UTBM 2003 mt26 suites series fonctions de variable complexe tronc commun semestre 1 final

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MT 26 Final Automne 03 Jeudi 22 janvier 2004 Matériel autorisé: une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées I. Première partie ( 12 points = 2 + 4 + 6 ) 11°) Développer en série entière au voisinage de 0 ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT 26 FinalAutomne 03 Jeudi 22 janvier 2004 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(12 points = 2 + 4 + 6) 1 1°) Développeren série entière au voisinage de 0, la fonction f définie par:f (x)=. On pourra 1+x utiliser une des deux méthodes : méthode 1 : développer directement à l’aide des formules bien connues des étudiants (sérieux) méthode 2 : déterminer une équation différentielle du premier ordre dont f est une solution. Exprimer les coefficients à l’aide de factorielles, puis déterminer son rayon de convergence. c h 2 2°) Soitl’équation différentielle(E) 1+x y''+3 x y'+y=0 ,et une fonction S, développable en série n entière en 0S(x)=de cette équation différentielle sur un intervalle ]R, +R[.a x solution  n n0 a) Déterminerdes relations entre les coefficients a. n b) Déterminer,sous la forme d’une série entière, puis sous forme explicite, une solution yde (E) vé 1 rifiant y(0) = 1 ety’ (0)= 0. 1 1 3°) Onse propose de déterminer le développement en série de Fourier de la fonctiondéfinie sur R par : F IF I   G JG J (x)=cos x. On définit f parx R, f(x)= x+ =cos(x) . H4K H4K a) Représenterces deux fonctions dans un même repère orthogonal. Quelles sont les propriétés de f et de? F IF I kk G JG J b) Calculeren fonction de k entier naturel, les valeurscos etsin .On pourra représenter H2K H2K ces résultats sous la forme d’un tableau. c) Calculerle développement en série de Fourier de f. 1  d) Endéduire la sommede deux manières. 2 4n1 n1 e) Déterminer,à l’aide des questions précédentes, le développement en série de Fourier de.
II.(Deuxième partie11 points = 3 + 4 + 4) 1°) Pourchacune des séries entières suivantes, déterminer : le rayon de convergence et la somme : n+1 n+n1 2 ((n1) x+3n+2) x S (x)=S (x)=.   1 2 2 n+n n! n>0 n0 3 3 2°) Soitla fonction P définie sur R² parP(x, y)=2x+2y6 x y . a) Étudierl’existence d’un extremum de P, et préciser s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. 2 2 b) Onconsidère la forme différentielle =P(x, y) dx+Q(x, y) dyy)avec Q(x,=6xy3x .Mon trer queest une forme différentielle totale sur R² et déterminer une fonction F telle que dF =. b g x 3°) Soitla fonction P définie sur R² parP(x, y)=e xcos yy sin y a) Montrerque P est une fonction harmonique. b) Onveut déterminer une fonction f, holomorphe sur C, dont la partie réelle est P. F I   G J Déterminer Q : R²R telle(z)que f=f (x+iy)=P(x, y)+et fii Q(x, y)= . H2K2 c) Endéduire une écriture plus simple de f, c’est à dire en fonction de z uniquement. Certains regardent le Monde tel qu’il est en se demandant « Pourquoi ? ». D’autres le regardent tel qu’il pourrait être en se disant « Pourquoi pas ? » George Bernard SHAW (Irlande18561950 )
Médian MT 26 Automne 2003Corrigé
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