UTBM 2006 cp46 mecanique et technologie pour l ingenieur genie mecanique et conception semestre 1 partiel

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ααα-°1/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 3 exercices indépendants - Durée : 2 h - Documents autorisés 1. Neil l'astronaute jette des pierres de lune. Neil est debout sur un point O, origine d'un repère (O, i , j , k), dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z. Nous sommes sur la lune, dans le vide, et soumis à un champ de pesanteur uniforme, dont l'accélération est G = g k . Les pierres sont considérées comme des points matériels pesants. [ 1 ] A l'instant t = 0 , Neil lance une pierre de masse m au point (y , z ) avec une vitesse initiale 0 0V , de module V , incluse dans le plan ( j , k) et faisant un angle = ( j , V ) positif avec le 0 0 0vecteur j . y = y(t)1.1. Ecrire les équations décrivant la trajectoire de la pierre sous la forme : z = z(t)Comment s'appelle la courbe décrite par la pierre ? 1.2. Au bout de quel temps t la pierre atteint-elle son altitude maximale z ? m maxQuelle est la valeur de cette altitude ? 1.3. Au bout de quel temps t la pierre retombe-t-elle sur le sol (plan z = 0 ) ? 1A quelle distance D des pieds de Neil la pierre retombe-elle sur le sol ? Quelle est à ce moment-là sa vitesse V (module et angle avec le vecteur j ) ? 111.4. Déçu par la distance parcourue, Neil lance une nouvelle pierre de masse 2 m au même point et avec la même vitesse initiale. De combien la distance parcourue par cette nouvelle pierre augmente-t-elle par ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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α    α  α      -  ° 1/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 3 exercices indépendants - Durée : 2 h - Documents autorisés 1. Neil l'astronaute jette des pierres de lune. Neil est debout sur un point O, origine d'un repère (O, i , j , k), dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z. Nous sommes sur la lune, dans le vide, et soumis à un champ de pesanteur uniforme, dont l'accélération est G = g k . Les pierres sont considérées comme des points matériels pesants. [ 1 ] A l'instant t = 0 , Neil lance une pierre de masse m au point (y , z ) avec une vitesse initiale 0 0 V , de module V , incluse dans le plan ( j , k) et faisant un angle = ( j , V ) positif avec le 0 0 0 vecteur j . y = y(t) 1.1. Ecrire les équations décrivant la trajectoire de la pierre sous la forme : z = z(t) Comment s'appelle la courbe décrite par la pierre ? 1.2. Au bout de quel temps t la pierre atteint-elle son altitude maximale z ? m max Quelle est la valeur de cette altitude ? 1.3. Au bout de quel temps t la pierre retombe-t-elle sur le sol (plan z = 0 ) ? 1 A quelle distance D des pieds de Neil la pierre retombe-elle sur le sol ? Quelle est à ce moment-là sa vitesse V (module et angle avec le vecteur j ) ? 11 1.4. Déçu par la distance parcourue, Neil lance une nouvelle pierre de masse 2 m au même point et avec la même vitesse initiale. De combien la distance parcourue par cette nouvelle pierre augmente-t-elle par rapport à la précédente ? 1.5. Tous ces résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes : 2 g = 1,62 m / s y = 0 V = 10 m / s 0 0 [ 2 (Consulter "Lune") ] = 30 z = 2,10 m 0 m = 500 g ε   σ σ    ρ  σ     ε     2/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 2. Traction du papier. Franck Medlege de l'EFPG (Ecole Française de Papeterie et des industries Graphiques, à Grenoble) a récemment publié un article intitulé « Ondulation du papier imprimé sur rotative offset avec sécheur ». Il a étudié 5 papiers commerciaux, qui ont été caractérisés physiquement (grammage, épaisseur, ... ) et mécaniquement (essais en traction, ... ) [ 3 ]. Pour tous ces papiers, les grandeurs suivantes ont été mesurées : Le grammage G, qui est la masse par unité de surface d'une feuille de papier. L'épaisseur e de la feuille. La force F nécessaire pour rompre une bande de papier de largeur a. R L'allongement relatif à la rupture . R Le module d'Young en traction E. 2.1. Exprimer la contrainte normale dans une