UTBM 2005 mt26 suites series fonctions de variable complexe tronc commun semestre 2 final

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MT 26 Final Printemps 05 Lundi 20 juin 2005 Matériel autorisé: une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées I. Première partie ( 12 points = 4 + 8 ) 2 2 21°) Soit la forme différentielle définie par ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT 26Printemps 05 Final Lundi 20 juin 2005 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(12 points = 4 + 8) 2 2 2 1°) Soitla forme différentielle définie parw =(3x-3yz) dx+(3y-3xz) dy+(3z-3xy) dz 3 a) Montrerquew.est une forme différentielle totale sur R 3 b) Déterminerune fonction f : R®R , telle que df =wet f(0,0,0) =-1. 2 33 c) Onpose z = 1 et on définit g par"(x, y)Îy)R g(x,=x+y-3xy .Déterminer les extremums de g, en précisant pour chacun s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum. n fpériodique de période 2pet" Î]- p,+ p] ()=cos(a) ,ca ÎR . 2°) Soitla fonctioax xx fave+ a) Quelest le développement de Fourier dans le cas oùa ÎN (Ne pas passer plus de deux minutes sur cette question). Dans le reste de cet exercice, on considérera queN, et que vous connaissez vos formules de trigo. b) Déterminerles coefficients de Fourier (réels ou complexes comme vous voulez) de cette fonction f enfonction dea. a c) Écrirele développement de Fourier def .La fonction estelle égale à son développement ? a ¥ ¥ n (-1) 1 d) Calculeren fonction deaS (les sommes :a)=et S (a)=å2 2å2 2 1 2 n- an- a n=1 n=1 ¥ 1 e) Déterminerlim S(a) puisla somme(que vous devriez maintenant connaître par cœur). a ®0+å 2 2 n n=1 Voici, cidessous, la courbe représentative de f, dans le cas oùa =sur l’intervalle [12, +12]3 et a
II.(Deuxième partie12 points = 8 + 4) 2 2 x y"+4xy'+(2-x )y=0 (E) 0 1°) Soitles équations différentielles :. 2 2 x y"+4xy'+(2-x )y=1 (E) ¥ 2 n x a) Déterminerle domaine de convergence et la somme de la série entière. å (2n+2)! n=0 ¥ n b) Déterminerune série entière,a x, solution de l’équation (E). å n n=0 c) Endéduire une fonction y, deux fois dérivable sur R, solution de (E). 1 sh x * d) Montrerque la fonction y, définie sur Rpar y (x)=est solution de l’équation (E). 21 20 x e) Déterminerla solution générale de l’équation (E) sur les intervalles ]¥, 0[et ]0, +¥[, puis déter miner les solutions deux fois dérivables sur R.. p psin x P P 2°) Soitla suite de fonctions définie sur I =-,+par :"nÎN, u (x)=. n n Q Qb g 2 21+sin x a) Étudierles variations de la fonction usur I, et en dresser le tableau. n b) Étudierla convergence de cette suite de fonctions sur [0,p/2], et déterminer la fonction limite u. c) Al’aide du tableau de variations, étudier si la convergence de (u) vers u est uniforme. n p d) Quese passetil sur l’intervalle-, 0? P2M Q ¥ e) Montrerque la sérieS(x)=est simplement convergente sur [0,u (x)p/2], et en calculer la å n n=0 somme. La nouveauté est dans l’esprit qui crée, et non pas dans la nature qui est peinte. Eugène DELACROIX (France 1798 – 1863)
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