UTBM 2001 mt12 integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables tronc commun semestre 1 final

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Mardi 15 janvier 2002 erExamen final MT 12 1 semestre Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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  Mardi 15 janvier 2002 Examen final MT 12 1ersemestre
 Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille manuscrite aide mémoire recto Barème indicatif : PartieI: 4 + 5 + 3 PartieII et 6°) (2 pts) 1 point x 10 sauf 3°)  Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées   
1°)
  12 points)Partie I (sur On considère, pourαréel positif, les intégrales suivantes : Iα=XZYldxα: ex n x a) Pourα=1 l’intégrale est-elle convergente ? 1
b) Pourα≠1, déterminer une primitive de fα(x)=xlnαxlee irdudén  E. sed  savelruα pour lesquelles Iαest convergente. Effectuer le calcul pourα=2. c) Peut-on affirmer que si une fonction f continue et positive sur [a,+[ est telle qu’au voisinage de +, f=oGHF1JKI, alors l’intégraleaz convergente ?f (x) dx est x   2°) Soi 1d2i+ =0 1d2+xi=4x2 t les équations différentielles : (E0) x y 1 x y' y (E) y' xx2
a) Résoudre l’équation (E0). b) Déterminer quatre constantes, a, b, c et d telles que :   xx /1d4x22i=a+b2+c+d2 x21 x1 (x1)x+1 (x+1) c) En déduire la résolution de (E).   
3°) Soit la fonction f définie par f:(Rx,2y)aR=f (x, y)=x2+4 x y+y2 dont la représentation graphique z est une surface (Σ) dans R3. a) Calculer les dérivées partielles de f, et en déduire la différentielle df. b) Déterminer une équation du plan tangent à cette surface au point A(x = 1,y =2 , z = f(1,2)). c) Montrer que f est solution de l’équation : xf)yx(,yx,)y(f=2dx2y2 i xy  
  
  12 points) (surPartie IIF0 1 0 0I Le problème consiste à diagonaliser la matrice A=3 0 2 0 H00G203010JKet à montrer qu’on peut choisir une matrice de passage P telle que P1=P. Dans tout le problème : on soulignera les résultats  on pourra utiliser les résultats des questions précédentes même s’ils n’ont pas été démontrés, car il y a des questions très faciles.  
1°)
Déterminer le polynôme caractéristique P(x) de la matrice A.
2°) Chercher les valeurs propres (elles sont entières et simples) et conclure quant à la possibilité de dia-gonaliser la matrice.
3°) Déterminer les sous-espaces propres de A. 4°) Montrer, en utilisanttdP1i=tP1dettibMN=tgNtM où P est une matrice de passage, M et N des matrices carrées de même taille, que si P diagonalise A, alorst(P1) diagonalisetA.
5°) Montrer que A et sa transposée ont les mêmes valeurs propres.
6°) Etudier les sous espaces propres detA.
7°) Montrer que les lignes de P1sont des vecteurs propres detA. (Comme le but est de choisir P = P-1utiliser le résultat de cette question)., on va F1 1 1 1I 8°) Choisir alors convenablement P de la forme 33HG.........JK 1
9°)
Calculer P2, (on constate qu’on est presque à P1= P).
10°) Faire le choix définitif de P.            Le difficile prend du temps, l’impossible un peu plus.
Chaïm WEIZMAN (Israël: 1874-1952)
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