section de la bande de papier en 1 fonction de l'effort de traction F appliqué et de ses dimensions. On notera la contrainte correspondant à l'effort F . R R 2.2. Tracer schématiquement la courbe des contraintes en fonction des déformations en faisant apparaître les éléments connus donnés ci-dessus. Une caractéristique couramment utilisée dans l'industrie papetière est la « Longueur de rupture » : c'est la longueur limite au-delà de laquelle une bande de papier suspendue se rompt sous son propre poids [ 4 ]. La démarche décrite ci-dessous permet d'établir la formule qui donne cette longueur de rupture L en fonction des valeurs de G, a, F (paramètres cités ci-dessus) et de l'attraction R R de la pesanteur terrestre g. La bande de papier est vue comme une poutre de longueur L et de section e x a, 0 suspendue par une de ses extrémités et soumise uniquement à son propre poids. 2.3. Exprimer la masse volumique du papier en fonction du grammage G et de l'épaisseur e de la feuille. En déduire le poids P d'une longueur L quelconque de la bande de papier. 2.4. La bande étant orientée du haut vers le bas par un axe Ox (O est le point d'accrochage), déterminer les composantes du torseur des efforts exercés par l'aval sur l'amont d'une section. 2.5. Quelle est la nature de la contrainte qui apparaît dans une section ? Quelle est son expression en fonction des caractéristiques de la bande de papier ? 2.6. Quelle est la longueur de papier L en aval d'une section qui génère dans cette R section une contrainte égale à ? R Cette longueur est justement la longueur de rupture définie ci-dessus. 2.7. Une bande de papier est déroulée, par temps calme, sur toute la hauteur H de la tour Montparnasse. Calculer la longueur U(H) dont elle s'allongera sous l'effet de son poids propre, en supposant que ses déformations restent dans le domaine élastique. 2.8. Tous ces résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes : 2 2 F = 6,24 N G = 58,3 g / m g = 9,81m / s R e = 47,3 μm = 1,32 % H = 210 m [ 5 ] R a = 15 mm E = 1,19 GPa    £  £  ω  ω - ω 3/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 3. Flexion 3 points d'une éprouvette. Conformément au croquis ci-contre une éprouvette y de longueur 2L et de section rectangulaire est L 2L soumise à un test de flexion 3 points. Ses 2 extrémités A et B sont posées sur des appuis z x simples et un effort F est appliqué B A transversalement en son centre. F L'éprouvette est considérée comme une poutre droite orientée (repère représenté sur le croquis). 3.1. Quelles sont les valeurs, en chaque section x de l'éprouvette, des composantes du torseur des efforts exercés par l'aval sur l'amont ? Quelle est la nature des composantes non nulles ? Tracer sur un graphique l'allure de leurs évolutions. En quel point le moment fléchissant M (x) est-il maximum et quelle est la valeur M z zmax de ce maximum ? 3.2. La section de l'éprouvette est rectangulaire, de largeur b (dans la direction Az) et d'épaisseur e (dans la direction Ay). Calculer son moment d'inertie I par rapport à son axe principal parallèle à l'axe Az. z 3.3. Dans la section où le moment fléchissant est maximum, quel type de contrainte génère-t-il et comment cette contrainte varie-t-elle en fonction de y et z ? Quelle est la valeur maximale de cette contrainte et en quel(s) point(s) de la section est-elle atteinte ? 3.4. Soumise à la force F , l'éprouvette de déforme. Calculer les rotations (x) de ses sections et leurs déplacements transversaux V (x) z y dus au moment fléchissant. Suggestions : compte tenu de la symétrie du système par rapport au plan x = L , il suffira d'étudier le tronçon 0 x L ; la rotation (0) de l'extrémité A sera d'abord z considérée comme une inconnue, puis identifiée compte tenu de la valeur particulière que doit avoir la rotation au centre (L). z En quel point le déplacement V (x) est-il maximum (en valeur absolue) ? y 3.5. La rigidité K de l'éprouvette en flexion est définie comme le rapport de l'effort F appliqué au déplacement induit de son point d'application : K = V (L)y Exprimer cette rigidité en fonction des dimensions de l'éprouvette et de son module d'Young. e Soient l'aire de la section S = e b et le rapport de son épaisseur à sa largeur k = . b Exprimer la rigidité K en fonction de ces 2 nouveaux paramètres S et k, de la longueur L de l'éprouvette et de son module d'Young E. Comment la rigidité K varie-t-elle en fonction du rapport k ? Cas particulier : k passe de 0,5 à 2 (ce qui peut correspondre à une éprouvette unique qu'on tourne de 90° autour de son axe), par combien la rigidité K est-elle multipliée ? 