UTBM 2002 mt12 integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables tronc commun semestre 1 partiel

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Médian Automne 02 UV MT 12 Mardi 5 novembre 2002 Les différentes questions peuvent être traitées de manière indépendante. Les deux parties doivent être traitées sur des copies différentes. Matériel autorisé: feuille aide ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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  UV MT 12Médian Automne 02 Mardi 5 novembre 2002
 Les différentes questions peuvent être traitées de manière indépendante. Les deux parties doivent être traitées sur des copies différentes.  Matériel autorisé: feuille aide mémoire A4 recto    
Première partie (10 points)
1°) Calculer les intégrales suivantes: I=24xxIxd 1YZX11+3(x+1)x2+2x+32=XYZ12x32++2x2++x xd    2°) On considère le domaine plan (D) défini par:TS0R0yxatxcrA1 n.  On fait tourner (D) autour de l'axe (Oy). Déterminer le volume du solide ainsi construit.     3°) Soit les fonctionsϕet g définies par:xR*+ϕ(x)=XZYx11ln+tdttxR*+g(t)=1ln+ .tt a) Calculerϕ' et dresser le tableau de variations deϕ. b) Remplissage du tableau de variations: Déterminer un équivalent en +de g(t), et en déduire la limite deϕen +.                        - - - - - - - - 0+ - - que - -de -ϕa une limite en 0+. c) En admettant que limϕ =0,82±0,01, terminer le x0+ tableau de variations et tracer la courbe représentative deϕ. (On pourra librement utiliser la courbe représentative de la fonction g ci-contre).      
4°)
  
Seconde partie (10 points + 3 points 4°) d) et e) )
x On considère la fonction f définie parxR f (x)=ce+12.h ex
a) Calculer les primitives de f. Sur quels intervalles sont-elles définies ? b) Déterminer les primitives F1et F2 Ftelles que1(0)=e12Ft2(0)= −21  . c) En déduire Iα=0αz puis sa limite quand ,f (x) dxαtend vers l'infini. Existe-t-il une valeur deαtelle que Iα= 0,2 ? Si oui, déterminer une valeur exacte deα.  Questions un peu plus difficiles hors barème βz(R. d) CalculerJ β=x f x) dxen fonction dβe o e) Déterminelx→∞ri m x3f (x) et→ − ∞xlim x3f (x). En déduire la convergence de l'intégzrxalfe( x) dx, puis les valeurs numériquesβzβx f dx x) puisxz( βl→ ∞ idme( f dx x)     
5°) Sachant que la fonction y0= λe2 x,λ ∈ solution de l'équation différentielle (ER esto) y' + 2y = 0, déterminer les solutions des équations différentielles: (E1) y'+2y=x+4 (E2) y'+2y=sin x    6°) Soit les équations différentielles:bEc1g+exy'hy=e2 x1 etbE01cg+exy'hy=0 . a) Déterminer la solution générale yode (Eo = 0,5), puis la solution F vérifiant F(0) . b) Tracer sommairement la courbe représentative de cette fonction F. c) Résoudre l'équation (E).         Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois.
Proverbe international
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