelerang´´eteou,t.nt pour laquelle il existe une baseEstable sous l’action de Snrestonaee´C[E] etappel´eepermutativeD.uerxpe´rsesnoitatneVetWsont ditesadjacentessi < χV, χW>= 1. I.Caract`eresirr´eductiblesetidempotentscentraux. P I.1.Montrerquun´el´ementx=fx(σ)σest central dansC[Sn] (i.e. σSn yC[Sn] :xy=yx) si et seulement sifxR(Sn). P I.2. Rappelerpourquoif=< χλ> χ, fλpour toutfR(Sn). En λ`n de´duirea`laidedeI.1quetout´el´ementcentralxC[Sn´s]irceoutsafslmeor P P x= (< χλ, fx> χλ(σ))σ. σSnλ`n λ ρderie.D)du´edEnSp( I.3. SoitxC[Sn] central.Montrer queSp(x)Sn λ ´edelatracequeT r(x) laline´arit(ρSp) =n!< χλ, fx>(On pourra utiliser que λ 1n! σ)). Conclurequ> id, f. χλ(σ) =χλ( eρSp(x) =λ< χλ xSp λ λ f 2 I.4. SoitxC[Sn] central et idempotent (i.e.x=xpose supp(). Onx) = {λ`n|ρ(x)6= 0}. Montrerqueρ(x) est soit l’application nulle soit λ λ Sp Sp P P λ f lidentit´e.D´eduiredeI.2etI.3quex= (χλ(σ))σ. Ex-σSnλsupp(x)n! plicitercetteformulepourlunit´edelalge`breC[Sn]. I.5.Montrerquetoutealge`breA`gladtiserbe,quiroduestpA=A1×A2, contient des idempotents centrauxe1, e2tels quee1+e2= 1 ete1e2= 0. Indication :posere1= (1A1,0A2) ete2= (0A1,1A2e´dnE.)equeduirC[Sn] P contient une famille d’idempotents centraux (eλ)λ`ntels queeλ= 1 et, λ`n siλ6=µ,eλeµ= 0 et supp(eλ) ={λ}. P λ f I.6.De´duiredeI.4etI.5laformuleeλ=χλ(σ)σles. Expliciter n!σSn idempotents centraux (eλ)λ`npourn= 2 etn= 3. II. Calcul deχ(n1,1). II.1.Montrerquelecaracte`redunerepr´esentationpermutativeC[E] se calcule par la formuleχC[E](σ) = card{eE|σ.e=e}, σSn.
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n II.2. OnmunitCde la base canoniqueE={e1, . . . , en}´eonndterpate n lin´earite´lactionei7→eσ(i), σSn,tuo`atC´D.ederiudeelqu.1IIt`acarecere χCri´equeatutevivecetterepdeitnoepmr´rseneatχC(σe´tsalagbreuen)om n n de1-cyclesdunede´compositiondeσen cycles disjoints. II.3.Ve´rierque< χCχtrivn, χCχtrivn>= 1 pourn= 2,3,4. n n ¯ II.4.D´ecrirelaclassedeλmenee´´ltesrrcouiun`andpot-qxuaelbatSn/Sλ. ¯ On fixeλ= (n1,que l’application1). Montrert7→et(2,1),o`ut(2,1) est ¯ le´l´ementsitu´esurladeuxie`melignedunrepre´sentantdettinee´debienest (n1,1)n induitunisomorphismederepre´sentationsφ:M=C. n II.5. Montrerquee1+∙ ∙ ∙+enest fixe sous l’action de Set que son orthogonal (e1+∙ ∙ ∙+en) admet(eie1)i=2,...,ncomme base. II.6. Montrerque pour tout (n1,1)-tableau standardt, l’isomorphisme (n1,1) ¯ φ´eleml´sfanmeoredII4.rttneKttmeorafele´pnSurusdtneme´l (n1,1) eie1, i= 2, . . . , n=sinuromosihppSemlaire`aII.5dede.deiunE´d (e1+∙ ∙ ∙+en) . II.7.De´duiredeII.6queχCn=χtrivn+χ(n1,1). Laformule II.3 est-elle vraie pour toutn2 ? III.Repre´sentationspermutativesetre´ciprocit´edeFrobenius. III.1 Montrer que< χtrivn, χC[E]>seSnombredet´egalaun-orbites deE. Indication:d´eduiredeII.1que X 1 1 < χtrivn, χC[E]>= card{(σ, e)Sn×E|σ.e=e}= card(Stab(e)) n!n! eE etconclureende´composantEen orbites. III.2. Montrerque< χsgnn, χC[E]>egalast´erbdenumoSen-orbites deE`a stabilisateurcompose´depermutationspaires. III.3. Montrerque< χM, χC[E]>ombredeS´egalaunetsµ-orbites deE. µ µ Indication:appliquerlare´ciprocite´deFrobeniusa`M= (trivnSµ)Sn. µ III.4.Trouverunerepr´esentationAtelle que< χA, χC[E]>´eitsoaulega µ nombre de Sµ-orbites deEspems.oarpuroicoeipsmnrteu´teadasta`satebili IV.Repr´esentationsadjacentesettableauxdeYoung. IV.1.Montrerquedeuxrepr´esentationsVetWsont adjacentes si et seule-mentsilexisteuneuniquerepre´sentationirr´eductiblequiapparaıˆtsimultan´ement dansVetWpltiitic1.´ee,ctceaievmclu IV.2.Montrerquilexistea`unscalairepre`sununiquemorphismede repre´sentationsentredeuxrepre´sentationsadjacentes.Quelestsonimage? IV.3. Rappelerpourquoi Sn/Sλest en bijection avec l’ensemble desλ-tableaux ayant des lignes strictement croissantes.A un telλ-tableaut, on associe unλ-semitableauµ(t)neerpmalc¸naltseµ1premiers entiers detpar 1,
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