3.6. Tous les résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes : L = 50 mm b = 15 mm E = 70 GPa e = 3 mm F = 100 N α α -  α  α    -  4/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 Références : [ 1 ] - Les illustrations de Pierre Bon Quelques illustrations d'astronomie et de conquête de l'espace ... http://www.pierre-bon.com/DP%2005.htm [ 2 ] - Wikipédia Bienvenue sur Wikipédia, l'encyclopédie libre et gratuite que chacun peut améliorer. http://fr.wikipedia.org/ [ 3 ] - Ondulation du papier imprimé sur rotative offset avec sécheur Franck Medlege - EFPG (01 avril 2005) - III - Caractérisation des papiers http://cerig.efpg.inpg.fr/dossier/ondulations-papier/page03.htm [ 4 ] - Définitions du lexique Papeterie Clairefontaine Longueur de rupture : C’est la longueur limite ... http://www.clairalfa.tm.fr/france/entreprise/lexique/definitions.asp [ 5 ] - Montparnasse 56, toit-terrasse et salon panoramique, la plus belle vue sur Paris Du haut de ses 210 mètres, la tour Montparnasse surplombe Paris. http://www.tourmontparnasse56.com/fr/vue/terrasse.html Eléments de réponses Question 1.1 Equations définissant la trajectoire de la pierre dans le plan x = 0 : y = V t cos + y0 0 1 2= g t + V t sin +z z0 0 2 La courbe décrite par un projectile dans un champ de pesanteur uniforme est une parabole. Question 1.2 L'altitude z est maximale à l'instant t où sa dérivée par rapport au temps s'annule. m dz = 0 dt g t + V sin = 0 m 0 V sin0t = m g  α     α    α      α α  α   α - α                 α  α - α α  -  α  - -  α  α            - α α α 5/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 L'altitude maximale atteinte z s'obtient en reportant cette valeur dans l'expression de z. Max 2 1 V sin V sin0 0z = g + V sin + z Max 0 0 2 g g 2 2V sin0 zz = + Max 0 2 g Question 1.3 La pierre retombe sur le sol au bout d'un temps t tel que : 1 1 2g t V t sin z 0+ + = 1 0 1 0 2 C'est une équation du second degré qui a 2 solutions. La plus petite des 2 correspond à l'intersection de la parabole avec le sol derrière Neil, où la pierre n'était pas encore sur sa trajectoire. On ne doit donc retenir que la plus grande des racines. V 2 g z0 2 0t = sin + sin + 1 2g V0 Distance parcourue : D = y(t ) y 1 0 2V cos 2 g z0 2 0D = sin + sin + 2g V0 Composantes de la vitesse dans le cas général : V = V cosy 0 V = V sin g tz 0 A l'instant t , en tenant compte de la valeur de t calculée précédemment : 1 1 V = V cos1y 0 2 2V = V sin + 2 g z1z 0 0 2 g z2 2 0V = V + V V = V 1+ 1 1y 1z 1 0 2V0 2 g zV 01ztg = = Arctg tg 1+ 11 2 2V sinV 01y Question 1.4 La trajectoire d'une pierre ne dépend pas de sa masse.  - σ σ ° ρ ρ α 6/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 Question 1.5 Application numérique : 10 z [m] 8 6 4 2 y [m] 0 0 10 20 30 40 50 60 t 3,09 s t 6,57 s V 10,3 m / s= = =m 1 1 z 9,82 m D 56,9 m= = = 33,1Max 1 Question 2.1 La contrainte de traction est égale à la force divisée par la section. F FR= = R a e a e Question 2.2 Question 2.3 Masse volumique = Masse par unité de surface / Epaisseur G = e Poids = Masse volumique x Volume x Accélération de la pesanteur P = e a L g P = G a L g -   σ  Û σ -  σ  σ - σ σ ∫ σ ξ  ξ    ∫  -  ξ ξ σ 7/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 Question 2.4 En une section x, le torseur des efforts exercés par l'aval sur l'amont n'a qu'une composante non-nulle : un effort normal correspondant au poids de la partie de la bande de papier situé en aval de la section. N 0 { T } = 0 0 avec N = G a g ( L x ) 0 0 0 Question 2.5 La contrainte qui apparaît dans la section est une contrainte normale. N = e a Ou, en remplaçant N par son expression : G g = ( L x ) 0 e Question 2.6 La longueur en aval d'une section x est égale à la longueur de rupture lorsque la contrainte de traction dans cette section est égale à la contrainte de rupture. L x = L = R R G g L'équation obtenue à la question 2.5 devient : = L R R e e RD'où : L = R G g En remplaçant par sa valeur en fonction de F : R R FRL = R G a g Question 2.7 Rappel de la formule du cours (formule de Bresse dans le cas d'un effort normal) : X N( ) U(G) = U(G ) + d 0 X0 E S Application à cet exercice : H G a g ( H ) U(H) = d 0 E a e 2G g H U(H) = 2 e E  σ                 £    ρ                £ -  £  £ - - - - - - 8/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 Question 2.8 Application numérique : = 8,79 MPa L = 727 mR R 6 3= 1,23 .10 kg / mm U(H) = 224 mm Question 3.1 La poutre est soumise à 3 efforts parallèles, qui s'équilibrent, dans la direction y : F -F au centre et + à chaque extrémité. 2 Elle doit être divisée en 2 tronçons à examiner successivement. Tronçon 1 : 0 x L 0 0 FF { T } = 0M = ( 2 L x ) ( L x )F z 2 2 F 0 x 2 Tronçon 2 : L x 2 L 0 0 FF { T } = 0M = ( 2 L x ) z 2 2 F 0 ( 2 L x ) 2 Graphique obtenu avec les valeurs de l'application numérique de la question 3.6 : 2500 30 M [m.N]z 20 2000 T [N]y 10 1500 0 1000 -10 500 -20 x [mm] 0 -30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 F L M =Le moment fléchisssant est maximum au centre, en x = L , et vaut : zmax 2 £ - - £ ∫∫ - ∫ ω  ω ∫ ω - - 9/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 Question 3.2 Définition du moment d'inertie d'une section par rapport à son axe principal z. 2 I = y dS z S Dans le cas d'une section rectangulaire, l'axe principal z est l'axe de symétrie. b e 22 2I = y dydz z b e 2 2 3 be I = z 12 Question 3.3 Le moment fléchissant M génère des contraintes normales n dans la section de poutre. z 1 Ces contraintes ne dépendent pas de z et sont proportionnelles à y. M yzn = 1 Iz En particulier, dans la section centrale de l'éprouvette : M y zmaxn = 1 Iz e La valeur maximale de cette contrainte est atteinte pour y = , c'est à dire sur la surface 2 de l'éprouvette, le long de la ligne transversale opposée à la ligne d'application de l'effort. Remarque : cette zone est en traction alors que la zone opposé, où l'effort est appliqué, subit une compression (contrainte de même valeur absolue, mais négative). M e zmaxn = 1max 2 Iz 3 F L n = 1max 2b e Question 3.4 Equation différentielle de la déformée. 2d V (x) My z = 2dx E Iz Pour les sections du premier tronçon 0 x L : 2 d V (x) Fy = x 2dx 2 E Iz ère 1 intégration, en fonction de la rotation à l'origine (0), qui n'est pas connue à ce stade. z dV (x) Fy 2= (x) = (0) + x z z dx 4 E Iz ω ω -  ω £ - £ - ω ω ω -  - ω - - ω - ω - ω  ω - ω - - 10/11 CP46 – Automne 2006 Corrigé de l'Examen MEDIAN 08/11/2006 ème 2 intégration, sachant que le déplacement à l'origine V (0) est nul, à cause de l'appui. y F 3 V (x) = (0) x + x y z 12 E Iz Pour identifier (0), il faut remarquer que la symétrie impose que la pente de la poutre z déformée (ou rotation de la section) soit nulle au centre, en x = L . F 2(L) = 0 = + (0) Lz z 4 E Iz D'où la valeur de (0), qui permet d'exprimer complètement (x) et V (x) . yz z 2F L (0) =z 4 E Iz F F2 2 2 2 (x) = ( L x ) V (x) = x ( 3 L x ) z y 4 E I 12 E Iz z Le déplacement est maximum au centre, en x = L (sa dérivée y est nulle). 3 3F L 2 F L V (L) = ou V (L) = y y 36 E I E b ez Remarques : ème Une autre méthode, plus compliquée, aurait consisté à étudier la déformée du 2 tronçon L x 2 L en tenant compte de (L) et V (L) , et en conservant (0) z y z comme inconnue, puis de l'identifier grâce à la condition d'appui V (2L) = 0 . y ème Le long de ce 2 tronçon, les rotations et déplacements ont les expressions suivantes (qui n'étaient pas demandées par l'énoncé de l'exercice, mais permettent de tracer la courbe complète) : F 2 2(x) = ( 3 L + 4 L x x ) z 4 E Iz F 3 2 2 3V (x) = ( 2 L + 9 L x 6 L x + x ) y 12 E Iz 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x 1[m00m] 0,0 0,03 0,02-0,2 0,01 -0,4 0,00 -0,6 -0,01 V [mm] [rd]-0,8 y z -0,02 -1,0 -0,03
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